Questions du sujet
1. I.A.1) Montrer que $A \in SO(2)$ si et seulement si il existe un réel $t$ tel que $A=R_t$ avec $R_t = \begin{pmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t \end{pmatrix}$. 2. I.A.2) Écrire une procédure ou une fonction dans le langage Maple ou Mathematica qui prend en entrée un quadruplet $(a, b, c, d)$ de réels et qui renvoie, lorsque c’est possible, un réel $t$ tel que $\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}=R_t$ et un message d’erreur dans le cas contraire. 3. I.A.3) Vérifier que l’application qui, à tout réel $t$, associe la matrice $R_t$, est un morphisme surjectif du groupe $(\mathbb{R}, +)$ sur le groupe $(SO(2), \times)$.\\ Ce morphisme est-il bijectif ? 4. I.A.4) Montrer que, pour tout $t$ de $\mathbb{R}$ et tout $u$ non nul de $\mathbb{R}^2$, $t$ est une mesure de l’angle orienté $(u, \rho_t(u))$, où $\rho_t$ est l’endomorphisme (la rotation d’angle $t$) $f_{R_t}$ canoniquement associé à $R_t$.\\ Pour tout $k \in \mathbb{R}_+^*$ et tout $t \in \mathbb{R}$, l’endomorphisme $k\rho_t$ est appelé similitude directe de rapport $k$ et d’angle $t$. 5. I.B.1) Montrer que $f_A$ et $f_B$ ont les mêmes valeurs propres.} 6. I.B.2) Montrer que si $\lambda$ est une valeur propre de $A$, alors $E_\lambda(f_A) = f_P (E_\lambda(f_B))$. 7. I.C.1) On note $K_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}$.\\ Vérifier que l’endomorphisme $\sigma_0 = f_{K_2}$ est une réflexion (symétrie orthogonale par rapport à une droite du plan) dont on précisera les éléments propres. 8. I.C.2) Pour tout réel $t$, préciser l’endomorphisme $\sigma_t$ canoniquement associé à $R_{-t} K_2 R_t$ et en particulier ses éléments propres. 9. I.C.3) Montrer, que pour toute matrice $A$ de $O(2)$ telle que $\det(A) = -1$, il existe un réel $t$ tel que $A = \begin{pmatrix} \cos(2t) & \sin(2t) \\ \sin(2t) & -\cos(2t) \end{pmatrix}$. 10. II.A.1) Montrer que pour toute $A$ de $M_n(\mathbb{R})$ on a $A \text{ dos } A$, que pour tout $(A,B)$ de $M_n(\mathbb{R})^2$ si $A \text{ dos } B$ alors $B \text{ dos } A$ et que pour tout $(A,B,C)$ de $M_n(\mathbb{R})^3$ si $A \text{ dos } B$ et $B \text{ dos } C$ alors $A \text{ dos } C$.} 11. II.A.2) Quelles sont les matrices directement orthogonalement semblables à $\alpha I_n$ pour $\alpha$ réel ? 12. II.A.3) Quelles sont les matrices directement orthogonalement semblables à $A$ si $A$ appartient à $SO(2)$ ? 13. II.A.4) Quelles sont les matrices directement orthogonalement semblables à $K_2$ ? 14. II.B.1) Montrer que $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ sont directement orthogonalement semblables. 15. II.B.2) Montrer que $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ sont semblables mais ne sont pas orthogonalement semblables.} 16. II.B.3) Montrer que $\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ et sa transposée sont orthogonalement semblables mais ne sont pas directement orthogonalement semblables. 17. III.A.1) Vérifier que $CP_A$ est un cercle (on convient qu’un cercle peut être réduit à un point) ; on appellera $CP_A$ cercle propre de $A$. Préciser son centre $C_A$ et son rayon $r_A$. 18. III.A.2) Préciser, en fonction de $A$, le cardinal de l’intersection de $CP_A$ avec l’axe des abscisses $\mathbb{R} \times \{0\}$. 19. III.A.3) Que représentent les solutions de l’équation $\varphi_A(x,0)=0$ pour $A$ ? Préciser le nombre de valeurs propres réelles de $A$ selon la valeur de $\Delta_A = (a-d)^2 + 4bc$. 