Questions du sujet
1. A – Soit $h \in C$, $h \neq 0$. Justifier l’égalité $C = \operatorname{Vect}(h) \oplus \operatorname{Vect}(h)^{\perp}$ et montrer soigneusement que $(\operatorname{Vect}(h))^{\perp} = \operatorname{Vect}(h)^{\perp}$. 2. On note $\Pi_h$ le projecteur orthogonal sur $\operatorname{Vect}(h)^{\perp}$. Démontrer que, pour $f \in C$ : \[ \Pi_h(f) = f – \frac{\langle f, h \rangle}{\| h \|^2} h \] 3. B – Montrer que l’application $T:\begin{questionliste 4. I.A – Démontrer que $(e_k)_{k \in \mathbb{N}}$ est une famille orthonormale de $C$. 5. I.B.1) Donner, sans démonstration, quelques éléments de symétrie du graphe de $\tilde{f}$. Montrer que $\tilde{f}$ est continue par morceaux sur $\mathbb{R}$. À quelle condition est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ? 6. I.B.2) Expliciter, pour $k \in \mathbb{N}$, $a_{2k+1}(\tilde{f})$ en fonction de $\langle f, e_k \rangle$. Calculer les autres coefficients de Fourier de $\tilde{f}$. 7. I.B.3) Montrer, en citant précisément les théorèmes utilisés, que, si $f \in C$ : \[ f(t) = \sum_{k=0}^{\infty} \langle f, e_k \rangle e_k (t) \qquad \forall t \in [0,1] \] et donner un cas d’égalité avec $f\not\equiv 0$. 8. I.B.4) Montrer de même que, si $f$ est de classe $C^1$ sur $[0,1]$ et si $f(1) = 0$, alors, pour tout $t \in [0,1]$ : \[ f(t) = \sum_{k=0}^{\infty} \left\langle f, e_k \right\rangle e_k (t) \] La série de fonctions du second membre converge-t-elle uniformément sur $[0,1]$ ?} 9. I.B.5) En appliquant les résultats des deux questions précédentes aux fonctions $u$ et $v$, prouver les relations : \[ \frac{1}{2} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{\omega_k^2} \] et, pour $\omega \in \Omega$, \[ \tan \omega = \frac{2 \omega}{\omega^2 – 2} \] 10. I.B.6) On note $\varphi$ la fonction définie, pour $\omega \in \Omega$, par : \[ \varphi(\omega) = \frac{1}{2\omega} \left[\omega – \tan \omega\right] \] Démontrer que, pour $\omega \in \Omega$ : \[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\omega^2}{\omega_k^2 (\omega_k^2 – \omega^2)} = \varphi(\omega) \] 11. I.C.1) Montrer que, pour $n \geq 2$, $\varphi_n$ a une unique racine dans l’intervalle $]\omega_0, \omega_1[$. On note $\mu_n$ la plus petite de ces racines, c’est-à-dire la racine de $\varphi_n$ appartenant à l’intervalle $]\omega_0, \omega_1[$. 12. I.C.2) Comparer $\varphi$ et $\varphi_n$ sur $]\omega_0, \omega_1[$. En déduire que la suite $(\mu_n)_{n \geq 2}$ converge en décroissant vers une limite $\mu$. 13. I.C.3) Montrer que la suite $(\varphi_n)_{n \geq 2}$ converge uniformément vers la fonction nulle sur $]\omega_0, \omega_1[$. En conclure que $\mu \neq \omega_0$ et $\mu$ est l’unique racine de $\varphi$ dans l’intervalle $]\omega_0, \omega_1[$. Calculer une valeur approchée de $\mu$ à $10^{-6}$ près en justifiant l’algorithme utilisé.} 14. II.A.1) Montrer que $y$ est de classe $C^2$ sur $[0,1]$ et vérifie les relations suivantes : \[ y” = -z, \quad y(1) = 0, \quad y'(0) = 0 \] 15. II.A.2) Prouver que $T$ est un endomorphisme de $C$ et que, si $z_1$ et $z_2$ appartiennent à $C$, alors \[ \langle Tz_1, z_2 \rangle = \langle z_1, Tz_2 \rangle \] 16. II.A.3) Montrer que $e_k$ est un vecteur propre de $T$ pour une valeur propre à préciser en fonction de $\omega_k$. Déduire de la question I.B.3 que, pour tout $z \in C$ : \[ T(z) \leq \frac{4}{\pi^2} z^2 \] et donner un cas d’égalité avec $z \neq 0$. 17. II.B.1) Montrer que $H_n = \operatorname{Vect}(u_n)^\perp \cap \operatorname{Vect}(e_0, …, e_n)$. Calculer les coordonnées de $u_n$ dans la base $(e_0, …, e_n)$ et préciser la dimension de $H_n$. 18. II.B.2) Montrer que $H_n$ est stable par l’endomorphisme $T_n$. On note $T_n$ l’endomorphisme de $H_n$ induit par $T$, c’est-à-dire tel que : \[ \forall z \in H_n, \quad T_n(z) = \Pi_{u_n} \circ T(z) \] Démontrer que, pour tout couple de vecteurs $(z_1, z_2) \in H_n$, \[ \langle T_n(z_1), z_2 \rangle = \langle z_1, T_n(z_2) \rangle \] En déduire que $T_n$ est diagonalisable.} 19. II.B.3) Calcul des valeurs propres de $T_n$. Soit $\omega \in \Omega$. Déterminer, par ses coordonnées dans la base $(e_0, …, e_n)$, l’unique vecteur $z$ tel que \[ T(z) = \frac{1}{\omega^2} z \] À quelle condition sur $\omega$, appartient-il à $H_n$? En déduire que les valeurs propres de $T_n$ sont les réels de la forme $\frac{1}{\omega^2}$ où $\omega$ est un zéro de la fonction $\varphi_n$ définie à la question I.C. 20. II.B.4) Montrer que, pour tout $z \in H_n$ : \[ \langle Tz, z \rangle \leq \frac{1}{\mu_n} \langle z, z\rangle \] ($\mu_n$ a été défini à la question I.C.1). 