Questions du sujet
1. Déterminer l’ordre de la formule de quadrature $I_0(f) = f(0)$ et représenter graphiquement l’erreur associée $e(f)$.
2. Faire de même avec la formule de quadrature $I_0(f) = f(1/2)$.
3. Déterminer les coefficients $\lambda_0, \lambda_1, \lambda_2$ pour que la formule $I_2(f) = \lambda_0 f(0) + \lambda_1 f(1/2) + \lambda_2 f(1)$ soit exacte sur $\mathbb{R}_2[X]$. Cette formule de quadrature est-elle d’ordre $2$ ?
4. Montrer que l’application linéaire $\varphi : \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}^{n+1}, \; P \mapsto (P(x_0), P(x_1), \ldots, P(x_n))$ est un isomorphisme.
5. Montrer que, pour tout $i \in \llbracket 0, n \rrbracket$, il existe un unique polynôme $L_i \in \mathbb{R}_n[X]$ tel que $\forall j \in \llbracket 0, n \rrbracket,\, L_i(x_j) = \begin{cases} 0 &\text{si } j \neq i \\ 1 & \text{si } j = i\end{cases}$.}
6. Montrer que $(L_0, \ldots, L_n)$ est une base de $\mathbb{R}_n[X]$. Cette base est appelée base de Lagrange associée aux points $(x_0, \ldots, x_n)$.
7. On suppose que, pour tout $k \in \mathbb{N}$, $x \mapsto x^k w(x)$ est intégrable sur $I$. Montrer que la formule de quadrature $I_n(f) = \sum_{j=0}^n \lambda_j f(x_j)$ est exacte sur $\mathbb{R}_n[X]$ si, et seulement si, \[\forall j \in \llbracket 0, n\rrbracket, \quad \lambda_j = \int_I L_j(x) w(x) dx.\]
8. On se place dans le cas $I = [0,1]$ et $\forall x \in I,\, w(x) = 1$. Déterminer la base de Lagrange associée aux points $(0,1/2,1)$ et retrouver ainsi les coefficients de la formule de quadrature $I_2(f)$ de la question 3.
9. À l’aide de la formule de Taylor avec reste intégral, montrer que $e(f) = e(R_m)$, où $R_m$ est définie par \[\forall x \in [a,b],\quad R_m(x) = \frac{1}{m!}\int_a^b \varphi_m(x,t) f^{(m+1)}(t) dt.\]
10. En déduire que, si $m \geq 1$, \[e(f) = \frac{1}{m!}\int_a^b K_m(t) f^{(m+1)}(t) dt,\] où la fonction $K_m : [a,b] \to \mathbb{R}$ est définie par \[\forall t \in [a,b], \quad K_m(t) = e(x \mapsto \varphi_m(x,t)) = \int_a^b \varphi_m(x, t) w(x) dx – \sum_{j=0}^n \lambda_j \varphi_m(x_j, t).\]}
11. Calculer le noyau de Peano associé $t \mapsto K_1(t)$ et montrer que, pour toute fonction $g$ de classe $\mathcal{C}^2$ de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$, on a la majoration suivante de l’erreur de quadrature associée :
\[
|e(g)| \leq \frac{1}{12} \sup_{x\in[0,1]} |g”(x)|.
\]
12. Représenter graphiquement $T_n(f)$.
13. On suppose que $f$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$. Montrer que
\[
e_n(f) = \frac{b-a}{n} \sum_{i=0}^{n-1} e(g_i),
\]
où $e$ est l’erreur associée à la formule de quadrature $I_1$ étudiée à la question 11 et les $g_i : [0,1] \to \mathbb{R}$ sont des fonctions à préciser.
14. En déduire la majoration d’erreur
\[
|e_n(f)| \leq \frac{(b-a)^3}{12 n^2} \sup_{x \in [a,b]} |f”(x)|.
\]
15. Montrer que, pour toutes fonctions $f$ et $g$ de $E$, le produit $fg\, w$ est intégrable sur $I$.
On pourra utiliser l’inégalité $\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2,\; |ab| \leq \frac12 (a^2+b^2)$, après l’avoir justifiée.
}
16. Montrer que $E$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.
17. Pour toutes fonctions $f$ et $g$ de $E$, on pose \[
\langle f, g \rangle = \int_I f(x)g(x)w(x)dx.
\]
Montrer qu’on définit ainsi un produit scalaire sur $E$.
