Questions du sujet
1. I.A.1) Montrer que tout élément de vérifiant $P_1$ vérifie $P_2$. 2. I.A.2) Démontrer que si $k$ est un entier strictement positif et $M$ est une application élément de $\mathcal{E}_n(I)$, alors pour tout $x$, l’application $x \mapsto (M(x))^k$ est élément de $\mathcal{E}_n(I)$ ; calculer sa dérivée. 3. I.A.3) Démontrer que si $M$ est une application élément de $\mathcal{E}_n(I)$, telle que pour tout $x$ la matrice $M(x)$ est inversible, alors l’application $x \mapsto (M(x))^{-1}$ est élément de $\mathcal{E}_n(I)$ ; calculer sa dérivée. 4. I.B.1) On suppose dans cette question que $M$ vérifie $P_2$ et que la fonction $b$ ne s’annule pas. Que dire des fonctions $a$ et $d$ ? Montrer, en l’explicitant, qu’il existe une matrice $A$ telle que, pour tout $x$, $M(x)\in \mathrm{Vect}\{I_2,A\}$ . Montrer que l’application $M$ vérifie aussi $P_1$. 5. I.B.2) Soit $A$ une matrice non scalaire dans $M_2(\mathbb{R})$. Montrer qu’il existe $X$ tel que $\{ X, AX\}$ soit une base de $\mathbb{R}^2$. On suppose ainsi $X$ choisi. Si $B\in M_2(\mathbb{R})$, il existe donc $(u,v) \in \mathbb{R}^2$ tel que $BX = uX + vAX$. Montrer que, si la matrice $B$ commute avec $A$, elle s’écrit $B = uI_2 + vA$.} 6. I.B.3) On suppose dans cette question que $M$ vérifie $P_2$ et que $M(x)$ n’est scalaire pour aucun $x \in I$. Montrer qu’il existe un unique couple d’applications continues $u, v$ de $I$ dans $\mathbb{R}$ tel que pour tout $x$, $M(x) = u(x)I_2 + v(x)M(x_0)$. Pour $x_0$ donné, on pose alors $C(x) = M(x)M(x_0)^{-1} – M(x_0)^{-1}M(x)$ pour tout $x$. Montrer que $C$ vérifie une équation différentielle matricielle très simple, dans laquelle intervient la fonction $v$, et la résoudre en la ramenant par exemple à des équations différentielles ordinaires. En conclure que $v$ vérifie $P_1$. 7. I.B.4) Dans cette question, on s’intéresse à $E_2(\mathbb{R})$. \begin{enumerate} \item[a)] Montrer que $P_2$ est vérifiée lorsqu’on choisit pour $a, b, c, d$ les fonctions qui à un réel $x$ associent respectivement $x_1 + x_2, x_1, x_2, x_1 – x_2$. \item[b)] Déterminer soigneusement les éléments de $E_2(\mathbb{R})$ de la forme $ \begin{pmatrix} a(x) & b(x) \\ c(x) & d(x) \end{pmatrix} $ vérifiant $P_2$.\\ Pour chaque élément de $E_2(\mathbb{R})$ ainsi trouvé, \\ – dire s’il vérifie $P_1$, \\ – déterminer la dimension du sous-espace vectoriel de $E_2(\mathbb{R})$ engendré par l’ensemble des $M(x),~x\in\mathbb{R}$, noté $V$. \end{enumerate} 8. I.C.1) Soit $M$ un élément de $E_2(\mathbb{R})$ tel que pour tout $x$, $M(x)$ est la matrice d’une réflexion. Montrer qu’il existe une application $\theta$ de classe $C^1$ de $I$ dans $\mathbb{R}$ telle que la première colonne de $M(x)$ soit $\begin{pmatrix} \cos\theta(x) \\ \sin\theta(x) \end{pmatrix}$ pour tout $x$. 9. I.C.2) À quelle condition, portant sur la fonction $\theta$, $M$ vérifie-t-elle $P_2$ ? 10. II.A) Soit une équation différentielle matricielle polynomiale de la forme : $ M'(x) = \sum_{k=0}^m a_k(x) M(x)^{2k+1}. $ Déduire du théorème le résultat suivant : si une solution sur $I$ de cette équation est telle que, pour une valeur $x_0$, $M(x_0)$ est une matrice antisymétrique, alors $M(x)$ est antisymétrique pour tout $x$. Donner un énoncé plus général concernant une forme analogue d’équation différentielle matricielle, mais de type $(Q)$, pour laquelle le résultat soit conservé. } 11. II.B.1) Soit une équation différentielle matricielle polynomiale, de la forme $ M'(x) = \sum_{k=0}^m a_k(x) P_k(x) M(x) Q_k(x). $ Soit $U$ une solution sur $I$ et $x_0\in I$ tel que le polynôme caractéristique de $U(x_0)$ soit scindé. On choisit alors $P\in GL_n(\mathbb{R})$ et $T_0$ triangulaire supérieure telles que $U(x_0) = PT_0P^{-1}$. \\ Former une équation différentielle matricielle polynomiale vérifiée par $T : x \mapsto P^{-1}U(x)P$ permettant de montrer que $T(x)$ est triangulaire supérieure pour tout $x$. 12. II.B.2) On suppose en outre que $T_0$ est triangulaire stricte. En considérant les fonctions à valeurs réelles $T_{ii}(x)$ avec $1\leq i \leq n$, donner une condition nécessaire et suffisante sur la fonction $a_0(x)$ pour que $T(x)$ soit triangulaire stricte pour tout $x$. 