Questions du sujet
1. Quelle est la loi de $Y_n$ ? En déduire l’espérance et la variance de $Y_n$.
2. Quelle relation a-t-on entre $S_n$ et $Y_n$ ? En déduire l’espérance et la variance de $S_n$. Justifier que $S_n$ et $n$ ont même parité.
3. Donner sans démonstration la valeur de $C_3$ et représenter tous les chemins de Dyck de longueur $6$.
4. Justifier à l’aide d’une figure que $\gamma_{2r+1} = 1$, $\gamma_{2n+2} = -1$ et que $\alpha$ et $\beta$ sont des chemins de Dyck.
5. Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et soit $\gamma = (\gamma_1, \ldots, \gamma_{2n})$ un chemin de Dyck de longueur $2n$. Pour $t \in \mathbb{N}$, exprimer $\mathbb{P}(A_{t,\gamma})$ en fonction de $n$ et $p$.}
6. Montrer que $T$ prend des valeurs paires et que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\mathbb{P}(T = 2n + 2) = 2 C_n p^{n+1}(1-p)^{n+1}$.
7. En utilisant la question 4, montrer
\[
\forall n \in \mathbb{N}, \quad C_{n+1} = \sum_{r=0}^n C_r C_{n-r}.
\]
8. À l’aide de la variable aléatoire $T$, montrer que la série $\sum_{n \geq 0} \frac{C_n}{4^n}$ converge.
9. En déduire que la série entière $\sum_{n \geq 0} C_n t^n$ converge normalement sur l’intervalle $I = \left[ -\frac{1}{4}, \frac{1}{4} \right]$.
10. À l’aide des questions précédentes, exprimer $G_T$ à l’aide de $g$ et de $\mathbb{P}(T=0)$.}
11. En déduire que si $p \neq \frac{1}{2}$, alors $T$ admet une espérance.
12. Montrer que $\forall t \in I,\ g(t)^2 = 2g(t) – 4t$.
13. En déduire qu’il existe une fonction $\varepsilon : I \rightarrow \{-1,1\}$ telle que \[
\forall t \in I, \quad g(t) = 1 + \varepsilon(t) \sqrt{1 – 4t}.
\]
14. Montrer que $\varepsilon$ est continue sur $I \setminus \left\{\frac{1}{4} \right\}$. En déduire
\[
\forall t \in I, \quad g(t) = 1 – \sqrt{1 – 4t}.
\]
15. En déduire que $\mathbb{P}(T \neq 0) = 1 – \sqrt{1 – 4p(1-p)}$. Interpréter ce résultat lorsque $p = \frac{1}{2}$.}
16. Montrer que si $p = \frac{1}{2}$, alors $T$ n’admet pas d’espérance.
17. Justifier l’existence d’une suite de réels $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que \[
\forall x \in ]-1, 1[, \quad \sqrt{1 + x} = 1 + \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^{n+1},
\]
et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, exprimer $a_n$ à l’aide d’un coefficient binomial.
18. En déduire $\forall n \in \mathbb{N},\ C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n}$.
19. Rappeler l’équivalent de Stirling. En déduire un équivalent de $C_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
20. À partir de la question précédente, retrouver le résultat des questions 11 et 16.}
21. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, la famille $(V_0, V_1, \ldots , V_n)$ est une base orthogonale de l’espace vectoriel $\mathbb{R}_n[X]$ des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $n$.
22. Soit $n \in \mathbb{N}$ et $P \in \mathbb{R}[X]$ tel que $\deg P < n$. Montrer que $(V_n|P) = 0$. 23. Soit $(W_n)_{n \in \mathbb{N}}$ un autre système orthogonal. Montrer que $\forall n \in \mathbb{N},\ W_n = V_n$. 24. Montrer que $Q_n$ est triangulaire supérieure et que $\det Q_n = 1$. 25. Montrer que $Q_n^\top G_n Q_n = G_n'$ , où $Q_n^\top$ est la transposée de la matrice $Q_n$.} 26. En déduire que $\det G_n = \prod_{i = 0}^n \Vert V_i \Vert^2$. 27. Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ et $Q \in \mathbb{R}[X]$. Montrer que la fonction $x \mapsto \frac{P(4x)Q(4x)}{\sqrt{1-x}\sqrt{x}}$ est intégrable sur $]0,1]$. 28. Montrer que $(\cdot \mid \cdot)$ est un produit scalaire sur $\mathbb{R}[X]$. 29. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, montrer que $U_n$ est unitaire de degré $n$, et déterminer la valeur de $U_n(0)$. 30. Soit $\theta \in \mathbb{R}$. Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}$, $U_n(4\cos^2 \theta) \sin \theta = \sin((2n+1)\theta)$.} 31. Soit $(m, n) \in \mathbb{N}^2$. Calculer \[ \int_0^{\pi/2} \sin((2m+1)\theta)\sin((2n+1)\theta)\,d\theta. \] 32. En déduire que $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est un système orthogonal et que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\Vert U_n \Vert = 1$.\\ Pour calculer la valeur de $(U_m|U_n)$, on pourra effectuer le changement de variable $x = \cos^2\theta$. 33. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $\mu_n = (X^n|1)$.\\ À l’aide d’une intégration par parties, montrer \[ \forall n \in \mathbb{N}^*,\; 4\mu_{n-1} - \mu_n = \frac{2 \times 4^n}{\pi} \int_0^1 x^{n-3/2}(1-x)^{3/2} dx = \frac{3}{2n-1} \mu_n. \] 34. En déduire $\forall n \in \mathbb{N}$, $\mu_n = C_n$. 35. Soit $n \in \mathbb{N}$. Déduire des parties précédentes la valeur du déterminant \[ H_n = \det(C_{i+j-2})_{1 \leq i,j \leq n+1} = \begin{vmatrix} C_0 & C_1 & \cdots & C_{n-1} & C_n \\ C_1 & \ddots & & & C_{n+1} \\ \vdots & & & & \vdots \\ C_{n-1} & & & & C_{2n-1} \\ C_n & C_{n+1} & \cdots & C_{2n-1} & C_{2n} \end{vmatrix} \]} 36. Soit $(n,k) \in \mathbb{N}^2$ tel que $k < n$. Montrer $(D_n|X^k) = 0$. 37. En déduire que $\forall n \in \mathbb{N},\ D_n = U_n$, puis déterminer, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, la valeur du déterminant $H'_n$.}