Questions du sujet
1. I.A.1) Montrer que \( D \) est stable par \( f \) si et seulement si \( a \) est vecteur propre de \( f \).
2. I.A.2) En déduire que tout endomorphisme \( f \) de \( E \) admet au moins une droite stable.
3. I.A.3) Soit \( n \in \mathbb{N}^\ast \). Le résultat précédent reste-t-il vrai dans \( \mathbb{R}^n \), quel que soit \( n \) ?
4. I.B.1) Montrer que le polynôme caractéristique de \(\tilde{f}\) divise celui de \( f \).
5. I.B.2) Montrer que si \(\tilde{f}\) possède une droite stable, alors \( f \) possède au moins deux droites stables en général, sauf dans un cas particulier que l’on précisera.}
6. I.C.1) Soit \( g_0 \) l’endomorphisme de \( \mathbb{C}^2 \) de matrice \( M \) dans la base canonique de \( \mathbb{C}^2 \). Montrer qu’il existe un vecteur non nul de \(\mathbb{C}^2\), \( \varepsilon_1 = (a, b) \) et \( \alpha \in \mathbb{C} \), \( \alpha \notin \mathbb{R} \) vérifiant : \( g_0(\varepsilon_1) = \alpha\varepsilon_1 \) et \( g_0(\overline{\varepsilon_1}) = \overline{\alpha} \, \overline{\varepsilon_1} \) où \( \varepsilon_1 = (a, b) \).
7. I.C.2) Montrer que \( (\varepsilon_1 + \overline{\varepsilon_1}, \varepsilon_1 – \overline{\varepsilon_1}) \) est une base de \( \mathbb{C}^2 \). Quelle est la matrice de \( g_0 \) dans cette base ?
8. I.C.3) Montrer qu’il existe \( Q \in M_2(\mathbb{C}) \) inversible et \( (X, Y) \in \mathbb{C} \times \mathbb{C}^\ast \), tels que : \( M = Q \begin{pmatrix} X & -Y \\ Y & X \end{pmatrix} Q^{-1} \). On admettra que de la même manière : il existe \( Q \in M_2(\mathbb{R}) \) inversible et \( (X, Y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^\ast \) tels que : \( M = Q \begin{pmatrix} X & -Y \\ Y & X \end{pmatrix} Q^{-1} \).
9. I.D.1) Soit \( f \in L(E) \) admettant un seul plan stable et une seule droite stable non incluse dans ce plan. Montrer qu’il existe une base de \( E \) où la matrice de \( f \) s’écrit :
\[
\begin{pmatrix}
\lambda & 0 & 0 \\
0 & X & -Y \\
0 & Y & X
\end{pmatrix}
\]
avec \( (\lambda, X, Y) \in \mathbb{R}^3 \), \( Y \ne 0 \).
10. I.D.2) Soit \( f \in L(E) \) de matrice \( M \) dans la base canonique \( B_c \) de \( E \). Soit \( P \) un plan d’équation \( a x + b y + c z = 0 \) dans cette base, \( n = (a, b, c) \) étant un vecteur non nul de \( E \). On note \( n’ = (a’, b’, c’) \) avec
\(
\begin{pmatrix}
a’ \\ b’ \\ c’
\end{pmatrix} = {}^t M
\begin{pmatrix}
a \\ b \\ c
\end{pmatrix}
\).
Montrer que, si \( P \) est stable par \( f \), pour tout \( u \) élément de \( P \), \( n’ \) est orthogonal à \( u \). En déduire que \( P \) est stable par \( f \) si et seulement si \( n’ \) est vecteur propre de l’endomorphisme de matrice \( {}^t M \) dans \( B_c \).}
11. I.D.3) Soit \( f \in L(E) \). Montrer l’équivalence des trois propositions suivantes :
\begin{itemize}
\item[i)] \( f \) admet une unique droite stable.
\item[ii)] \( f \) admet un unique plan stable.
\item[iii)] Le polynôme caractéristique de \( f \) admet une seule racine réelle soit simple, soit triple et le sous-espace propre associé est de dimension 1.
\end{itemize}
12. II.A.1) Déterminer le polynôme caractéristique de \( M \).
\[
M =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
a & b & c
\end{pmatrix}
\]
avec \( a, b, c \) réels.
13. II.A.2) Soit \( \alpha \in \mathbb{R} \), une valeur propre de \( M \). Déterminer l’espace propre attaché à cette valeur propre. Préciser en particulier sa dimension.
14. II.A.3) Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur son polynôme caractéristique pour que \( M \) soit diagonalisable.
15. II.A.4) Soit \( f \in L(E) \) de matrice \( M \) dans \( B_c \). A quelle condition \( f \) admet-elle une droite stable et une seule ?}
16. II.B.1) Montrer que \( f \) possède un unique plan stable noté \( P_t \) et une unique droite stable notée \( D_t \) que l’on déterminera, avec
\[
M =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
t^3 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
et \( t \in \mathbb{R} \).
17. II.B.2) Montrer que \( \Delta \), réunion de toutes les droites \( D_t, t \in \mathbb{R} \), est incluse dans la surface \( \Sigma \) d’équation \( y^2 = xz \). Quelle est la nature de la surface \( \Sigma \) ? Déterminer l’ensemble \( \Sigma \setminus \Delta \), complémentaire de \( \Delta \) dans \( \Sigma \).
18. II.B.3) Tracer la courbe intersection de \( (\Sigma) \) et du plan d’équation \( z = 1 \). En déduire une représentation de \( (\Sigma) \).
