Questions du sujet
1. I.A.1) D\’emontrer que si deux matrices de $E$ sont semblables, elles ont m\^eme trace et m\^eme polyn\^ome caract\’eristique. La r\’eciproque est-elle vraie ? Justifier la r\’eponse. 2. I.A.2) D\’emontrer que $\Phi : (M_1, M_2) \mapsto \operatorname{Tr}(^t M_1 M_2)$ d\’efinit un produit scalaire sur $E$. Pour la suite du probl\`eme, $E$ pourra \^etre muni de la norme associ\’ee \`a ce produit scalaire. 3. I.A.3) D\’emontrer que, pour toute matrice $M \in E$, on a $|\det(M)| \leq \frac{1}{2} \operatorname{Tr}(^t MM)$. Quand y a-t-il \’egalit\’e ? 4. I.A.4) Pour $M \in E$ et $x \in \mathbb{R}$, exprimer $\chi_M(x)$ en fonction de $x, \operatorname{Tr}(M)$ et $\det(M)$. En conclure que $1$ est une valeur propre de $M$ si, et seulement si, $\operatorname{Tr}(M) = 1 + \det(M)$. 5. I.B.1) Si $\theta \in \mathbb{R}$, on pose $P(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$ et $\varphi(\theta) = \operatorname{Tr}(M P(\theta))$. D\’emontrer que $\varphi$ est une application born\’ee de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et qu’il existe $\theta_1 \in \mathbb{R}$ en lequel $\varphi$ atteint son maximum. En choisissant alors un tel $\theta_1$ et en consid\’erant $\varphi'(\theta_1)$, d\’emontrer que $M P(\theta_1)$ est une matrice sym\’etrique.} 6. I.B.2) En d\’eduire que $M \in E$ peut se mettre sous la forme $P(t_1) D P(t_2)$, o\`u $(t_1, t_2) \in \mathbb{R}^2$ et o\`u $D$ est une matrice diagonale de $E$. 7. I.B.3) Exemple : d\’ecomposer la matrice $M_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ sous la forme $P(t_1) D P(t_2)$, o\`u $(t_1, t_2) \in \mathbb{R}^2$. 8. I.C) Soit $A \in E$, $U$ et $V$ des matrices orthogonales d’ordre $2$ et $B = U A V$. D\’emontrer que $^t A A$ et $^t B B$ sont semblables. 9. II.A) Reformuler la d\’efinition de $R$ en utilisant la notion de norme subordonn\’ee. 10. II.B.1) Si $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in R$, d\’emontrer que $(a, b, c, d)$ appartient \([-1,1]^4\). D\’emontrer que $R$ est un compact de $E$.} 11. II.B.2) D\’emontrer que $R$ est aussi un convexe de $E$, c’est-\`a-dire que, si $M_1$ et $M_2$ sont deux matrices de $R$, le segment $[M_1 M_2]$ est inclus dans $R$. 12. II.C.1) D\’emontrer que $M \in R \iff \forall X \in \mathbb{R}^2$, ${}^t X {}^t M M X \leq {}^t X X$. 13. II.C.2) \\ a) Si $M \in E$, justifier le fait que le polyn\^ome caract\’eristique de $^t M M$ est de la forme $(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)$, avec $\lambda_1$ et $\lambda_2$ r\’eels. D\’emontrer ensuite que ces r\’eels sont positifs ou nuls. On pourra consid\’erer des expressions de la forme ${}^t X {}^t M M X$.\\ b) D\’emontrer que $M \in R$ si, et seulement si, les valeurs propres de $^t M M$ appartiennent \`a $[0,1]$. 14. II.D) D\’eduire en particulier de II.C.2.a que $M \in R \iff \left\{ \begin{matrix} \operatorname{Tr}(^{t}MM) \leq 1 + (\det(M))^2 \\ \operatorname{Tr}(^{t}MM) \leq 2 \end{matrix}\right.$ 15. II.E.1) En reprenant les calculs de II.C.2.a, d\’emontrer que $M$ appartient \`a $S$ si, et seulement si, le polyn\^ome caract\’eristique de $^{t}MM$ est de la forme $(x – \lambda)(x – 1)$, o\`u $\lambda \in [0,1]$.} 16. II.E.2) Si $M \in E$, on l’\’ecrit sous la forme $M = P(t_1) D P(t_2)$, o\`u $(t_1, t_2) \in \mathbb{R}^2$ et o\`u $D = \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix}$ avec $\alpha \leq \beta$ et $\beta > 0$. a) D\’eterminer les valeurs propres de $^{t}MM$ en fonction de $\alpha$ et $\beta$.\\ b) D\’emontrer que $M \in S$ si, et seulement si, il existe $U$ et $V$, matrices orthogonales d’ordre 2 et $\gamma \in [-1,1]$ tels que $M = U \begin{pmatrix} \gamma & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} V$. 