20. III.B.1) Comparer le cercle propre de $A$ et celui de sa transposée.} 21. III.B.2) Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur $CP_A$ pour que $A$ soit symétrique. 22. III.B.3) a) Déterminer les matrices dont le cercle propre est de rayon nul et caractériser géométriquement leur endomorphisme canoniquement associé.\\ b) Lorsque le cercle propre est réduit à son centre, préciser l’endomorphisme canoniquement associé, d’une part quand ce centre appartient au cercle trigonométrique (de centre l’origine $O = (0,0)$ et de rayon 1) et d’autre part quand ce centre appartient à l’axe des abscisses.\\ c) Que peut-on dire de la matrice $A$ et de $f_A$ quand le cercle propre $CP_A$ est de rayon nul et de centre appartenant à l’axe des ordonnées $\{0\} \times \mathbb{R}$ ? 23. III.C) Montrer que deux matrices $A$ et $B$ de $M_2(\mathbb{R})$ sont directement orthogonalement semblables si et seulement si elles ont le même cercle propre. 24. III.D.1) Dans le cas où $A= \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$, représenter le cercle et le quadrilatère $EHF G$. 25. III.D.2) Lorsque les quatre points $E, F, G, H$ sont distincts montrer qu’ils sont les sommets d’un rectangle, que l’on appellera rectangle propre de $A$.} 26. III.D.3) Préciser les matrices pour lesquelles certains de ces points sont confondus, c’est-à-dire lorsque le rectangle est aplati. 27. III.E.1) Montrer qu’il existe un unique triplet $(\alpha,\beta,\gamma)$ de $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}_+$ que l’on précisera, tel que $A$ soit directement orthogonalement semblable à $\begin{pmatrix} \alpha+\gamma & -\beta \\ \beta & \alpha-\gamma \end{pmatrix}$. 28. III.E.2) Suivant les valeurs de $(\alpha, \beta, \gamma)$ préciser le nombre de valeurs propres réelles de $A$. 29. III.E.3) Montrer que pour tout endomorphisme $f$ de $\mathbb{R}^2$, il existe des réels positifs ou nuls $k$ et $\ell$, une rotation plane $\rho_t$ et une réflexion $\sigma_{t_0}$ tels que $f = k\rho_t + \ell\sigma_{t_0}$. 30. III.E.4) Écrire une procédure ou une fonction dans le langage Maple ou Mathematica qui prend en entrée un quadruplet $(a,b,c,d)$ de réels et qui renvoie un quadruplet $(k, \ell, t, t_0)$ tel que si $A = \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$ on ait $f_A = k\rho_t + \ell\sigma_{t_0}$.} 31. IV.A.1) Montrer que $A$ est diagonalisable. 32. IV.A.2) Montrer que si $c \neq 0$, alors $(\overrightarrow{L_1E}, \overrightarrow{L_2E})$ est une base de $\mathbb{R}^2$ constituée de vecteurs propres pour $f_A$. 33. IV.A.3) Lorsque $c = 0$, peut-on donner une base de vecteurs propres pour $f_A$ à l’aide du cercle propre et du rectangle propre ? 34. IV.A.4) Montrer que le carré du cosinus de l’angle de deux vecteurs propres de $A$ associés à deux valeurs propres distinctes est déterminé par le cercle $C(\Omega, r)$, et ne dépend pas du choix d’une matrice $A$ de cercle propre égal $C(\Omega, r)$ (on pourra, si on le juge utile, introduire la projection orthogonale de $\Omega$ sur l’axe des abscisses).\\ Qu’en est-il si $A$ est symétrique ? 35. IV.A.5) Caractériser géométriquement $f_A$ lorsque $\Omega = O$, avec $O = (0,0)$, et $r = 1$.} 36. IV.A.6) Caractériser géométriquement $f_A$ lorsque $CP_A$ est le cercle de diamètre le segment $[O,I]$ avec $I = (1,0)$. 