Questions du sujet
1. Montrer que, pour tout $\alpha \in \mathbb{R}_+^*$, $p_\alpha$ appartient à $E$.
2. Soit $P$ une fonction polynomiale non identiquement nulle à coefficients réels. Montrer que la restriction de $P$ à $\mathbb{R}_+^*$ appartient à $E$ si et seulement si $P(0) = 0$.
3. Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. Montrer que la fonction $t \mapsto a e^t + b$ sur $\mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}$ appartient à $E$ si et seulement si $a = b = 0$.
4. Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, la fonction $t \mapsto (e^t – 1)^2 \frac{e^{-t}}{t}$ est intégrable sur $]0, x]$.
5. Pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$ et tout $t \in \mathbb{R}_+^*$, on note $k_x(t) = e^{\min(x, t)} – 1$ où $\min(x, t)$ désigne le plus petit des réels $x$ et $t$. Représenter graphiquement la fonction $k_x$. Montrer que $k_x$ appartient à $E$.}
6. Pour $x \in \mathbb{R}_+^*$, on pose $\Phi(x) = 4 \frac{\sqrt{x} e^{x/2}}{1 + x} – \int_0^x \frac{e^{t/2}}{\sqrt{t}} dt$. Montrer que $\Phi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}_+^*$, que $\lim_{x\to 0} \Phi(x) = 0$ et que, pour tout $x>0$, $\Phi'(x) \geq 0$. En déduire que $\Phi(x) \geq 0$ pour tout $x>0$.
7. Montrer que, pour tout $x > 0$, $|f(x)| \leq 4C \frac{\sqrt{x} e^{x/2}}{1+x}$.
8. En déduire que $f \in E$.
9. Montrer que, si $f$ et $g$ sont deux fonctions de $E$, alors l’intégrale $ \int_0^{+\infty} f(t)g(t) \frac{e^{-t}}{t} dt $ est absolument convergente.
10. En déduire que $E$ est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel $\mathcal{C}(\mathbb{R}_+^*, \mathbb{R})$ des fonctions continues sur $\mathbb{R}_+^*$ à valeurs dans $\mathbb{R}$.}
11. Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur $E$.
12. Montrer que $\lim_{x\to 0} \| k_x \| = 0$. On rappelle que, pour tout $x>0$, $k_x(t) = e^{\min(x,t)} – 1$.
13. Montrer que, pour tout $k \in \mathbb{N}$, $ \int_0^{+\infty} t^k e^{-t} dt = k! $.
14. On rappelle que les fonctions $p_\alpha$ ont été définies dans les notations en tête de sujet. La famille $(p_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$ est-elle une famille orthogonale de $E$ ?
15. À l’aide de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que pour toute fonction $f \in E$, $\lim_{x\to 0^+, x>0} U(f)(x) = 0$.}
16. Montrer que pour toute fonction $f \in E$ et pour tout $x>0$, \[
U(f)(x) = \int_0^x (1 – e^{-t}) \frac{f(t)}{t}dt + (e^x – 1) \int_x^{+\infty} f(t)\frac{e^{-t}}{t}dt.
\]
17. Soit $f \in E$. Montrer que $U(f)$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}_+^*$ et vérifie, pour tout $x > 0$, \[
(U(f))'(x) = e^x \int_x^{+\infty} f(t)\frac{e^{-t}}{t}dt.
\]
18. Soit $f \in E$. Montrer que $U(f)$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}_+^*$ et que la fonction $U(f)$ est solution sur $\mathbb{R}_+^*$ de l’équation différentielle $y” – y’ = -\frac{f(x)}{x}$.
19. Montrer que pour tout $f \in E$ et pour tout $x > 0$, \[
|U(f)'(x)| \leq e^x \| f \| \left( \int_x^{+\infty} \frac{e^{-t}}{t} dt \right)^{\frac{1}{2}} \leq \| f \| \frac{e^{x/2}}{\sqrt{x}}.
\]
20. Déduire de ce qui précède que $U$ est un endomorphisme de $E$ et que, pour tout $f \in E$ et tout $x > 0$, $|U(f)(x)| \leq 4 \| f \| \frac{\sqrt{x}e^{x/2}}{1 + x}$.}
21. En déduire que $\| U(f) \| \leq 4\| f \|$.
22. Montrer que $U$ est injectif.
23. L’endomorphisme $U$ est-il surjectif ?
24. On fixe deux fonctions $f$ et $g$ de $E$. Pour $x>0$, on pose $F(x) = -U(f)'(x)e^{-x}$. Vérifier que $F$ est une primitive de $x \mapsto f(x)\frac{e^{-x}}{x}$ sur l’intervalle $\mathbb{R}_+^*$.
25. Montrer que pour tout $x > 0$, $|F(x) U(g)(x)| \leq 4\| f \| \| g \| /(1 + x)$.}
26. Montrer que pour tout $x \in ]0,1]$, $|F(x)| \leq \| f \|(e^{-1} – \ln(x))^{1/2}$. On pourra utiliser la question 19.