13. II.B.3) Cette condition étant supposée remplie, on choisit $r\in \mathbb{N}^*$ tel que $T_0^r = 0$ ; former une équation différentielle matricielle de type $(Q)$ vérifiée par $T_r : x \mapsto T(x)^r$ permettant de montrer que l’application $T_r$ est nulle. 14. II.C.1) Soit $U$ solution sur $I$ de l’équation différentielle matricielle $U'(x) = F(x)U(x)$. \\ On suppose qu’il existe $J$ tel que $J$ commute avec toutes les matrices $F(x)$ et pour tout $x$. Montrer que $J$ commute avec $U(x)$ pour tout $x$. 15. II.C.2) Soit $U$ une solution sur $I$ d’une équation différentielle matricielle polynomiale. Vérifie-t-elle $P_1$, vérifie-t-elle $P_2$ ? Montrer que $\dim\left(\mathrm{Vect}\{U(x),x\in I\}\right)$ est inférieure ou égale à $n$.} 16. II.D) Soit $E$ un sous-espace vectoriel de $M_n(\mathbb{R})$ tel que \[ \forall (M,N)\in E^2,\quad MN – NM \in E. \] En introduisant une équation différentielle matricielle bien choisie, montrer que \[ \forall (M,N)\in E^2,~\forall t\in \mathbb{R},~\exp(tM)N \exp(-tM) \in E. \] 17. III.A.1) On s’intéresse à une équation différentielle matricielle de la forme $U'(x) = a(x)(I_3-U(x)^2)$, où $a$ désigne une fonction donnée, de classe $C^0$ de $I$ dans $\mathbb{R}$.\\ Si $U$ est une solution sur $I$ telle que $U(x_0)$ est la matrice d’une symétrie pour un certain $x_0$, que peut-on dire de la fonction $a$ ? 18. III.A.2) Soit $J\in M_n(\mathbb{R})$ solution sur $I$ de $U'(x) = a(x)(I_3-U(x)^2)$, vérifiant $U(x_0) = J$ pour un $x_0\in I$. On pose alors, pour tout $x$, $N(x) = JU(x)$. \\ Former une équation différentielle matricielle de type $(Q)$ vérifiée par $N$ et en conclure que, pour tout $x$, $N(x) = J$. Si, en outre, $J$ est inversible, montrer que l’application $U(x)$ est constante. 19. III.B.1) \begin{enumerate} \item[a)] Pour $x_0$ fixé, on pose $U_0 = U(x_0)$. Montrer qu’il existe un vecteur unitaire $Z_0$ dans l’espace euclidien canonique, tel que $U_0 Z_0 = Z_0$. \item[b)] On choisit alors $X_0$ et $Y_0$ tels que $(X_0, Y_0, Z_0)$ soit une base orthonormale directe de $\mathbb{R}^3$, on pose pour tout $x$, $X(x)=U(x)X_0$, $Y(x)=U(x)Y_0$, $Z(x) = U(x)Z_0$. De quelle forme est la matrice $B(x)$ dans la base canonique de l’endomorphisme ayant pour matrice $U(x)$ dans la base canonique~? Calculer alors $\det B(x)$ en fonction des coefficients de cette matrice et en déduire que $(X(x), Y(x), Z(x))$ est une base de $\mathbb{R}^3$. \item[c)] En conclure qu’il existe trois fonctions $u,v,w$ de $I$ dans $\mathbb{R}$ telles que $U'(x) = u(x)I_3 + v(x)U(x) + w(x)U(x)^2$ pour tout $x\in I$. On admettra que ces trois fonctions sont continues. \item[d)] En exprimant la dérivée de $U$ en fonction de $u,v,w,U,U^2$, montrer que $U$ est solution d’une équation différentielle matricielle, notée $(F)$, de la forme $U'(x) = F(U(x))$~; on exprimera, à l’aide de certaines des fonctions $u,v,w$, la fonction $F$ correspondante. \end{enumerate} 20. III.B.2) Transformer l’équation $(F)$ par le changement de matrice inconnue défini par la formule $A(x) = P^{-1}U(x)P$, en justifiant l’introduction de $A$. Montrer que $A$ est solution sur $I$ d’une équation différentielle matricielle polynomiale très simple. Résoudre cette équation et en déduire une expression de $A(x)$ pour tout $x$.} 21. III.C) En s’inspirant de III.B.1-d), construire une fonction élément de $E_3(I)$ à valeurs dans $SO_3(\mathbb{R})$ vérifiant $P_2$ mais pas $P_1$. 22. III.D) Chercher la solution maximale dans $M_2(\mathbb{R})$ de l’équation différentielle matricielle $M'(x) = I_2 – M(x)^2$, définie au voisinage de $x_0$ et telle que $M(x_0) = 0$. \\ Pour cela, on montrera que les solutions sont nécessairement de la forme $M(x)=a(x)I_2+b(x)M_0$, et on cherchera ensuite une équation différentielle vérifiée par $a$, sachant que $b(0)=1$.}FAQ