17. II.E.3) En d\’eduire que, si $M$ est une matrice non orthogonale de $S$, il existe des matrices orthogonales $W$ et $W_0$ d’ordre $2$ telles que $M$ appartienne au segment $[W W_0]$. On pourra montrer d’abord que si $M$ est de la forme $\begin{pmatrix} \gamma & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, avec $\gamma \in ]-1,1[$, on peut choisir $W$ et $W_0$ orthogonales et diagonales telles que $M$ appartienne au segment $[W W_0]$. 18. II.F.1) D\’emontrer que $E_1$ et $E_2$ sont deux sous-espaces vectoriels suppl\’ementaires de $E$ orthogonaux au sens du produit scalaire $\Phi$ d\’efini en I.A.2. 19. II.F.2) D\’emontrer que $E_1$ contient toutes les matrices orthogonales d’ordre $2$ et de d\’eterminant $+1$ et que $E_2$ contient toutes les matrices orthogonales d’ordre $2$ et de d\’eterminant $-1$. 20. II.F.3) Lorsque $M$ est une matrice non orthogonale de $S$, d\’eduire de ce qui pr\’ec\`ede le nombre de segments $[WW_0]$ — o\`u $W$ et $W_0$ sont orthogonales — contenant $M$.} 21. III.A.1) Si $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, d\’emontrer que que $M \in S$ implique $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1 + (ad-bc)^2$. 22. III.A.2) \\ a) R\’eciproquement, \`a quelle condition, v\’erifi\’ee par son d\’eterminant, une matrice $M \in H$ appartient-elle \`a $S$ ?\\ b) D\’emontrer qu’une matrice $M \in H$ appartient \`a $S$ si et seulement si $\operatorname{Tr}(^{t}MM)\leq 2$. 23. III.B.1) Si $(A,B)\in E_1\times E_2$, calculer $\det(A+B)$ en fonction de $\det(A)$ et de $\det(B)$. 24. III.B.2) D\’emontrer que, si $W$ et $W_0$ sont des matrices orthogonales \’el\’ements de $E$, telles que $\det(W)=+1$ et $\det(W_0)=-1$, la droite $(WW_0)$ est incluse dans $H$. R\’eciproquement, $H$ est-elle r\’eunion de droites de cette forme ? 25. IV.A) Si $M \in E$, on rappelle que le polyn\^ome caract\’eristique de $^{t}MM$ est de la forme $(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)$, avec $(\lambda_1, \lambda_2) \in \mathbb{R}^2$, $\lambda_1>0$ et $\lambda_2>0$. Pour fixer les id\’ees, on suppose $0\leq\lambda_1\leq\lambda_2$. On suppose $M\neq 0$. D\’eterminer en fonction de $\lambda_1$ et $\lambda_2$ le nombre de r\’eels $t$ positifs tels que $tM\in H$. On en trouvera “en g\’en\’eral” deux, et on interpr\’etera les cas particuliers.} 26. IV.B.1) D\’eterminer les matrices orthogonales qui sont dans $P_1$. 27. IV.B.2) \\ a) D\’emontrer que $H\cap P_1$ est la r\’eunion de deux coniques $C_1$ et $C_2$. D\’eterminer $C_1\cap C_2$.\\ b) Repr\’esenter par un dessin $H\cap P_1$ et $S\cap P_1$ dans le plan $P_1$. 28. IV.C) Soit $P_2$ l’ensemble des matrices de la forme $M_2(x,y)=x\sqrt{2}\cdot x\sqrt{2}\cdot 0\ y$. Soit $(u, v) \in \mathbb{R}^2$ ; on ne demande pas de v\’erifier que la relation du III.A.1 implique $M_2(x, y) \in H\cap P_2 \iff x^2y^2-2(x^2+y^2-1)=0$.\\ Etudier et repr\’esenter par un dessin $H\cap P_2$ et $S\cap P_2$ dans le plan $P_2$ (on pourra discuter et r\’esoudre l’\’equation par rapport \`a la variable $y$). 29. IV.D.1) D\’emontrer qu’une matrice $M \in S_2$ appartient \`a $H$ si, et seulement si, elle admet une valeur propre \’egale \`a $+1$ ou \`a $-1$. 30. IV.D.2) En \’ecrivant une matrice de $S_2$ sous la forme $xM_1 + yM_2 + zM_3$, d\’ecrire l’ensemble $C_a$ des matrices de $S_2$ admettant le r\’eel donn\’e $a$ comme valeur propre. En d\’eduire une description de $H\cap S_2$.} 31. IV.D.3) Soit $\theta\in\mathbb{R}$ et $N=P(\theta)M(x,y,z)P(\theta)^{-1}$ ; d\’emontrer que c’est une matrice de la forme $M(u,v,w)$ et exprimer $(u,v,w)$ en fonction de $(x,y,z)$. Interpr\’eter certains des r\’esultats de la question IV.D.2. 32. IV.D.4) Repr\’esenter par un dessin $H\cap S_2$ et $S\cap S_2$.}FAQ
Deux matrices sont dites semblables si l’une peut s’obtenir de l’autre par conjugaison matricielle. Cette notion est centrale car elle permet de caractériser les matrices par des invariants comme la trace ou le polynôme caractéristique. C’est un classique en algèbre linéaire des concours de Centrale : maîtriser cette propriété est incontournable, aussi bien en exercice classique qu’en vrai problème de concours !