18. En étudiant $\langle p_n, q \rangle$, montrer que $p_n$ possède $n$ racines distinctes dans $\mathring{I}$.
19. En raisonnant avec le polynôme $\prod_{i=0}^n (X – x_i)$, montrer que $m \leq 2n+1$.
20. Montrer que $m=2n+1$ si et seulement si les $x_i$ sont les racines de $p_{n+1}$.}
21. Déterminer les quatre premiers polynômes orthogonaux $(p_0, p_1, p_2, p_3)$ associés au poids $w$.
22. En déduire explicitement une formule de quadrature d’ordre $5$ (on déterminera les points $x_j$ et les coefficients $\lambda_j$).
23. Montrer que, pour tout entier $k \in \mathbb{N}$, la fonction $x \mapsto x^k w(x)$ est intégrable sur $I$. Cela entraine que $E$ contient toutes les fonctions polynomiales.
24. Calculer $Q_0, Q_1$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, exprimer simplement $Q_{n+2}$ en fonction de $Q_{n+1}$ et $Q_n$.
25. En déduire que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $Q_n$ est polynomiale et déterminer son degré et son coefficient dominant.}
26. On note $(p_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite de polynômes orthogonaux associés au poids $w$. Montrer que
\[
\left\{
\begin{array}{l}
p_0 = Q_0, \\
\forall n \in \mathbb{N}^*, \; p_n = \frac{1}{2^{n-1}} Q_n.
\end{array}
\right.
\]
27. Pour $n\in\mathbb{N}$, déterminer explicitement les points $(x_j)_{0\leq j\leq n}$ de $I$ telle que la formule de quadrature $I_n(f) = \sum_{j=0}^n \lambda_j f(x_j)$ soit d’ordre maximal.
28. Montrer qu’il existe un réel $q > 0$ tel que $\forall n \in \mathbb{N},\, |\alpha_n| \leq q^n$.
29. On suppose que $\frac{1}{S}$ est développable en série entière au voisinage de $0$ et on note $\sum_{n\geq 0} \beta_n z^n$ son développement. Calculer $\beta_0$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, exprimer $\beta_n$ en fonction de $\alpha_1, \ldots, \alpha_n, \beta_1, \ldots, \beta_{n-1}$.
En déduire que
\[
\forall n \in \mathbb{N},\; |\beta_n| \leq (2q)^n.
\]
30. Montrer que $\frac{1}{S}$ est développable en série entière au voisinage de $0$.}
31. En utilisant ce qui précède, montrer qu’il existe une unique suite complexe $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et un réel $r>0$ tels que, pour tout $z\in\mathbb{C}$,
\[
0 < |z| < r \Longrightarrow \frac{z}{e^z - 1} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{b_n}{n!} z^n.
\]
32. En effectuant un produit de Cauchy, montrer que $b_0=1$ et, pour tout entier $n\geq 2$,
\[
\sum_{p=0}^{n-1} \binom{n}{p} b_p = 0.
\]
33. En déduire la valeur de $b_1, b_2, b_3$ et $b_4$.
34. En utilisant un argument de parité, montrer que $b_{2p+1} = 0$ pour tout entier $p\geq 1$.
35. Déterminer $B_0, B_1, B_2$ et $B_3$.}
36. Montrer que, pour tout entier $m\geq 2$, $B_m(1) = b_m$, puis que, pour tout entier $m \geq 1$, $B_m' = m B_{m-1}$.
37. Montrer que
\[
\int_0^n g(x) dx = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{g(k) + g(k+1)}{2} - \int_0^n B_1(x - \lfloor x \rfloor) g'(x) dx.
\]
38. En déduire que pour tout entier $m \geq 2$,
\[
\int_0^n g(x) dx = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{g(k) + g(k+1)}{2} + \sum_{p=2}^m \frac{(-1)^{p-1}b_p}{p!} (g^{(p-1)}(n) - g^{(p-1)}(0)) + \frac{(-1)^m}{m!} \int_0^n B_m(x - \lfloor x \rfloor) g^{(m)}(x) dx.
\]
39. Montrer que, pour tout entier $m \geq 1$,
\[
\int_a^b f(x) dx = T_n(f) - \sum_{p=1}^m \frac{\gamma_{2p}}{n^{2p}} + \rho_{2m}(n),
\]
où les coefficients $\gamma_{2p}$ sont donnés par \[
\gamma_{2p} = \frac{(b-a)^{2p} b_{2p}}{(2p)!} \left(f^{(2p-1)}(b) - f^{(2p-1)}(a)\right)
\]
et $\rho_{2m}(n)$ est un reste intégral vérifiant la majoration
\[
|\rho_{2m}(n)| \leq \frac{C_{2m}}{n^{2m}}
\]
où $C_{2m}$ est une constante à préciser ne dépendant que de $m, a$ et $b$.
}