Questions du sujet
1. I.A.1) Justifier l’égalité \[ \forall t \in \mathbb{R}~ G_x(t) = e^{ix \sin t} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \varphi_n(x) e^{int} \] Que peut-on dire de la convergence de la série de Fourier de $G_x$~?} 2. I.A.2) Montrer que pour tout $k$ dans $\mathbb{N}^*$, \[ |\varphi_n(x)| = o\left(\frac{1}{n^k}\right) \] lorsque $n$ tend vers $+\infty$.\\ On utilisera des séries de Fourier des dérivées successives de $G_x$.} 3. I.B — En exprimant $G_x(-t)$ en fonction de $G_x(t)$, montrer que pour $n$ dans $\mathbb{Z}$, $\varphi_n(x) \in \mathbb{R}$.} 4. I.C — Exprimer $G_x(t + \pi)$ et en déduire les égalités suivantes pour $n$ dans $\mathbb{Z}$~:\\ $\varphi_n(-x) = (-1)^n \varphi_n(x) = \varphi_{-n}(x)$\\ Que peut-on dire de la parité de $\varphi_n$ pour $n \in \mathbb{Z}$~?} 5. I.D — Calculer $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |\varphi_n(x)|^2$.\\ L’étude préliminaire permet de restreindre l’étude des fonctions réelles $\varphi_n$ à $\mathbb{R}_+ $ et de se limiter au cas où $n>0$.} 6. II.A — Justifier que pour $x$ réel, $|\varphi_n(x)| \leq 1$.} 7. II.B — Montrer que pour $x$ réel, \[ \varphi_n(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^k}{k!} I_{n,k} \quad \text{avec} \quad I_{n,k} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} i^k e^{-int} (\sin t)^k dt \] } 8. II.C.1) À l’aide de la formule d’Euler, justifier que pour $(n, k) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$, \[ I_{n,k} = \sum_{m=0}^{k} A_{m,k} \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{it(2m – k – n)} dt \] avec $A_{m,k}$ des constantes à préciser.} 9. II.C.2) Vérifier que \[ \begin{cases} I_{n,k} = 0 & \text{si } n>k \text{ ou si } k-n \text{ est impair} \\ I_{n,k} = \displaystyle \frac{(-1)^p}{2^{n+2p}} \binom{n+2p}{n+p} & \text{si } k=n+2p \text{ avec } p>0 \end{cases} \] } 10. II.C.3) En déduire le développement en série entière, pour $n>0$ et $x \in \mathbb{R}$~: \[ \varphi_n(x) = \sum_{p=0}^{+\infty} \frac{(-1)^p}{p!(n+p)!} \left(\frac{x}{2}\right)^{n+2p} \] Préciser le rayon de convergence.} 11. II.C.4) Montrer que $\varphi_n$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$.} 12. II.D — Relation de dérivation\\ Soit $n$ dans $\mathbb{N}^*$, vérifier que pour $x$ réel \[ \frac{d}{dx} (x^n \varphi_n(x)) = x^n\varphi_{n-1}(x) \] } 13. II.E.1) À partir de quelle valeur $p_0$ de $p$ la suite $(a_p)_{p \in \mathbb{N}}$ est-elle décroissante~?} 14. II.E.2) On suppose $N>p_0$. Majorer $|R_N|$ en fonction de $(N, n, x)$ avec \[ R_N = \sum_{p=N+1}^{+\infty} (-1)^p a_p \] En déduire, pour $\varepsilon >0$ fixé, une condition suffisante sur $N$ pour que $|\varphi_n(x) – S_N| < \varepsilon$.\\ La somme partielle $S_N$ est dite alors valeur approchée de $\varphi_n(x)$ à $\varepsilon$ près. } 15. II.E.3) Écrire une fonction Maple ou Mathematica, CalculPhi, d’arguments $(n, x, \varepsilon)$ retournant une valeur approchée de $\varphi_n(x)$ à $\varepsilon$ près. Les coefficients $a_p$ seront calculés par récurrence.} 16. III.A.1) En utilisant le développement de $\varphi_n$ en série entière (II.1), montrer que $\varphi_n$ est solution sur $[0, +\infty[$ de (III.1). \[ x^2 y'' + x y' + (x^2 - n^2)y = 0 \] } 17. III.A.2) Soit $y$ une solution dans $E$ de (III.1). On pose $z(x) = \sqrt{x} y(x)$ pour tout $x \in ]0, +\infty[$.\\ Montrer que $z$ est solution dans $E$ d'une équation différentielle du type \[ z'' + q z = 0 \] avec $q \in E$.\\ Préciser l'expression de la fonction $q$ et vérifier que $\lim_{x \to +\infty} q(x) = 1$. } 18. III.A.3) Justifier que si $z$ est une solution non nulle de (III.2), alors pour $x>0$, $(z(x), z'(x)) \neq (0, 0)$.