Questions du sujet
1. I.A.1) Justifier l’égalité \[ \forall t \in \mathbb{R} \quad G_x(t) = e^{ix\sin t} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \varphi_n(x) e^{int} \] Que peut-on dire de la convergence de la série de Fourier de $G_x$~? 2. I.A.2) Montrer que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, $|\varphi_n(x)| = o\left(\frac{1}{n^k}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. On utilisera des séries de Fourier des dérivées successives de $G_x$. 3. I.B) En exprimant $G_x(-t)$ en fonction de $G_x(t)$, montrer que pour $n \in \mathbb{Z}$, $\varphi_n(x) \in \mathbb{R}$. 4. I.C) Exprimer $G_x(t+\pi)$ et en déduire les égalités suivantes pour $n \in \mathbb{Z}$~: \[ \varphi_n(-x) = (-1)^n\varphi_n(x) = \varphi_{-n}(x) \] Que peut-on dire de la parité de $\varphi_n$ pour $n \in \mathbb{Z}$~? 5. I.D) Calculer $\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |\varphi_n(x)|^2$.} 6. II.A) Justifier que pour $x$ réel, $|\varphi_n(x)| \leq 1$. 7. II.B) Montrer que pour $x$ réel, \[ \varphi_n(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^k}{k!} I_{n,k} \quad\text{avec}\quad I_{n,k} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} i^k e^{-int}(\sin t)^k dt \] 8. II.C.1) À l’aide de la formule d’Euler, justifier que pour $(n, k) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$, \[ I_{n,k} = \sum_{m=0}^k A_{m,k} \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi e^{it(2m-k-n)} dt \] avec $A_{m,k}$ des constantes à préciser. 9. II.C.2) Vérifier que~:\\ $\left\{\begin{array}{ll} I_{n,k} = 0 & \text{si $n > k$ ou si $k-n$ est impair} \\ I_{n,k} = \dfrac{(-1)^p}{2^{n+2p}} \dbinom{n+2p}{n+p} & \text{si $k=n+2p$ avec $p\geq 0$} \end{array}\right.$ 10. II.C.3) En déduire le développement en série entière, pour $n > 0$ et $x \in \mathbb{R}$~: \[ \varphi_n(x) = \sum_{p=0}^{+\infty} \frac{(-1)^p}{p!(n+p)!} \left(\frac{x}{2}\right)^{n+2p} \] Préciser le rayon de convergence.} 11. II.C.4) Montrer que $\varphi_n$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$. 12. II.D) Relation de dérivation \\ Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Vérifier que pour $x$ réel : \[ \frac{d}{dx}\big(x^n\varphi_n(x)\big) = x^n\varphi_{n-1}(x) \] 13. II.E.1) À partir de quelle valeur $p_0$ de $p$ la suite $(a_p)_{p \in \mathbb{N}}$ est-elle décroissante ? 14. II.E.2) On suppose $N > p_0$. Majorer $|R_N|$ en fonction de $(N, n, x)$ avec \[ R_N = \sum_{p=N+1}^{+\infty} (-1)^p a_p \] En déduire, pour $\varepsilon > 0$ fixé, une condition suffisante sur $N$ pour que $|\varphi_n(x) – S_N| < \varepsilon$. La somme partielle $S_N$ est dite alors valeur approchée de $\varphi_n(x)$ à $\varepsilon$ près. 15. II.E.3) Écrire une fonction Maple ou Mathematica, CalculPhi, d’arguments $(n, x, \varepsilon)$ retournant une valeur approchée de $\varphi_n(x)$ à $\varepsilon$ près. Les coefficients $a_p$ seront calculés par récurrence.} 16. III.A.1) En utilisant le développement de $\varphi_n$ en série entière (II.1), montrer que $\varphi_n$ est solution sur $[0, +\infty[$ de (III.1)~: \[ x^2 y'' + xy' + (x^2 - n^2)y = 0 \] 17. III.A.2) Soit $y$ une solution dans $E$ de (III.1). On pose $z(x) = \sqrt{x}y(x)$ pour tout $x \in ]0, +\infty[$. Montrer que $z$ est solution dans $E$ d’une équation différentielle du type \[ z'' + q z = 0 \] avec $q \in E$. Préciser l’expression de la fonction $q$ et vérifier que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} q(x) = 1$. 