Questions du sujet
1. I.A – Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Déterminer le module et un argument de $\left(1 + \dfrac{z}{n}\right)^n$ en fonction de $a$, $b$ et $n$. 2. I.B – En déduire que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{z}{n}\right)^n = e^z$. 3. II.A.1) Déterminer un nombre $\beta_n \in \mathbb{R}_+^*$ tel que $\dfrac{1}{\beta_n}\left(I_2 + \dfrac{1}{n}A\right) \in SO_2(\mathbb{R})$. 4. II.A.2) Déterminer un nombre réel $\theta_n$ tel que $\dfrac{1}{\beta_n}\left(I_2 + \dfrac{1}{n}A\right) = \begin{pmatrix} \cos \theta_n & -\sin \theta_n \\ \sin \theta_n & \cos \theta_n \end{pmatrix}$. 5. II.A.3) En déduire que $E(A)$ existe et que c’est une matrice de rotation, dont on précisera l’angle.} 6. II.B.1) Soit $B \in M_3(\mathbb{R})$ antisymétrique. \begin{itemize} \item[a)] Montrer que $\det B = 0$. \item[b)] Montrer que $(\Ker u_B)^\perp$ est stable par $u_B$. \item[c)] En déduire que $B$ est de rang $0$ ou $2$. \end{itemize} 7. II.B.2) Montrer qu’il existe une matrice $P$ de $O_3(\mathbb{R})$ et un réel $\beta$ tels que $$ B = P \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\beta \\ 0 & \beta & 0 \end{pmatrix} P^{-1}. $$ 8. II.B.3) Montrer que lorsque l’égalité de la question précédente est vérifiée, on a $|\beta| = \dfrac{\|B\|_2}{\sqrt{2}}$. 9. II.B.4) Montrer que $E(B)$ existe et est une matrice de rotation. Préciser la valeur de son angle non orienté en fonction de $\|B\|_2$. 10. III.A.1) Montrer que $E(D)$ existe et que $E(D) \in GL_p(\mathbb{C})$.} 11. III.A.2) Montrer qu’il existe un polynôme $Q \in \mathbb{C}[X]$ tel que $Q(D) = E(D)$. 12. III.A.3) Soit $(\Delta, +)$ le sous-groupe additif de $M_p(\mathbb{R})$ formé par les matrices diagonales. Montrer que $E$ définit un morphisme de groupe de $(\Delta, +)$ dans $(GL_p(\mathbb{R}), \times)$. 13. III.B.1) Montrer que $E(A)$ existe. 14. III.B.2) Montrer que $\det(E(A)) = e^{\operatorname{tr}(A)}$. 15. III.B.3) Soit $x \in \mathbb{C}$. Montrer que $E(xI_p + A)$ existe et que $E(xI_p + A) = e^{x}E(A)$.} 16. III.C.1) Soient $A$, $B \in M_p(K)$ deux matrices diagonalisables. On suppose que $A$ et $B$ commutent. Montrer qu’il existe $P \in GL_p(\mathbb{C})$ telle que $P^{-1}AP$ et $P^{-1}BP$ soient diagonales. On étudiera les restrictions de $u_B$ aux sous-espaces propres de $u_A$. 17. III.C.2) En déduire que $E(A+B)$ existe et que $E(A+B) = E(A)E(B) = E(B)E(A)$. 18. IV.A.1) Montrer que, pour tout entier $j$ tel que $1 \leqslant j \leqslant k$, $\Ker A^{j-1}$ est inclus strictement dans $\Ker A^j$. 19. IV.A.2) En déduire que $k \leqslant p$. 20. IV.B – Montrer que $E(A)$ existe. Proposer une procédure Maple ou Mathematica prenant en entrée une matrice triangulaire supérieure stricte $A$ et renvoyant la valeur de $E(A)$.} 21. IV.C – Montrer qu’il existe un polynôme $Q \in \mathbb{C}[X]$ tel que $Q(A) = E(A)$. 22. IV.D – Soit $B \in M_p(\mathbb{C})$. On suppose que $A$ et $B$ commutent et que $E(B)$ existe. On admet que, pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $p$, $$ \lim_{n \to \infty} \left(I_p + \frac{1}{n} B\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left(I_p + \frac{1}{n} B\right)^{n-i}. $$ Montrer que $E(A+B)$ existe et que $E(A+B) = E(A)E(B)$. 23. IV.E – Soit $x \in \mathbb{C}$. Montrer que $E(xI_p + A)$ existe et que $E(xI_p + A) = e^x E(A)$. 24. IV.F – Montrer que $E(A) – I_p$ est nilpotente. 25. V.A.1) Montrer qu’il existe un unique couple $(Q_n, R_n) \in \mathbb{C}[X] \times \mathbb{C}_{p-1}[X]$ tel que $P_n = Q_n \chi_A + R_n$.} 26. V.A.2) Montrer que $E(A)$ existe si et seulement si $\lim_{n \to \infty} R_n(A)$ existe. 27. V.A.3) Soient $k \in \mathbb{N}^*$ et $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k$ les racines de $\chi_A$ deux à deux distinctes, dont on note $n_1, n_2, \ldots, n_k$ les ordres de multiplicité respectifs. Pour tout entier $q$ compris entre $1$ et $p$, on note $J_q$ la matrice de $M_q(\mathbb{C})$ dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux situés juste au-dessus de la diagonale qui valent $1$. Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{C}$, pour tout entier $q$ compris entre $1$ et $p$, la famille $\{(xI_q + J_q)^i,\, 0 \leqslant i \leqslant q-1\}$ est libre. 