Questions du sujet
1. I.A.1) Donner l’ensemble des solutions de (F0). 2. I.A.2) Dans cette question uniquement, on prend pour $h : x \mapsto \cos(x)$. Donner l’ensemble des solutions de (Fh) dans ce cas. 3. I.A.3) Dans cette question uniquement, on prend pour $h$ la fonction $2\pi$-périodique sur $\R_+$, définie par \[ h(x) = \begin{cases} \sin(x) &\text{si } x \in [0, \pi] \\ 0 &\text{si } x \in\, ]\pi, 2\pi] \end{cases} \] Démontrer que $h$ est continue sur $\R_+$ et déterminer l’ensemble des solutions de (Fh). 4. I.B – Si $(a, b) \in \R^2$, et $f$ est la solution de (F0) vérifiant $(f(0), f'(0)) = (a, b)$, montrer que $f \in B$ et $\|f\|_\infty \leq \|(a, b)\|$. 5. I.C – Si $h \in C(\R_+, \R)$, montrer que $f_0 : t \in \R_+ \mapsto \int_0^t h(u) \sin(t-u) \,\mathrm{d}u$ est solution de (Fh), et en déduire l’ensemble des solutions de (Fh).} 6. I.D – On donne $h \in L^1$. Déterminer la solution $f$ de (Fh) vérifiant $(f(0), f'(0)) = (0,0)$, montrer que $f \in B$, et $\|f\|_\infty \leq \sqrt{2}\|h\|_1$. En déduire que (Fh) est stable par rapport au second membre au sens 1. 7. I.E – Soit $\delta \in \R^*_+$. Résoudre l’équation différentielle $y” + y = \delta \cos(t)$, et montrer que ses solutions sont non bornées, et plus précisément, ne sont pas en $o(t)$ quand $t \to +\infty$. En déduire la non stabilité de (F0) par rapport au second membre au sens $\infty$. 8. II.A – Démontrer l’existence de $I(\alpha)$, pour $\alpha > 1$, et sa continuité par rapport à $\alpha$. 9. II.B.1) Justifier l’existence d’une primitive $A$ de $\frac{g’}{g}$, et montrer que $g e^{-A}$ est constante. 10. II.B.2) En écrivant la fonction $A$ sous la forme $A = B + iC$, où $B$ et $C$ sont des fonctions à valeurs réelles, justifier qu’existent $r \in C^k(\R_+, \R^*_+)$ et $\theta \in C^k(\R_+, \R)$ tels que $g = r e^{i\theta}$.} 11. II.C.1) En appliquant II.B, montrer qu’existent $r \in C^1(\R_+, \R^*_+)$ et $\theta \in C^1(\R_+, \R)$ telles que $f = r\cos(\theta)$ et $f’ = r\sin(\theta)$. Exprimer $r$ en fonction de $f$ et $f’$. Les fonctions $r$ et $\theta$ sont fixées ainsi pour la suite de la partie. 12. II.C.2) Démontrer que $\theta’ = -1 + q \sin(\theta)\cos(\theta)$. 13. II.C.3) Démontrer que $r’ = q r \sin^2(\theta)$. 14. II.C.4) Démontrer que $r$ a une limite strictement positive en $+\infty$ vérifiant $\lim_{+\infty} r \leq r(0)\exp(I(\alpha))$. Démontrer que $f$ et $f’$ sont bornées par $\|(f(0), f'(0))\| \exp(I(\alpha))$. 15. II.C.5) Démontrer que $\theta(t) + t$ tend vers une limite réelle quand $t \to +\infty$.} 16. II.C.6) Démontrer qu’existent $a \in \R^*_+$ et $b \in \R$ tels que $f(t) – a\cos(t+b) \xrightarrow[t\to+\infty]{} 0$. 17. II.C.7) Tracer l’allure du graphe de $f$ vers $+\infty$. 18. III.A – Démontrer que (E$_{\alpha,0}$) est stable par rapport aux conditions initiales. 19. III.B.1) Déterminer une équation différentielle vérifiée par $w$, et montrer qu’existent $a, b$ réels tels que pour tout $x \in \R_+$, $0 < a \leq |w(x)| \leq b$. 20. III.B.2) Si $h \in C(\R_+, \R)$, montrer que les solutions de (E$_{\alpha,h}$) sont les fonctions du type $f = -C_1 f_1 + C_2 f_2$, où $C_1$ est une primitive de $\frac{h f_2}{w}$ et $C_2$ une primitive de $\frac{h f_1}{w}$.} 21. III.B.3) Quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes requises sur $C_1$ et $C_2$ dans la question précédente pour avoir $(f(0), f'(0)) = (0, 0)$ ? 22. III.B.4) Démontrer l’existence de $C \in \R_+$ telle que : pour tout $h \in L^1$, la solution $f$ de (E$_{\alpha,h}$) vérifiant $(f(0), f'(0)) = (0, 0)$ est dans $B$, et $\|f\|_\infty \leq C\|h\|_1$. En déduire que (E$_{\alpha,0}$) est stable par rapport au second membre au sens 1. 23. III.C.1) Démontrer que $\Phi$ est solution de (E$_{\alpha,h}$), pour une fonction $h \in C(\R_+, \R)$ vérifiant $h(t) \to 0$ quand $t \to +\infty$. 24. III.C.2) Démontrer que $h(t) \to 0$ implique que $\int_0^t |h| = o(t)$ quand $t \to +\infty$. 25. III.C.3) Utilisant la résolution de (E$_{\alpha,h}$) vue en III.B, montrer que $\Phi(t) = o(t)$ quand $t \to +\infty$.