Questions du sujet
1. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u$. Montrer que l’orthogonal $F^\perp$ de $F$ est stable par $u$. 2. Montrer que $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^1$. 3. Calculer $\|\gamma(t)\|$ puis justifier que $\varphi'(0) = 0$. 4. En déduire que $u(x_0)$ est orthogonal à $y$. 5. Montrer que $x_0$ est vecteur propre de $u$.} 6. Soit $s \in \,]0,1[\,$. Tracer la courbe représentative de $k_s$ sur $[0,1]$. 7. Montrer que $K$ est continue sur $[0,1]\times[0,1]$. 8. Montrer que $T$ est un endomorphisme continu de $E$. 9. Pour tout $k\in\mathbb{N}$, calculer $T(p_k)$. En déduire que $F$ est stable par $T$. 10. En déduire $(T(p))”$ pour tout $p \in F$.} 11. Soit $f \in E$. Calculer $T(f)(0)$ et $T(f)(1)$. 12. Pour tout $f \in E$, montrer que $T(f)$ est de classe $\mathcal{C}^2$ puis que $T(f)” = -f$. 13. Montrer que $T$ est injectif. 14. Déterminer l’image de $T$. 15. Soit $\lambda \in \mathbb{R}$ une valeur propre non nulle de $T$ et $f$ un vecteur propre associé. Montrer que $f$ est solution de l’équation différentielle $\lambda f” = -f$.} 16. Déterminer les valeurs propres de $T$ et montrer que les sous-espaces propres associés sont de dimension $1$. 17. Justifier que, pour tout $(f,g) \in E^2$, on a $\langle T(f),g\rangle = \langle f, T(g)\rangle$. On pourra utiliser la question 12. 18. En déduire que $H = \{0\}$. 19. Montrer que la famille de vecteurs $(g_k)_{k\in\mathbb{N}^*}$ est orthonormale. 20. Montrer que $\Phi$ est continue.} 21. Montrer que \[ \lim_{N\to+\infty} \|T(f_N) – \Phi\| = 0. \] 22. En déduire $T(f) = \Phi$. 23. Montrer que l’on définit un produit scalaire sur $E_1$ en posant \[ \forall (f,g) \in (E_1)^2, \quad (f|g) = \int_0^1 f'(t)g'(t)\,dt. \] 24. Montrer que, pour toute fonction $f: [0,1] \to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $f(0) = 0$, on a \[ \forall x\in[0,1]\qquad |f(x)| \leq \sqrt{x} \left( \int_0^x (f'(t))^2 dt \right)^{1/2}. \] 25. Soit $f\in E_1$ de classe $\mathcal{C}^2$. Montrer que $U(f) = -T(f”)$. En déduire que $U(f) = f$.} 26. Montrer que $U$ est l’application identité de $E_1$. 27. Démontrer que l’espace préhilbertien $(E_1, (\cdot|\cdot))$ est un espace à noyau reproduisant et que son noyau reproduisant est l’application $K$ définie dans la partie précédente. 28. Montrer que $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ n’est pas un espace à noyau reproduisant. 29. Soit $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de réels telle que la série $\sum (a_n)^2$ soit convergente. Montrer que le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n t^n$ est supérieur ou égal à $1$. 30. Montrer que $E_2$ muni de $\langle \cdot , \cdot \rangle$ est un espace préhilbertien réel.} 31. Soit $x \in\,]-1,1[\,$. Déterminer $g_x \in E_2$ tel que, pour tout $f \in E_2$, \[ f(x) = \langle g_x, f \rangle \]. 32. En déduire que $E_2$ est un espace à noyau reproduisant et préciser son noyau. 33. Montrer que la fonction $(x, y) \mapsto \min(x,y)$ est un noyau reproduisant sur $(E_3, (\cdot | \cdot))$. 34. Déterminer un produit scalaire sur $E_4$ tel que la fonction $(x, y) \mapsto \min(\varphi(x), \varphi(y))$ soit un noyau reproduisant sur l’espace préhilbertien $E_4$. 35. Démontrer que \[ N(V_x) = \sqrt{\langle k_x, k_x\rangle} \] } 36. Démontrer que toutes les fonctions de $E$ sont continues. 37. Justifier que $T$ induit un isomorphisme de $(\ker T)^\perp$ sur $\operatorname{Im} T$. 38. Montrer que $(\operatorname{Im} T, \varphi)$ est un espace à noyau reproduisant, de noyau $K$.}FAQ
Si F est stable par un endomorphisme u, alors pour tout x\in F et y\in F^\perp on a \langle u(x),y\rangle=0 si et seulement si \langle x,u^*(y)\rangle=0. Autrement dit, F stable par u implique F^\perp stable par l’adjoint u^*. Dans le cas important où u est auto‑adjoint (u=u^*), on en déduit immédiatement que F^\perp est stable par u. En pratique, tu dois donc repérer si u est auto‑adjoint ou bien travailler via l’adjoint pour conclure.
Pour montrer qu’une fonction est de classe C^1, tu vérifies la différentiabilité locale et la continuité de la dérivée. Utilise les règles classiques : compositions de C^1 sont C^1, intégrales paramétrées (avec noyau continu) donnent des fonctions C^1 dont la dérivée s’obtient en dérivant sous le signe intégral si le noyau et l’intégrande le permettent. La majoration uniforme et le théorème d’intégration dépendant d’un paramètre sont tes alliés.
Si T(f)(s)=\int_0^1 K(s,t)f(t)\,dt avec K continue sur [0,1]^2, alors T est linéaire et borné pour la norme du sup : |T(f)(s)|\le\|K\|_\infty\int_0^1|f(t)|dt\le\|K\|_\infty\,\|f\|_\infty. Ainsi T est continu et mappe C([0,1]) dans C([0,1]) grâce à la continuité uniforme du noyau et du paramètre s.