18. III.A.3) Justifier que si $z$ est une solution non nulle de (III.2), alors pour $x > 0$, $(z(x), z'(x)) \neq (0,0)$. En déduire que si $\alpha$ est un zéro de $z$, alors il existe un réel strictement positif $\eta$ tel que $\alpha$ soit le seul point d’annulation de $z$ sur $I = ]\alpha – \eta, \alpha + \eta[$. On dit dans ce cas que $\alpha$ est un zéro isolé de $z$. 19. III.A.4) Vérifier que les zéros de $\varphi_n$ sur $]0, +\infty[$ sont isolés. 20. III.B.1) En considérant l’équation différentielle (III.3) sous la forme $z” + z = g$ avec $g(x) = -\frac{\lambda}{x^2}z(x)$, la résoudre sur $]0, +\infty[$ par la méthode de variation des constantes. En déduire qu’il existe deux réels $A$ et $B$ tels que \[ \forall x \in ]0, +\infty[,\quad z(x) = A\cos(x) + B\sin(x) + \lambda \int_{x_0}^x \frac{z(u)\sin(u-x)}{u^2} du \] } 21. III.B.2) On pose pour $x>0$ \[ h(x) = \int_{x_0}^x \frac{|z(u)|}{u^2} du \] a) Montrer qu’il existe des constantes réelles $\mu$ et $M$ telles que $h$ vérifie l’inégalité différentielle pour $x>x_0$ \[ h'(x) – \frac{\mu}{x^2} h(x) \leq \frac{M}{x^2} \] Préciser les constantes $\mu$ et $M$ en fonction de $A,B$ et $\lambda$.\\ b) En déduire que $h$ est bornée sur $[x_0, +\infty[$ puis que $z$ est bornée sur ce même intervalle. 22. III.B.3) Justifier que \[ \int_x^{+\infty} \frac{z(u)\sin(u-x)}{u^2} du = O\left(\frac{1}{x}\right) \] au voisinage de $+\infty$. En déduire l’existence de constantes $\alpha$ et $\beta$ telles qu’au voisinage de $+\infty$, \[ z(x) = \alpha \cos(x-\beta) + O\left(\frac{1}{x}\right) \] 23. III.B.4) Soit $n \in \mathbb{N}$. Montrer qu’il existe un couple de réels $(\alpha_n, \beta_n)$ tel que pour $x \to +\infty$, \[ \varphi_n(x) = \alpha_n \sqrt{x}\cos(x-\beta_n) + O\left(\frac{1}{x\sqrt{x}}\right) \] 24. IV.A) En utilisant l’encadrement de la question II.E.2, montrer que $\varphi_0(3) < 0$. En déduire que $\varphi_0$ possède un zéro $\alpha_0 \in ]0,3[$. On admettra que c’est le premier zéro de $\varphi_0$, c’est-à-dire que $\varphi_0$ ne s’annule pas sur $]0, \alpha_0[$. 25. IV.B) En utilisant la question II.D, montrer par récurrence que pour tout entier $n > 1$ la fonction $\varphi_n$ est strictement positive sur $]0, \alpha_0[$.} 26. IV.C.1) Dans cette question, on fixe $n \in \mathbb{N}$ et $c \in ]0,1[$. On pose $z(x) = \sqrt{x}\,\varphi_n(x)$, pour $x>0$. Justifier qu’il existe un réel $A>0$ tel que pour $x > A$, $q(x) > c^2$ (où $q$ est définie en III.A.2). 27. IV.C.2) Soit $a > A$. On pose pour $x>0$, $z_1(x) = \sin(c(x-a))$, solution de (IV.1). On définit la fonction $W = z z_1′ – z_1 z’$. Vérifier que pour $x>0$, $W'(x) = (q(x)-c^2)z(x)z_1(x)$. 28. IV.C.3) On note $I_a = ]a, a + \frac{\pi}{c}[$ et on suppose que $\varphi_n$ ne possède pas de zéros sur $I_a$. Déterminer les signes de $W(a)$, $W(a+\frac{\pi}{c})$ et de $W’$ sur $I_a$ et aboutir à une contradiction. En déduire que $\varphi_n$ possède un zéro dans tout intervalle $I_a$ avec $a > A$. On pourra distinguer les cas suivant le signe de $\varphi_n$ sur $I_a$. 29. IV.D.1) Montrer qu’on peut ordonner les zéros de $\varphi_n$, c’est-à-dire qu’il existe une suite $(\alpha_k^{(n)})_{k\in\mathbb{N}}$ strictement croissante de zéros de $\varphi_n$ telle que $\varphi_n$ ne s’annule pas sur $]0, \alpha_0^{(n)}[$ et sur tout intervalle $]\alpha_k^{(n)}, \alpha_{k+1}^{(n)}[$ avec $k\in \mathbb{N}$ et que $\lim_{k\to\infty} \alpha_k^{(n)} = +\infty$. Construire la suite $(\alpha_k^{(n)})$ par récurrence sur $k$ en montrant que l’ensemble $Z_k$ des zéros de $\varphi_n$ dans l’intervalle $]\alpha_k^{(n)}, +\infty[$ possède un plus petit élément. 30. IV.D.2) En déduire que la suite $(\alpha_k^{(n)})_{k\in\mathbb{N}}$ vérifie la propriété de répartition asymptotique~: \[ \forall c \in ]0,1[, \exists j \in \mathbb{N} \quad \text{tel que} \quad \forall k \in \mathbb{N}, \ 0 < \alpha^{(n)}_{j+k+1} - \alpha^{(n)}_{j+k} < \frac{\pi}{c} \] }FAQ