} 26. III.C.4) Démontrer que (E$_{\alpha,0}$) n’est pas stable par rapport au second membre au sens $\infty$. 27. III.D.1) Démontrer que $\Phi$ est une solution de l’équation différentielle (E$_{\alpha,h}$) avec $h : t \mapsto \left( \frac{1}{1 + t^\beta} - \frac{1}{1 + t^\alpha} \right) g'$. 28. III.D.2) Démontrer que $h \in L^1$ et $\|h\|_1 \leq \|(a, b)\| e^{I(\beta)} \left( |J(\alpha) - J(\beta)| + |K(\alpha) - K(\beta)| \right)$. 29. III.D.3) Démontrer que (E$_{\alpha,0}$) est stable par rapport au paramètre. 30. IV.A - Établir que pour tout $t > 0$, $g”(t) + \left( 1 – \frac{3}{4(t+1)^2} \right) g(t) = 0$.} 31. IV.B – Démontrer qu’existent $\rho \in C^2(\R_+, \R^*_+)$ et $\beta \in C^2(\R_+, \R)$ telles que $g = \rho \cos(\beta)$ et $g’ = \rho \sin(\beta)$. 32. IV.C – Déterminer une équation différentielle vérifiée par $\beta$ et montrer que $\beta(x) + x$ tend vers une limite réelle lorsque $x \rightarrow +\infty$. 33. IV.D – Déterminer une équation différentielle vérifiée par $\rho$, et démontrer que $\rho$ tend vers une limite réelle $a > 0$ en $+\infty$. 34. IV.E – Démontrer qu’il existe un réel $b$ tel que $f(t) – a \sqrt{t} \cos(t + b) = o(\sqrt{t})$ quand $t \to +\infty$, où $a$ est le réel défini ci-dessus. 35. IV.F – Tracer l’allure du graphe de $f$ vers $+\infty$.} 36. V.A – Démontrer que (E$_{1,0}$) n’est pas stable par rapport aux conditions initiales et au paramètre. 37. V.B – Si $\lambda \in \R$, et $f_\lambda : x \mapsto \lambda x \sin(x)$, calculer $f_\lambda”(x) – \frac{1}{1+x} f_\lambda'(x) + f_\lambda(x)$. Qu’en déduire concernant la stabilité de (E$_{1,0}$) par rapport au second membre au sens $\infty$ ?}FAQ
Dans ce sujet et plus généralement au concours Centrale PSI, tu tombes souvent sur des équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants ou variables, parfois avec un second membre, ainsi que sur des questions concernant la stabilité des solutions. La maîtrise des méthodes de résolution (par variation de la constante, transformation de Fourier, recherches de solutions particulières) est primordiale.
Étudier la stabilité, c’est analyser si de petites variations dans les conditions initiales ou le second membre entraînent de grandes modifications dans la solution. C’est crucial en maths appliquées, en physique et en ingénierie : cela permet de savoir si un système évolue vers un état stable, ou si, au contraire, il peut diverger. Beaucoup de questions de cet oral 2006 du concours Centrale demandent notamment de prouver une stabilité au sens 1 ou au sens ∞, ce qui t’entraîne pour la modélisation scientifique.
Tu es souvent amené à manipuler des fonctions périodiques et à étudier leur continuité ou leur régularité, comme avec les fonctions trigonometriques ou les fonctions définies par morceaux rencontrées dans le sujet de 2006. Il faut bien maîtriser les propriétés de la continuité, de la périodicité, et savoir démontrer à l’aide des définitions. Le travail sur les espaces de fonctions (C(R₊), L¹ …) est aussi classique, n’hésite pas à t’entraîner sur ce type de notions pour cartonner !
Pour montrer que les solutions sont bornées, pense à utiliser un majorant explicite grâce à des estimations sur les fonctions initiales et les propriétés du second membre (comme les normes ∞ ou 1). Les intégrales et inégalités apparaissent souvent pour encadrer la solution. Savoir utiliser les espaces de fonctions bornées et l’application du théorème de Gronwall sont très utiles. Pour découvrir comment rédiger rigoureusement ce type de preuve et accéder à d’autres méthodes, tu peux débloquer les corrigés sur Prépa Booster.
Les changements de variables, y compris sous forme polaire (expression d’une fonction sous la forme r·cosθ et r·sinθ) ou en exponentielle complexe, permettent de simplifier les équations et d’obtenir plus facilement des propriétés sur les solutions (amplitude, phase, etc.). Cela t’entraîne aussi à relier l’analyse réelle à l’analyse complexe et à manipuler différentes représentations d’une même fonction.