37. IV.B.1) La matrice $A$ est-elle diagonalisable ? Est-elle trigonalisable ? 38. IV.B.2) Peut-on donner un vecteur propre à l’aide des points $L, E, F, G$ et $H$ ? 39. IV.B.3) Que peut-on dire des matrices dont le cercle propre est tangent à l’axe des abscisses et de centre situé sur l’axe des ordonnées ? 40. IV.B.4) Montrer qu’il existe un unique réel non nul $\alpha$ tel que $A$ soit directement orthogonalement semblable à la matrice $T_{\lambda, \alpha} = \begin{pmatrix} \lambda & \alpha \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}$.\\ Préciser $\alpha$ à l’aide des éléments de la matrice $A$.\\ Où peut-on retrouver ce nombre sur le cercle propre ?} 41. IV.B.5) Montrer qu’il existe une base orthonormée directe $(e_1, e_2)$ du plan telle que l’on ait, pour tout $u$ de $\mathbb{R}^2$, $f_A(u) = \lambda u + \alpha (e_2|u) e_1$. 42. IV.C.1) Existe-t-il une matrice $P$ de $GL_2(\mathbb{R})$ telle que la matrice $P^{-1} A P$ soit diagonale ?\\ Existe-t-il une matrice $P$ de $GL_2(\mathbb{R})$ telle que la matrice $P^{-1} A P$ soit triangulaire supérieure ? 43. IV.C.2) Déterminer les points de $C(\Omega, r)$ en lesquels la tangente à $C(\Omega, r)$ contient $K$. 44. IV.C.3) Si $U$ est l’un de ces points, exprimer les valeurs propres de $A$, considérée comme élément de $M_2(\mathbb{C})$, à l’aide de l’abscisse de $K$ et de la distance $KU$ de $K$ à $U$. 45. IV.D.1) Dans cette question, $\Omega = (\alpha, \beta) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^*$, $r = |\beta|$ et $E = (\alpha + |\beta|, \beta)$.\\ Préciser les valeurs propres de $A$ et donner une matrice $B$ dont les termes non diagonaux sont opposés et qui soit directement orthogonalement semblable à $A$, ainsi qu’une décomposition orthogonale de l’endomorphisme canoniquement associé à $B$.} 46. IV.D.2) Dans cette question $\Omega = (0, \alpha)$ avec $\alpha > 0$ et $r = \alpha/2$.\\ Préciser les valeurs propres $A$ et donner une matrice $B$ dont les éléments non diagonaux sont opposés et qui soit directement orthogonalement semblable à $A$, ainsi qu’une décomposition orthogonale de l’endomorphisme canoniquement associé à $B$.\\ Faire un dessin dans le cas où $\alpha =6$ illustrant les questions IV.C.2 et IV.C.3. 47. V.A.1) Calculer $\psi_A(x, y, z)$. 48. V.A.2) Préciser la nature de la quadrique $\mathcal{H}_A$ d’équation $\psi_A(x, y, z) = 0$. 49. V.B.1) Préciser l’intersection de $\mathcal{H}_A$ avec le plan d’équation $z = 0$. 50. V.B.2) Préciser l’intersection $Z_A$ de $\mathcal{H}_A$ avec le plan d’équation $x = (a+d)/2$.} 51. V.C.1) Si la matrice $A$ a deux valeurs propres non réelles, comment voir les valeurs propres de $A$ sur $\mathcal{H}_A$ ? (On pourra s’intéresser à l’intersection de $Z_A$ avec le plan d’équation $y=0$.)\\ Peut-on voir une base de vecteurs propres à l’aide de $\mathcal{H}_A$ ? 52. V.C.2) Dans le cas où $A = \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ faire un dessin en perspective illustrant ce qui précède.}FAQ
Pour montrer que \( A \in SO(2) \), tu dois vérifier que \( A \) est une matrice orthogonale de déterminant 1. Cela revient à montrer qu’il existe un réel \( t \) tel que \( A = R_t \), où \( R_t \) est la matrice de rotation d’angle \( t \). En d’autres termes, \( A \) doit être de la forme \( \begin{pmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t \end{pmatrix} \).