La fonction \( G_x(t) \) est périodique de période \( 2\pi \) et continue, donc elle admet un développement en série de Fourier. La convergence de cette série est uniforme car \( G_x \) est de classe \( C^\infty \), ce qui garantit une décroissance rapide des coefficients \( \varphi_n(x) \). Pour plus de détails, consulte le corrigé complet en débloquant les corrigés sur Prépa Booster !
En utilisant les séries de Fourier des dérivées successives de \( G_x \), on montre que les coefficients \( \varphi_n(x) \) décroissent plus vite que toute puissance de \( \frac{1}{n} \). Cela découle du fait que \( G_x \) est indéfiniment dérivable, donc ses coefficients de Fourier sont à décroissance rapide. Retrouve la démonstration complète dans le corrigé détaillé !
En exprimant \( G_x(-t) \) en fonction de \( G_x(t) \), on montre que \( \varphi_{-n}(x) = \overline{\varphi_n(x)} \). Comme \( G_x \) est à valeurs complexes, ses coefficients de Fourier vérifient \( \varphi_n(x) = \varphi_{-n}(x) \), ce qui implique qu’ils sont réels. Une astuce classique en analyse de Fourier !
En étudiant \( G_x(t+\pi) \), on montre que \( \varphi_n(-x) = (-1)^n \varphi_n(x) \). Ainsi, \( \varphi_n \) est paire si \( n \) est pair et impaire si \( n \) est impair. Une propriété utile pour simplifier les calculs !
Grâce à l’égalité de Parseval, on a \( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |\varphi_n(x)|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |G_x(t)|^2 \, dt \). Comme \( |G_x(t)| = 1 \), la somme vaut 1. Un résultat fondamental en théorie des séries de Fourier !
Les coefficients \( \varphi_n(x) \) sont les coefficients de Fourier de \( G_x \), une fonction de module 1. Par l’inégalité de Bessel, on a \( |\varphi_n(x)| \leq \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |G_x(t)| \, dt = 1 \). Une majoration utile pour les estimations !
En utilisant le développement en série de Taylor de \( e^{ix \sin t} \) et en identifiant les coefficients de Fourier, on obtient \( \varphi_n(x) = \sum_{p=0}^{+\infty} \frac{(-1)^p}{p!(n+p)!} \left( \frac{x}{2} \right)^{n+2p} \). Le rayon de convergence est infini, car la série converge pour tout \( x \). Un résultat clé pour l’étude des fonctions de Bessel !
En injectant le développement en série entière de \( \varphi_n \) dans l’équation différentielle et en vérifiant la nullité des coefficients, on montre que \( \varphi_n \) est solution. C’est l’équation de Bessel, fondamentale en physique mathématique !
En utilisant le changement de variable \( z(x) = \sqrt{x} \varphi_n(x) \), on se ramène à une équation différentielle du second ordre. Les zéros sont isolés car les solutions non nulles ne s’annulent pas avec leur dérivée simultanément. Une méthode puissante pour l’analyse asymptotique !
En tronquant la série \( \varphi_n(x) = \sum_{p=0}^{+\infty} (-1)^p a_p \) et en majorant le reste \( R_N \), on obtient une valeur approchée à \( \varepsilon \) près. Une méthode efficace pour les calculs numériques en CPGE !