Pour briller sur un sujet comme celui-ci, tu dois bien connaître l’algèbre linéaire (espaces vectoriels, endomorphismes, matrices, diagonalisation, trigonalisation, commutativité, propriétés de SO3 et des matrices de réflexion, etc.), mais aussi être à l’aise avec l’analyse matricielle (calculs de dérivées de fonctions à valeurs matrices, résolution d’équations différentielles matricielles, polynômes matriciels). Il ne faut pas oublier la maîtrise des propriétés de traces, déterminants et formes canoniques qui reviennent très souvent. Enfin, la compréhension profonde du lien entre propriétés algébriques (comme la commutativité ou l’antisymétrie) et comportements analytiques (solutions d’EDO matricielles) permet de débloquer un grand nombre de questions typiques du concours Centrale en MP.
Mon conseil : commence toujours par t’assurer que tu maîtrises la résolution des EDO classiques, puis entraîne-toi à transposer ces techniques au cadre matriciel : linéarité des solutions, réduction par changement de base, lien avec les matrices de passage (similitudes), et bien sûr invariants typiques, comme la commutativité ou l’antisymétrie. Un truc de concours : vérifie systématiquement si le sous-espace engendré par les solutions reste de dimension réduite (souvent ≤ n), et n’oublie pas les techniques classiques comme la diagonalisation ou la mise sous forme triangulaire, qui simplifient beaucoup de problèmes. Si tu veux voir comment tout ça se met en œuvre sur un vrai sujet, tu peux débloquer le corrigé pour accéder à des résolutions pas à pas sur Prépa Booster.
Les propriétés du type P1 ou P2 désignent, en général, des conditions d’invariance ou de stabilité : P1 est souvent une condition d’invariance d’un sous-espace vectoriel engendré par des matrices paramétrées par x, tandis que P2 fait intervenir des relations différentielles sur les coefficients des matrices. Ces notions apparaissent très souvent en concours, car elles sont au cœur du lien fondamental entre structure algébrique (dimension, forme des matrices, commutativité…) et comportement dynamique (évolution selon x, résolution de systèmes différentiels). Les identifier rapidement te permet de ramener des problèmes parfois abstraits à des calculs plus accessibles et de gagner de précieuses minutes le jour du concours.
On retrouve souvent SO3, les matrices de rotation et de réflexion, car ils illustrent des notions fondamentales de structure matricielle et de transformation linéaire. Maîtriser ces objets, c’est avoir une vision claire des actions sur l’espace euclidien, des liens entre géométrie et algèbre linéaire, mais aussi des applications pratiques en physique ou mécanique. Ça permet de traiter efficacement des questions sur les invariants et symétries, omniprésentes en oral comme en écrit. D’ailleurs, ce sont souvent de bons terrains pour poser des questions d’équations différentielles matricielles avec contraintes géométriques.
Pour déterminer cette dimension, il faut d’abord analyser les éventuelles relations de dépendance linéaire entre les différentes matrices générées lorsque le paramètre x varie. Typiquement, tu exprimes une matrice générique comme combinaison des matrices génératrices (souvent I, une matrice fixe A, ou d’autres), puis tu recherches le nombre de matrices indépendantes dans l’ensemble obtenu. Très souvent, diagonalisation ou trigonalisation de la matrice générique permet d’y voir plus clair. Cette analyse structurelle est indispensable pour répondre rapidement et efficacement à une question-clef de ce type au concours.
Dès que tu rencontres une EDO matricielle, demande-toi si des invariants de structure (comme la commutativité, le rang, l’appartenance à un sous-espace de dimension réduite…) peuvent t’aider. Cherche si la famille des matrices solutions se ferme sous addition ou multiplication, ou bien si tu peux écrire tout M(x) comme combinaison d’un nombre réduit de matrices bien choisies (I, A, etc.). Pour aller plus vite, entraîne-toi à lire les équations sous la forme d’une application polynomiale ou linéaire sur l’espace des matrices. Et pour confronter ta méthode à des corrigés détaillés, n’hésite pas à débloquer l’accès complet sur Prépa Booster : tu pourras t’exercer sur des exemples traités pas à pas.