K(x,y)=min(x,y) apparaît comme noyau de Green pour l’opérateur -d^2 avec conditions de Dirichlet sur [0,1]. L’opérateur T: f\mapsto \int_0^1 K(\cdot,y)f(y)dy est alors l’inverse (sur l’image adaptée) de -d^2, ce qui explique la relation formelle T(f)”=-f et les conditions T(f)(0)=T(f)(1)=0. C’est une construction fréquente : le noyau reproduit la solution de l’équation différentielle associée.
Pour un opérateur compact et auto‑adjoint sur un espace de Hilbert réel, l’étude spectrale se ramène à résoudre l’équation aux valeurs propres correspondante, souvent un problème aux dérivées ordinaires avec conditions aux bords (ex. λ f” = -f). On obtient une suite de valeurs propres réelles positives qui tendent vers 0, et chaque sous‑espace propre est de dimension finie (souvent 1 dans les cas classiques). Les fonctions sinus sont typiquement les fonctions propres du cas -d^2 sur [0,1] avec conditions de Dirichlet.
Le produit défini par les dérivées fait apparaître naturellement les fonctions sin(kπx) comme orthogonales car leurs dérivées sont cosinus/sinus orthogonaux en L^2, et le calcul explicite des normes donne la normalisation. Ce choix de produit est adapté à l’opérateur -d^2 et à l’espace H^1_0, où les conditions aux bords éliminent les termes de bord lors d’intégrations par parties.
Un RKHS est un espace de fonctions muni d’un produit scalaire pour lequel les évaluations en un point sont des fonctionnelles linéaires continues. Cela équivaut à l’existence d’un noyau K(x,·) dans l’espace tel que f(x)=\langle f,K(x,\cdot)\rangle pour tout f. Pour prouver qu’un espace donné est RKHS, tu montres la continuité de l’application d’évaluation ou construis explicitement le noyau reproduisant (souvent un noyau de Green comme min(x,y)).
Si f(0)=0, alors f(x)=\int_0^x f'(t)dt. En appliquant Cauchy‑Schwarz sur [0,x] tu obtiens |f(x)|\le (\int_0^x 1^2dt)^{1/2}(\int_0^x (f'(t))^2dt)^{1/2}=\sqrt{x}\,\|f’\|_{L^2(0,x)}. C’est exactement la forme d’inégalité utile pour contrôler la valeur ponctuelle par la dérivée (cas de l’inégalité indiquée dans l’énoncé).
Si tu as une suite (f_N) qui converge uniformément et un noyau K continu, alors T(f_N)=\int K(\cdot,y)f_N(y)dy converge uniformément vers T(f) par domination et continuité uniforme du noyau. Dans les preuves, on utilise souvent l’inégalité \|T(f_N)-T(f)\|_\infty\le\|K\|_\infty\,\|f_N-f\|_1 ou des variantes, pour passer à la limite et montrer que la limite est bien l’image attendue.
Montrer que T est injectif revient à prouver que ker T={0}. Dans les cas considérés, on utilise souvent l’identité T(f)”=-f plus conditions aux bords : si T(f)=0 alors f= -T(f)”=0. L’image se décrit ensuite comme l’ensemble des fonctions satisfaisant les conditions nécessaires (régularité et conditions aux bords), typiquement l’espace H^2\cap H^1_0 adapté. Identifier Im T revient à caractériser les fonctions qui admettent une préimage par l’opérateur inverse (-d^2) sur le domaine considéré.
La convergence de \sum a_n^2 implique que (a_n) est bornée, donc limsup |a_n|^{1/n}\le 1 (tout nombre borné a une racine n‑ième qui tend vers 1 au plus). Par le critère de Cauchy‑Hadamard sur la série entière, cela donne un rayon de convergence R\ge 1. En pratique, la sommabilité quadratique impose une décroissance suffisante pour garantir au moins un rayon 1.
Travaille la théorie générale des opérateurs compacts et auto‑adjoints, les noyaux de Green, les espaces H^1 et H^2, ainsi que l’usage systématique de l’intégration par parties et des inégalités (Cauchy‑Schwarz, Poincaré). En examen, identifie immédiatement le rôle du noyau, vérifie régularité et conditions aux bords, et pense à construire l’adjoint. Si tu veux accéder à des corrigés commentés et un dashboard personnalisé pour t’entraîner plus efficacement, débloque les corrigés sur Prépa Booster : tu y trouveras des corrections pas à pas pour les écrits et des exercices similaires.
Cette symétrie signifie que T est auto‑adjoint pour le produit scalaire considéré. On la montre généralement par intégration par parties en utilisant l’expression de T via un noyau de Green et la régularité fournie (ici T(f)”=-f) en vérifiant que les termes de bord disparaissent grâce aux conditions imposées. Cette propriété est centrale pour la théorie spectrale et garantit valeurs propres réelles et orthogonalité des fonctions propres.
Analyse le corrigé en plusieurs passes : (1) comprends la stratégie globale, (2) vérifie les points techniques (régularité, bornes, adjoint), (3) reproduis les calculations sans regarder, puis (4) fais des exercices voisins pour consolider. Le “corrigé suivi des informations de l’épreuve” te permet de replacer chaque technique dans son contexte et d’améliorer ta méthode : si tu veux aller plus loin, débloquer les corrigés sur Prépa Booster te donne accès aux corrigés des écrits, aux exercices corrigés et à un dashboard personnalisé pour suivre ta progression.