Tu peux écrire une fonction qui prend en entrée un quadruplet \((a, b, c, d)\) et vérifie si la matrice correspondante est dans \( SO(2) \). Si c’est le cas, elle renvoie l’angle \( t \) tel que \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = R_t \). Sinon, elle affiche un message d’erreur. Par exemple, en Mathematica, tu peux utiliser `ArcCos[a]` pour trouver \( t \) si \( a^2 + b^2 = 1 \) et \( c = -b \), \( d = a \).
Oui, l’application \( t \mapsto R_t \) est un morphisme surjectif du groupe \( (\mathbb{R}, +) \) vers \( (SO(2), \times) \). Cependant, ce morphisme n’est pas bijectif car plusieurs angles \( t \) (différant de \( 2\pi \)) donnent la même matrice de rotation. C’est un exemple classique de morphisme non injectif.
L’endomorphisme \( \rho_t \) représente une rotation d’angle \( t \) dans le plan. Pour tout vecteur non nul \( u \), l’angle orienté entre \( u \) et \( \rho_t(u) \) est exactement \( t \). C’est une propriété fondamentale des rotations planes.
Deux matrices semblables \( A \) et \( B \) (c’est-à-dire qu’il existe \( P \) inversible telle que \( B = P^{-1}AP \)) ont les mêmes valeurs propres car elles représentent le même endomorphisme dans des bases différentes. Les valeurs propres sont des invariants par similitude.
L’endomorphisme \( \sigma_0 \) associé à la matrice \( K_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \) est une réflexion (symétrie orthogonale) par rapport à l’axe des abscisses. Ses valeurs propres sont \( 1 \) et \( -1 \), et ses vecteurs propres sont les vecteurs de l’axe \( Ox \) et \( Oy \) respectivement.
Les matrices de \( O(2) \) de déterminant \( -1 \) sont les réflexions. Elles peuvent s’écrire sous la forme \( \begin{pmatrix} \cos(2t) & \sin(2t) \\ \sin(2t) & -\cos(2t) \end{pmatrix} \), où \( t \) est un réel. Cela correspond à une symétrie orthogonale par rapport à une droite d’angle \( t \).
Deux matrices \( A \) et \( B \) sont directement orthogonalement semblables s’il existe une matrice orthogonale directe \( P \) (c’est-à-dire \( P \in SO(n) \)) telle que \( B = P^{-1}AP \). Cela signifie que \( A \) et \( B \) représentent le même endomorphisme dans des bases orthonormées directes différentes.
Les matrices directement orthogonalement semblables à \( \alpha I_n \) sont exactement les matrices \( \alpha I_n \) elles-mêmes. En effet, si \( A \) est directement orthogonalement semblable à \( \alpha I_n \), alors \( A \) est une matrice scalaire, donc \( A = \alpha I_n \).
Le cercle propre \( CP_A \) d’une matrice \( A \) est un cercle (ou un point) défini dans le plan complexe, centré en \( C_A = \left( \frac{a + d}{2}, \frac{c – b}{2} \right) \) et de rayon \( r_A = \frac{\sqrt{(a – d)^2 + 4bc}}{2} \). Il permet de visualiser les valeurs propres de \( A \) et leurs propriétés géométriques.
Si le cercle propre \( CP_A \) est réduit à un point, cela signifie que la matrice \( A \) est scalaire, c’est-à-dire \( A = \alpha I_2 \). Géométriquement, l’endomorphisme associé est une homothétie de rapport \( \alpha \).
Tout endomorphisme \( f \) de \( \mathbb{R}^2 \) peut s’écrire comme une combinaison linéaire d’une rotation \( \rho_t \) et d’une réflexion \( \sigma_{t_0} \), c’est-à-dire \( f = k \rho_t + \ell \sigma_{t_0} \), où \( k \) et \( \ell \) sont des réels positifs ou nuls. Cela permet de décomposer \( f \) en une partie rotationnelle et une partie réflexive.
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