27. Montrer l’existence et calculer les valeurs des limites en 0 et en $+\infty$ de la fonction $t \mapsto F(t)U(g)(t)$.
28. Montrer que $ \langle f | U(g) \rangle = \int_0^{+\infty} U(f)'(t)U(g)'(t)e^{-t}dt $.
29. En déduire que $ \langle f | U(g) \rangle = \langle U(f) | g \rangle $.
30. Pour $p \in \mathbb{R}^*$ on note $(E_p)$ l’équation différentielle sur $\mathbb{R}_+^*$ : $x(y” – y’) + p y = 0$.}
31. Soient $p \in \mathbb{R}^*$ et $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de nombres réels. On suppose que la série entière $\sum_{n\geq 0} a_n x^n$ a un rayon de convergence infini. Montrer que la fonction $f:x\mapsto \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ est solution de $(E_p)$ si et seulement si \[
\begin{cases}
a_0 = 0,\\
n(n+1)a_{n+1} = (n-p)a_n, \quad \forall n\in\mathbb{N}^*.
\end{cases}
\]
32. Montrer que $(E_p)$ possède des solutions polynomiales non identiquement nulles si et seulement si $p \in \mathbb{N}^*$. Montrer qu’alors, les solutions polynomiales non nulles de $(E_p)$ sont de degré $p$ et appartiennent à l’espace vectoriel $E$.
33. Montrer que la fonction $h(x) = e^{-x}P(x)$, où $P$ est un polynôme solution de $(E_p)$, est solution de l’équation différentielle $x(y” + y’) + p y = 0$ sur $\mathbb{R}_+^*$.
34. Justifier que la fonction $h$ est développable en série entière sur $\mathbb{R}$.
35. On note $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite des coefficients du développement en série entière de $h$. Ainsi, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $h(x) = \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$. On peut montrer, de la même façon qu’à la question 30 (cette démonstration n’est pas demandée), que ces coefficients vérifient
\[
\begin{cases}
b_0 = 0,\\
n(n+1)b_{n+1} = -(n+p)b_n, \quad \forall n\in\mathbb{N}^*.
\end{cases}
\]
}
36. Établir que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $b_n = \frac{(-1)^{n-1}(n + p – 1)!}{p! \ n! (n-1)!} b_1$.
37. On pose $g_p(x) = x^{p-1} e^{-x}$. Justifier que $g_p^{(p)}$ est développable en série entière et déduire de la question 34 que, pour tout $x \in \mathbb{R}$,
\[
P(x) = C x e^x g_p^{(p)}(x)
\]
où $C$ est une constante réelle dont on précisera l’expression en fonction de $b_1$ et de $p$.
38. Justifier l’existence de suites $(a_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}^\mathbb{N}$ non identiquement nulles telles que la série entière $\sum_{n\geq 0} a_n x^n$ ait un rayon de convergence infini et telles que la fonction $x \mapsto \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ soit solution de $(E_p)$.
39. On fixe une telle série entière et on pose pour $x>0$, $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$. Montrer qu’il existe un entier naturel $q > p$ tel que, pour tout entier $n \geq q$, $|a_{n+1}| \geq \frac{|a_n|}{2(n+1)}$.
40. En déduire que, pour tout entier $n \geq q$, $|a_n| \geq \frac{q! |a_q|}{2^{n-q} n!}$.}
41. Montrer que la fonction $\psi : x \mapsto \sum_{n=q}^{+\infty} |a_n| x^n$ n’est pas un élément de $E$.
42. En déduire enfin que la fonction $f$ n’est pas un élément de $E$.
43. Le nombre réel $0$ est-il valeur propre de $U$ ?
44. Soit $\lambda \in \mathbb{R}^*$. On suppose que $\lambda$ est valeur propre de $U$. Soit $f$ un vecteur propre associé. Montrer que $f$ est solution de l’équation différentielle $(E_{1/\lambda})$.
45. On suppose que $f$ est développable en série entière sur $\mathbb{R}_+^*$, c’est-à-dire qu’il existe une série entière $\sum_{n\geq 0} a_n x^n$ de rayon de convergence infini telle que $\forall x \in \mathbb{R}_+^*, f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$. Montrer que les seules valeurs propres possibles de $U$ sont de la forme $\lambda = 1/p$ avec $p \in \mathbb{N}^*$.}
46. Soit $P$ une solution polynomiale non nulle de $(E_p)$. Démontrer que la fonction $p U(P) – P$ vérifie sur $\mathbb{R}_+^*$ l’équation différentielle $y” – y’ = 0$.
47. Montrer que $P$ est un vecteur propre de $U$ pour la valeur propre $1/p$.
48. Pour tout entier $p \in \mathbb{N}^*$ et tout $x > 0$, on pose $P_p(x) = x e^x g_p^{(p)}(x)$, où $g_p(x) = x^{p-1} e^{-x}$. On rappelle que $P_p$ est une fonction polynomiale de degré $p$ et que $P_p \in E$. Montrer que les polynômes $P_p$ sont deux à deux orthogonaux dans $E$.}