21. II.C.1) Soit $z_n = \Pi_{u_n}(z)$. Montrer que : \[ z_n \in H_n, \quad \|z_n – z\| \to 0 \text{ et } \|T(z_n) – T(z)\| \to 0 \] En déduire que \[ \langle Tz, z\rangle \leq \frac{1}{\mu} \langle z, z\rangle \] 22. II.C.2) Montrer que si $\mu$ est un réel tel que : \[ \langle Tz, z\rangle \leq \frac{1}{\mu} \langle z, z\rangle, \quad \forall z \in C^2 \] alors $\mu \leq \mu$. 23. II.D) Soit $\xi \in A$. Montrer que $\langle T(\xi”), \xi”\rangle = \langle \xi’, \xi’\rangle $ et conclure. }FAQ
La décomposition orthogonale, centrale en analyse fonctionnelle et en mathématiques de CPGE, permet de représenter tout vecteur (ou fonction) comme somme d’éléments orthogonaux, ici entre un espace vectoriel engendré par une fonction et son orthogonal. Cette technique intervient dans beaucoup de problèmes d’optimisation, de projection ou de résolution d’équations intégrales. Elle est aussi essentielle pour comprendre les séries de Fourier et leur convergence.
Le projecteur orthogonal est un outil fondamental pour extraire la « composante » d’une fonction dans un sous-espace, en neutralisant le reste. Dans les sujets des concours comme Centrale, ce projecteur permet de simplifier l’étude des fonctions, de minimiser certaines normes et d’accélérer la résolution de nombreux problèmes – typiquement lors de l’étude des suites d’opérateurs ou des meilleures approximations. Maitriser son écriture explicite, c’est s’assurer des points en plus à chaque concours !
Les familles orthonormales de fonctions trigonométriques sont au cœur des séries de Fourier, un pilier de la physique, du traitement du signal et de nombreux problèmes en mathématiques appliquées. Elles permettent un passage naturel entre le cadre discret et continu, facilitent la résolution d’équations différentielles et sont intimement liées aux espaces hermitiens. Savoir manipuler les coefficients de Fourier ou prouver l’orthonormalité est indispensable pour décrocher une bonne note aux écrits.
La série de Fourier permet d’exprimer toute fonction adaptée – souvent périodique ou continue par morceaux – comme somme de sinus et cosinus. Cela ouvre la porte à des représentations analytiques, au calcul de développements limités, à l’étude de la régularité et à la résolution d’équations aux dérivées partielles. C’est un talisman pour l’épreuve Centrale en PSI, qui apprécie particulièrement les questions de convergence ponctuelle, uniforme ou en norme. Pour progresser, rien ne remplace l’entraînement sur de vrais corrigés !
Connaître la définition (produit scalaire, orthogonalité, projection), savoir reconnaître un espace hermitien et utiliser les propriétés fondamentales comme la décomposition orthogonale ou les inégalités de Bessel et de Parseval sont essentiels. Les espaces hermitiens sont omniprésents derrière les fonctions trigonométriques, les polynômes orthogonaux ou l’étude des opérateurs symétriques. Pour progresser efficacement sur ces notions clés, tu peux débloquer les corrigés sur Prépa Booster, où tu trouveras des solutions détaillées et des pistes méthodologiques adaptées à chaque type de question.
Un endomorphisme autoadjoint vérifie : ⟨Tu, v⟩ = ⟨u, Tv⟩ pour tout u,v de l’espace. Ça lui confère de superbes propriétés : diagonalisabilité, spectre réel, existence de bases orthonormales de vecteurs propres. Dans les épreuves comme celles de Centrale PSI, tu dois repérer ces propriétés pour simplifier l’étude spectrale de l’application ou de l’opérateur, surtout quand il s’agit de séries de Fourier ou de problèmes d’équations différentielles linéaires.
Pour montrer une convergence uniforme, il faut prouver que le supremum des écarts entre les fonctions de la suite et la limite tend vers zéro. En séries de Fourier, cela dépend généralement des propriétés de régularité de la fonction initiale (continuité, dérivabilité) et des théorèmes classiques (Weierstrass, Dini, Bessel, Parseval…). Prends toujours le temps de bien reformuler le problème avant de te lancer dans une estimation.
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