\\ En déduire que si $\alpha$ est un zéro de $z$, alors il existe un réel strictement positif $\eta$ tel que $\alpha$ soit le seul point d’annulation de $z$ sur $I = ]\alpha – \eta, \alpha + \eta[$.\\ On dit dans ce cas que $\alpha$ est un zéro isolé de $z$.} 19. III.A.4) Vérifier que les zéros de $\varphi_n$ sur $]0, +\infty[$ sont isolés.} 20. III.B.1) En considérant l’équation différentielle (III.3) sous la forme $z” + z = g$ avec $g(x) = -\lambda/x^2 z(x)$, la résoudre sur $]0, +\infty[$ par la méthode de variation des constantes.\\ En déduire qu’il existe deux réels $A$ et $B$ tels que \[ \forall x \in ]0, +\infty[, \qquad z(x) = A\cos(x) + B\sin(x) + \lambda \int_{x_0}^x \frac{z(u)\sin(u-x)}{u^2} du \] } 21. III.B.2) On pose pour $x > 0$ \[ h(x) = \int_{x_0}^x \frac{|z(u)|}{u^2} du \] a) Montrer qu’il existe des constantes réelles $\mu$ et $M$ telles que $h$ vérifie l’inégalité différentielle pour $x > x_0$: \[ h'(x) – \frac{\mu}{x^2} h(x) \leq \frac{M}{x^2} \] Préciser les constantes $\mu$ et $M$ en fonction de $A, B$ et $\lambda$. b) En déduire que $h$ est bornée sur $[x_0, +\infty[$ puis que $z$ est bornée sur ce même intervalle.\\ Multiplier par $e^{\mu/x}$ et intégrer l’inégalité de la question précédente. } 22. III.B.3) Justifier que \[ \int_x^{+\infty} \frac{z(u)\sin(u-x)}{u^2} du = O\left(\frac{1}{x}\right) \] au voisinage de $+\infty$.\\ En déduire l’existence de constantes $\alpha$ et $\beta$ telles qu’au voisinage de $+\infty$, \[ z(x) = \alpha \cos(x – \beta) + O\left(\frac{1}{x}\right) \] } 23. III.B.4) Soit $n \in \mathbb{N}$. Montrer qu’il existe un couple de réels $(\alpha_n, \beta_n)$ tel que, pour $x \to +\infty$, \[ \varphi_n(x) = \alpha_n \sqrt{x} \cos(x – \beta_n) + O\left(\frac{1}{x\sqrt{x}}\right) \] } 24. IV.A — En utilisant l’encadrement de la question II.E.2, montrer que $\varphi_0(3)<0$. En déduire que $\varphi_0$ possède un zéro $\alpha_0 \in ]0, 3[$.\\ On admettra que c’est le premier zéro de $\varphi_0$, c’est-à-dire que $\varphi_0$ ne s’annule pas sur $]0, \alpha_0[$. } 25. IV.B -- En utilisant la question II.D, montrer par récurrence que pour tout entier $n>1$ la fonction $\varphi_n$ est strictement positive sur $]0, \alpha_0[$.} 26. IV.C.1) Dans cette question, on fixe $n \in \mathbb{N}$ et $c \in ]0, 1[$. On pose $z(x) = \sqrt{x} \varphi_n(x)$, pour $x > 0$.\\ Justifier qu’il existe un réel $A>0$ tel que pour $x>A$, $q(x) > c^2$ ($q$ définie en III.A.2). } 27. IV.C.2) Soit $a > A$. On pose pour $x > 0$, $z_1(x) = \sin(c(x-a))$, solution de IV.1. On définit la fonction \[ W = z z_1′ – z_1 z’ \] Vérifier que pour $x>0$, $W'(x) = (q(x)-c^2)z(x)z_1(x)$. } 28. IV.C.3) On note $I_a = ]a, a+\pi/c[$ et on suppose que $\varphi_n$ ne possède pas de zéros sur $I_a$.\\ Déterminer les signes de $W(a), W(a+\pi/c)$ et de $W’$ sur $I_a$ et aboutir à une contradiction. En déduire que $\varphi_n$ possède un zéro dans tout intervalle $I_a$ avec $a>A$.\\ On pourra distinguer les cas suivant le signe de $\varphi_n$ sur $I_a$. } 29. IV.D.1) Montrer qu’on peut ordonner les zéros de $\varphi_n$, c’est-à-dire qu’il existe une suite $(\alpha^{(n)}_k)_{k\in\mathbb{N}}$ strictement croissante de zéros de $\varphi_n$ telle que $\varphi_n$ ne s’annule pas sur $]0, \alpha^{(n)}_0[$ et sur tout intervalle $]\alpha^{(n)}_k, \alpha^{(n)}_{k+1}[$ avec $k$ dans $\mathbb{N}$ et que $\lim_{k\to +\infty}\alpha^{(n)}_k = +\infty$.\\ Construire la suite $(\alpha^{(n)}_k)_{k\in\mathbb{N}}$ par récurrence sur $k$ en montrant que l’ensemble $Z_k$ des zéros de $\varphi_n$ dans l’intervalle $]\alpha^{(n)}_k, +\infty[$ possède un plus petit élément. } 30. IV.D.2) En déduire que la suite $(\alpha^{(n)}_k)_{k\in\mathbb{N}}$ vérifie la propriété de répartition asymptotique~:\\ \[ \forall c \in ]0, 1[,~ \exists j \in \mathbb{N} ~\text{tel que}~ \forall k \in \mathbb{N},~ 0 < \alpha^{(n)}_{j+k+1} - \alpha^{(n)}_{j+k} < \frac{\pi}{c} \] }FAQ