19. II.C.1) Déterminer la nature de \( (S_1) \) et l’équation du plan tangent en tout point \( M_0 = (x_0, y_0, z_0) \) de la surface. Vérifier que ce plan contient toujours le point \((0, 0, 0)\).
20. II.C.2) Montrer que si \( x_0 \neq 0 \), il existe un réel \( t \) tel que le plan tangent en \( M_0 \) à \( (S_1) \) soit \( P_t \).}
21. II.D.1) Écrire l’équation du plan tangent en un point quelconque \( M_0 \) de \( S_f \), le point \( M_0 \) ayant pour coordonnées \( x_0, y_0 \) et \( z_0 = f(x_0, y_0) \).
22. II.D.2) Écrire les conditions portant sur \( f \) et ses dérivées premières pour qu’en tout point le plan tangent soit un des plans de la famille \( (P_t)_{t \in \mathbb{R}} \).
23. II.D.3) On note, pour \( x \) fixé, \( u : y \mapsto f(x, y) \). Montrer qu’on a alors : \( u”(y)(y – 2x u'(y)) = 0 \).
24. II.D.4) On suppose ici \( U = \mathbb{R}_+^\ast \times \mathbb{R} \). Déterminer les fonctions \( f \) telles qu’en tout point \((x, y)\) de \( U \), \( \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = \frac{y^2}{x} \).
25. II.D.5) Déterminer les surfaces correspondant à cette condition.}
26. III.A – Déterminer le polynôme caractéristique de \( g_r \). Déterminer ses éléments propres.
On donne
\[
B(r) =
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
r^2 & 0 & -r \\
r & r & 0
\end{pmatrix}
\]
27. III.B.1) Montrer qu’une représentation paramétrique de \( \Gamma \) est :
\[
x = \frac{r^2}{4 + r^2}, \quad y = \frac{r}{r^2 + 2}
\]
28. III.B.2) Soit \( \Gamma_0 \) l’ensemble d’équation cartésienne \( y(x + y)^2 = x – y \). Comparer \( \Gamma \) et \( \Gamma_0 \).
29. III.B.3) On considère la base orthonormée \( I = \frac{e_1 + e_2}{\sqrt{2}} \), \( J = \frac{-e_1 + e_2}{\sqrt{2}} \). Déterminer l’équation de \( \Gamma_0 \) dans cette nouvelle base (les nouvelles coordonnées seront notées \( X, Y \)).
30. IV.A.1) Montrer que si \( u \in \mathbb{C} \) est tel que \( u^3 = 1 \), alors le vecteur
\(
\begin{pmatrix}
1 \\ u \\ u^2
\end{pmatrix}
\)
est un vecteur propre de \( A_V \) où
\(
A_V =
\begin{pmatrix}
x & y & z \\
z & x & y \\
y & z & x
\end{pmatrix}
\).
}
31. IV.A.2) En déduire une matrice \( P \in M_3(\mathbb{C}) \) inversible et indépendante de \( V \), telle que \( P^{-1}A_VP \) soit diagonale, et préciser les valeurs propres de \( A_V \).
32. IV.A.3) Soit \( J = A_{(0,1,0)} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \). Exprimer la matrice \( A_V \) au moyen des matrices \( I_3 \), \( J \) et \( J^2 \). Préciser comment les valeurs propres de \( A_V \) se déduisent de celles de \( J \). On notera \( j = e^{2i\pi/3} \).
33. IV.A.4) Soit \( f_V \) l’endomorphisme de \( \mathbb{R}^3 \) de matrice \( A_V \) dans la base canonique. Donner des conditions nécessaires et suffisantes pour que \( f_V \) ait une et une seule droite stable ainsi qu’un et un seul plan stable.
34. IV.A.5) Donner une expression factorisée de \( \det(A_V) \), au moyen de deux termes réels. On pourra utiliser les résultats de la question IV.A.2).
35. IV.B – Montrer que \( g : V \mapsto A_V \) est un isomorphisme d’espaces vectoriels entre \( \mathbb{R}^3 \) et \( \{A_V, V \in \mathbb{R}^3\} \).}
36. IV.C.1) Déterminer la nature de la courbe intersection de \( S \) avec le plan : \(\Pi_\lambda = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 | x + y + z = \lambda \}\) selon le réel \( \lambda \). En déduire que \( S \) est une surface de révolution, dont on précisera l’axe, avec \( S = \{ V \in \mathbb{R}^3 | \det(A_V) = 1 \} \).
37. IV.C.2) À tout \( V = (x, y, z) \) et \( V’ = (x’, y’, z’) \) dans \( \mathbb{R}^3 \), on associe \( V \ast V’ = V” = (x”, y”, z”) \) tel que :
\[
x” = xx’ + yz’ + zy’,\quad y” = xy’ + yx’ + zz’,\quad z” = xz’ + yy’ + zx’
\]
Comment peut-on interpréter \( A_{V”} \) en fonction des matrices \( A_V \) et \( A_{V’} \) ? Montrer que \( S \) est stable pour la loi \( \ast \), et que \( (S, \ast) \) est un groupe commutatif.
38. IV.C.3) Soit \( U = \{ u \in \mathbb{C}, |u| = 1 \} \). Pour \( (u, t) \in \mathbb{R} \times U \), on pose :
\[
F(t, u) = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} e^{-2t} + e^t(u + \overline{u}) \\ e^{-2t} + e^t(j^2 u + j \overline{u}) \\ e^{-2t} + e^t(j u + j^2 \overline{u}) \end{pmatrix}
\]
Montrer \( F \) est une bijection de \( \mathbb{R} \times U \) sur \( S \).
39. IV.C.4) Calculer \( F(t, u) \ast F(t’, u’) \). Que peut-on en déduire ?}