En maths de prépa PC, il y a plusieurs façons de définir un produit scalaire sur l’espace des matrices. Ici, tu rencontres l’application $(M_1, M_2) \mapsto \operatorname{Tr}(M_1^t M_2)$ : c’est une structure qui te permet de mesurer des notions de distance et d’angle dans l’espace matriciel. Ces concepts sont utiles pour toutes les questions sur les normes, la diagonalisation ou la symétrie des matrices rencontrées dans l’épreuve de Centrale. Pour approfondir et accéder à des exercices détaillés similaires, débloque les corrigés et explore tout le parcours Prépa Booster.
La norme associée au produit scalaire via la trace s’exprime comme la racine carrée de la trace de la transposée multipliée par la matrice elle-même, donc $\\|M\\| = \\sqrt{\\operatorname{Tr}(M^tM)}$. Cette norme joue un rôle crucial pour discuter des bornes sur le déterminant, des inégalités matricielles, et intervient notamment dans l’étude de la compacité ou de la convexité de certains ensembles de matrices. Savoir jouer avec ces normes est hyper valorisé dans les copies de concours et montre ta maturité mathématique !
La diagonalisation et les changements de bases par matrices de rotation sont des outils incontournables pour simplifier le calcul avec les matrices, en particulier en petit format (2×2 ici). Elles intervenaient déjà fréquemment dans les sujets de concours, car elles permettent de relier des concepts géométriques (axes propres) et algébriques (valeurs propres, invariants…). Dominer ces méthodes, c’est se donner toutes les armes pour attaquer des sujets transversaux sur les matrices et les applications linéaires, ce qui tombe très souvent en concours d’écoles d’ingénieurs.
La compacité te permet de garantir que certaines bornes sont atteintes, et est donc très utile pour les raisonnements par existence dans les espaces vectoriels topologiques comme celui des matrices. Le fait qu’un ensemble de matrices soit convexe signifie que toute combinaison linéaire (avec des coefficients positifs et sommant à 1) de deux matrices de l’ensemble reste dans l’ensemble. C’est fondamental dans l’étude des normes matricielles et pour aborder les questions d’optimisation ou de majorations typiques de l’oral ou de l’écrit de Centrale.
Pour les matrices réelles $2 \times 2$, le polynôme caractéristique se calcule facilement, et ses racines sont les valeurs propres. Savoir manipuler la trace, le déterminant, et donner les conditions sur la diagonalisabilité ou la nature des valeurs propres, c’est essentiel pour chaque prépa scientifique, et quasiment systématique en Centrale. Ce sujet exploite à fond ces liens entre calculs explicites et propriétés algébriques profondes des matrices.
Ces ensembles regroupent des matrices ayant des propriétés particulières (par exemple, liées à des contraintes de norme, à la relation $^t M M$). Les étudier permet de travailler sur les liens entre algèbre linéaire et géométrie, d’explorer des structures riches (compact, convexe, borné, etc.), et de manipuler toujours plus efficacement la notion de valeur propre. Tous ces outils sont mobilisables dans les sujets de concours et dans les colles.
Oui, c’est un grand classique des épreuves de mathématiques en PC. Les matrices orthogonales représentent les isométries du plan (rotations, symétries). Savoir reconnaître, caractériser et manipuler ces matrices est fondamental, tant pour calculer rapidement que pour comprendre la structure des groupes de transformations. Le sujet Centrale 2006 exploite cet outil dans de multiples contextes : décompositions, sous-espaces, classifications, etc.
Les sujets Centrale sont conçus pour couvrir tous les thèmes fondamentaux de la prépa scientifique, en liant théorie et pratique, raisonnement et calcul. S’entraîner dessus, c’est s’assurer de maîtriser toutes les techniques utiles, mais aussi de développer un regard critique et une vraie méthodologie d’analyse de sujet transversal et de synthèse. Pour aller plus loin, découvre le tableau de bord personnalisé sur Prépa Booster en débloquant les corrigés !