Pour réussir ce sujet, tu dois parfaitement maîtriser les séries de Fourier et la régularité des fonctions périodiques, mais aussi l’analyse des séries entières et le lien avec les développements en puissance. Il est essentiel de bien comprendre les équations différentielles linéaires, en particulier l’équation de Bessel, très classique en concours, ainsi que les techniques de changement de fonction (par exemple, passer de y à z = √x y). Enfin, les techniques d’encadrement, de majoration et l’étude asymptotique sont incontournables à ce niveau. Ces outils sont en trame de fond de beaucoup de questions du sujet.
Le développement en série entière permet non seulement de représenter explicitement certaines fonctions, mais aussi d’obtenir des informations fines sur leur régularité (classe C∞, convergence, rayon de convergence). Dans de nombreux sujets, comme ici, c’est un passage obligé pour relier une définition analytique à une expression exploitable pour les calculs ou pour prouver des propriétés (positivité, parité, décroissance…). Pour t’entraîner efficacement, il faut savoir manipuler la définition générale, reconnaître le rayon de convergence — souvent par le critère de D’Alembert ou le théorème de convergence de Cauchy-Hadamard — et adapter le raisonnement aux particularités du sujet.
En concours, on attend de toi que tu sois capable de dégager le comportement dominant, notamment au voisinage de l’infini ou d’une singularité. Pour une équation comme celle du type de Bessel, commence par chercher la solution fondamentale (souvent une combinaison de sinus et cosinus pondérés) et analyse comment les termes additionnels issus, par exemple, d’une perturbation ou d’un développement intégral, se comportent à l’infini. Les majorations (encadrement des restes, estimations de type O(1/x)…) sont indispensables pour justifier rigoureusement la forme asymptotique. Savoir passer d’un comportement global à la détermination précise de la localisation des zéros, comme on te le demande dans ce sujet, est un vrai atout pour réussir ce type d’épreuve.
Les séries de Fourier sont incontournables car elles permettent d’attaquer efficacement nombre de problèmes liant analyse et algèbre. Elles interviennent partout dès qu’il s’agit d’étudier des fonctions périodiques, de projeter sur des bases d’espaces de Hilbert (notamment en physique), ou de travailler sur la décroissance des coefficients, ce qu’on retrouve énormément dans les sujets comme celui-ci. Maîtriser les propriétés de périodicité, le passage à la série trigonométrique et l’usage des intégrales sur une période, c’est se donner une longueur d’avance à l’écrit. C’est aussi directement relié au programme de physique quantique et de vibrations mécaniques, d’où la transversalité de ce thème.
Pour répondre efficacement, on te conseille de toujours débuter par l’encadrement précis du domaine de définition et des hypothèses. Déroule ensuite ta démonstration de façon structurée : annonce la technique utilisée (intégration par parties, passage à la limite, application d’un théorème), puis justifie chaque étape, surtout si tu utilises une propriété vue en cours (comme la régularité C∞, la parité, la décroissance rapide…). Sois clair dans les transitions, et termine par une phrase de synthèse permettant de faire le lien avec la question suivante. C’est de cette rigueur rédactionnelle que se distinguent les meilleures copies au concours.
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