28. V.A.4) Soit $B = \operatorname{diag}\{\lambda_1 I_{n_1} + J_{n_1}, \ldots, \lambda_k I_{n_k} + J_{n_k}\}$ la matrice diagonale par blocs définie par $$ B = \begin{pmatrix} \lambda_1 I_{n_1} + J_{n_1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 I_{n_2} + J_{n_2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_k I_{n_k} + J_{n_k} \end{pmatrix} $$ Montrer que $\chi_B = \chi_A$. 29. V.B.1) Soit $i$ un entier $> 1$. Montrer que $$ B^i = \begin{pmatrix} (\lambda_1 I_{n_1} + J_{n_1})^i & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & (\lambda_2 I_{n_2} + J_{n_2})^i & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & (\lambda_k I_{n_k} + J_{n_k})^i \end{pmatrix}. $$ 30. V.B.2) Soit $P$ un polynôme annulateur non nul de la matrice $B$. \begin{itemize} \item[a)] Montrer que le degré de $P$ est $> p$. \item[b)] En déduire que la famille $\{B^i, 0 \leqslant i \leqslant p-1\}$ est libre. \end{itemize}} 31. V.B.3) Montrer que $\lim_{n \to \infty} P_n(B)$ existe. 32. V.B.4) En déduire que $E(A)$ existe.}FAQ
Pour déterminer le module et un argument de \(\left(1 + \dfrac{z}{n}\right)^n\), tu peux commencer par écrire \(1 + \dfrac{z}{n}\) sous forme exponentielle. Le module est \(\left|1 + \dfrac{z}{n}\right| = \sqrt{\left(1 + \dfrac{a}{n}\right)^2 + \left(\dfrac{b}{n}\right)^2}\), et un argument est \(\theta = \arctan\left(\dfrac{b/n}{1 + a/n}\right)\). Ensuite, tu élèves le tout à la puissance \(n\) pour obtenir le module final \(\left(\sqrt{\left(1 + \dfrac{a}{n}\right)^2 + \left(\dfrac{b}{n}\right)^2}\right)^n\) et l’argument \(n \theta\).
Cette limite est fondamentale car elle définit l’exponentielle complexe. En utilisant les résultats de la question précédente, tu peux montrer que le module tend vers \(e^a\) et l’argument vers \(b\), ce qui donne bien \(e^z = e^{a + ib} = e^a (\cos b + i \sin b)\). C’est un résultat clé pour comprendre les fonctions exponentielles en analyse complexe.
Pour une matrice antisymétrique \(B\), tu as \(B^T = -B\). En prenant le déterminant des deux côtés, tu obtiens \(\det(B^T) = \det(-B)\). Or, \(\det(B^T) = \det(B)\) et \(\det(-B) = (-1)^3 \det(B) = -\det(B)\). Donc \(\det(B) = -\det(B)\), ce qui implique \(\det(B) = 0\).
Une matrice antisymétrique \(B \in M_3(\mathbb{R})\) peut être diagonalisée sous la forme \(B = P \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\beta \\ 0 & \beta & 0 \end{pmatrix} P^{-1}\), où \(P\) est une matrice orthogonale et \(\beta\) un réel. Cette forme montre que \(B\) est de rang 2 et représente une rotation dans un plan.
Pour une matrice triangulaire supérieure stricte \(A\), tu peux utiliser le fait que \(A\) est nilpotente. En calculant \(\left(I_p + \dfrac{A}{n}\right)^n\), tu peux développer cette expression et montrer que la limite existe lorsque \(n\) tend vers l’infini. Cela te permet de définir \(E(A)\) comme la limite de cette suite de matrices.
L’exponentielle d’une matrice \(E(A)\) est cruciale car elle permet de résoudre des équations différentielles linéaires et de comprendre les groupes de Lie. Elle généralise la notion d’exponentielle aux matrices et est utilisée pour étudier les transformations linéaires continues, comme les rotations ou les dilatations.
Pour montrer que \(\det(E(A)) = e^{\operatorname{tr}(A)}\), tu peux utiliser la décomposition de Jordan de \(A\) ou sa diagonalisabilité. En écrivant \(A\) sous forme triangulaire, tu peux calculer \(E(A)\) comme une matrice triangulaire dont les coefficients diagonaux sont les exponentielles des coefficients diagonaux de \(A\). Le déterminant de \(E(A)\) est alors le produit de ces exponentielles, ce qui donne \(e^{\operatorname{tr}(A)}\).
La décomposition de Jordan permet d’écrire \(A\) sous la forme \(A = PJP^{-1}\), où \(J\) est une matrice de Jordan. Tu peux alors calculer \(E(A) = PE(J)P^{-1}\), où \(E(J)\) est une matrice triangulaire supérieure dont les coefficients diagonaux sont les exponentielles des coefficients diagonaux de \(J\). Les blocs de Jordan non diagonaux introduisent des termes polynomiaux supplémentaires.
Cette propriété est essentielle car elle permet de simplifier le calcul de l’exponentielle de la somme de deux matrices. Lorsque \(A\) et \(B\) commutent, leur exponentielle se comporte comme l’exponentielle usuelle, ce qui facilite les calculs et les démonstrations en algèbre linéaire et en théorie des groupes.
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