Questions du sujet
1. I.A – Montrer que la fonction $t \mapsto e^{-t} t^{x-1}$ est intégrable sur $]0, +\infty[$ si, et seulement si, $x > 0$. 2. I.B – Justifier que la fonction $\Gamma$ est de classe $C^1$ et strictement positive sur $]0, +\infty[$. 3. I.C – Exprimer $\Gamma(x + 1)$ en fonction de $x$ et de $\Gamma(x)$. 4. I.D – Calculer $\Gamma(n)$ pour tout entier naturel $n$, $n > 1$. 5. II.A – À l’aide de deux intégrations par parties, montrer que : \\[1ex] $u_k = \dfrac{1}{2} (\ln k – \ln(k-1)) – \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{k-1}^{k} \dfrac{(t – k + 1)(k – t)}{t^2} dt$} 6. II.B – Pour tout entier $k > 2$, on note : \\[1ex] $w_k = \dfrac{1}{2} \int_{k-1}^{k} \dfrac{(t – k + 1)(k – t)}{t^2} dt$ \\[1ex] Justifier la convergence de la série $\sum_{k>2} w_k$. \\[1ex] En déduire qu’il existe un nombre réel $a$ tel que : \\[1ex] $\ln n! = n \ln n – n + \dfrac{1}{2} \ln n + a + v_n$ \\[1ex] où $v_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} w_k$. 7. II.C – En utilisant encore une intégration par parties, montrer que : \\[1ex] $w_k – \dfrac{1}{12} \int_{k-1}^{k} \dfrac{dt}{t^2} = \dfrac{1}{6} \int_{k-1}^{k} \dfrac{dt}{t^3}$ 8. II.D – En déduire que \\[1ex] $v_n – \dfrac{1}{12n} = \dfrac{1}{6} \dfrac{1}{12n^2}$ \\[1ex] puis que : \\[1ex] $\ln n! = n \ln n – n + \dfrac{1}{2} \ln n + a + \dfrac{1}{12n} + O\left(\dfrac{1}{n^2}\right)$ \\[1ex] Dans la suite on admettra que $a = \dfrac{1}{2} \ln(2\pi)$ et on pourra utiliser la formule de Stirling : \\[1ex] $\ln n! = n \ln n – n + \dfrac{1}{2} \ln n + \dfrac{1}{2} \ln(2\pi) + \dfrac{1}{12n} + O\left(\dfrac{1}{n^2}\right)$ 9. III.A – Montrer que pour tout entier $n$, $n > 1$, la fonction $f_n$ est continue et intégrable sur $]0, +\infty[$. 10. III.B – Montrer que, pour tout $x > 0$, $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} I_n(x) = \Gamma(x)$ 11. III.C – Montrer que, pour tout entier $n$, $n > 0$,\\ $\forall x > 0,\quad J_{n+1}(x) = \dfrac{n+1}{x} J_n(x+1)$} 12. III.D – En déduire que, pour tout $x > 0$, \\ $J_n(x) = \dfrac{n!}{x(x+1)\cdots(x+n-1)(x+n)}$ 13. III.E – Établir l’identité d’Euler (III.1) :\\ $\forall x > 0, \Gamma(x) = \displaystyle\lim_{n\to +\infty} \dfrac{n! n^x}{x(x+1)\cdots(x+n)}$ 14. IV.A – Dessiner soigneusement le graphe de l’application $h$ sur l’intervalle $[-1, 1]$. 15. IV.B – Montrer que la fonction $H$ définie sur $\mathbb{R}$ par :\\ $H(x) = \displaystyle\int_0^x h(t) dt$\\ est continue, de classe $C^1$ par morceaux et périodique de période $1$. 16. IV.C – À l’aide d’une intégration par parties, justifier, pour $x > 0$, la convergence de l’intégrale suivante :\\ $\displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{h(u)}{u + x} du$} 17. IV.D – L’application $u \mapsto \dfrac{h(u)}{u + x}$ est-elle intégrable sur $\mathbb{R}_+$ ? 18. IV.E – Soit $\varphi$ l’application définie pour tout $x > 0$ par :\\ $\varphi(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{h(u)}{u + x} du$\\ En reprenant l’intégration par parties de la question IV.C, démontrer que l’application $\varphi$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}_+^*$ et que pour tout $x > 0$,\\ $\varphi'(x) = -\displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{h(u)}{(u + x)^2} du$ 19. V.A – Montrer que pour tout entier naturel $i$ :\\ $\displaystyle\int_{x+i}^{x+i+1} \ln t\, dt = \ln(x+i) – \int_i^{i+1} \dfrac{u-i-1}{u+x} du$ 20. V.B – En déduire que :\\ $F_n(x) = G_n(x) – \displaystyle\int_0^{n+1} \dfrac{h(u)}{u + x} du$\\ où \\$G_n(x) = \ln n! + (x + 1) \ln n – \left(x + n + \frac{3}{2}\right)\ln(x+n+1) + n+1 + \left(x+\frac{1}{2}\right)\ln x$ 21. V.C.1) En utilisant la formule de Stirling, montrer que :\\ $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} G_n(x) = \left(x + \frac{1}{2}\right) \ln x – x + \ln \sqrt{2\pi}$} 22. V.C.2) En déduire que : \\ $\ln \Gamma(x+1) = \left(x + \frac{1}{2}\right)\ln x – x + \ln \sqrt{2\pi} – \displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{h(u)}{u+x} du$ 23. V.D – Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, \\ $\dfrac{\Gamma'(x+1)}{\Gamma(x+1)} = \ln x + \dfrac{1}{2x} + \displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{h(u)}{(u+x)^2} du$ 24. VI.A.1) Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}_+^4$.\\ Montrer que $f$ admet un maximum sur $\Omega$.\\ On note alors $a = (a_1, a_2, a_3, a_4) \in \Omega$ un point en lequel ce maximum est atteint. 25. VI.A.2) Montrer que si $(x_1, x_2, x_3, x_4) \in \Omega$ alors $x_3$ et $x_4$ peuvent s’écrire sous la forme\\ $x_3 = u x_1 + v x_2 + w$\\ $x_4 = u’ x_1 + v’ x_2 + w’$\\ où l’on donnera explicitement $u, v, u’, v’$ en fonction de $\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3, \epsilon_4$. 26. VI.A.3) En supposant qu’aucun des nombres $a_1, a_2, a_3, a_4$ n’est nul, déduire que\\ $\frac{\partial f}{\partial x_1}(a) + u \frac{\partial f}{\partial x_3}(a) + u’ \frac{\partial f}{\partial x_4}(a) = 0$\\ $\frac{\partial f}{\partial x_2}(a) + v \frac{\partial f}{\partial x_3}(a) + v’ \frac{\partial f}{\partial x_4}(a) = 0$} 27. VI.A.4) Montrer que le sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^4$ engendré par les vecteurs $(1,0,u,u’)$ et $(0,1,v,v’)$ admet un sous-espace supplémentaire orthogonal engendré par les vecteurs $(1,1,1,1)$ et $(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3,\epsilon_4)$. 28. VI.A.5) En déduire l’existence de deux réels $\alpha, \beta$ tels que pour tout $i \in \{1,2,3,4\}$ on ait\\ $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = \alpha + \beta \epsilon_i$ 29. VI.B – On définit la fonction $F$ pour tout $x = (x_1, x_2, x_3, x_4)$ de $\mathbb{R}_+^4$ par\\ $F(x_1, x_2, x_3, x_4) = – \sum_{i=1}^4 \ln \Gamma(1 + x_i)$\\ On suppose qu’il existe $N = (N_1,N_2,N_3,N_4) \in \Omega$, les nombres $N_1,N_2,N_3,N_4$ étant tous les quatre non nuls, tel que\\ $\displaystyle\max_{x\in\Omega} F(x) = F(N)$\\ Montrer l’existence de deux nombres réels $\lambda$ et $\mu$ vérifiant pour tout $i \in \{1,2,3,4\}$ :\\ $\ln N_i + \frac{1}{2N_i} + \int_0^{+\infty} \frac{h(u)}{(u+N_i)^2} du = \lambda + \mu\epsilon_i$ 30. VI.C.1) Pour tout $i \in \{1,2,3,4\}$, on pose\\ $\theta(N_i) = \frac{1}{2N_i} + \int_0^{+\infty} \frac{h(u)}{(u+N_i)^2} du$\\ Montrer que pour tout $i \in \{1,2,3,4\}$ : $0 < \theta(N_i) < \dfrac{1}{N_i}$ 31. VI.C.2) Montrer l’existence d’un réel $K$ strictement positif tel que pour tout $i \in \{1,2,3,4\}$\\ $N_i = K e^{\mu \epsilon_i} e^{-\theta(N_i)}$}FAQ
Le sujet aborde des notions fondamentales telles que l’intégration sur des intervalles infinis, l’étude de la fonction Gamma, les séries convergentes, la formule de Stirling et ses applications, les intégrales de fonctions à valeurs spécifiques, les méthodes des extrémums sous contraintes, ainsi que l’étude de fonctions périodiques. Tu vas revisiter beaucoup de techniques de calcul et d’analyse, incontournables en filière PC.
La fonction Gamma généralise la factorielle à l’ensemble des réels strictement positifs. Elle intervient naturellement dans de nombreux domaines : calcul d’intégrales, probabilités, théorie des séries, fonctions spéciales. Les concours, comme Centrale PC, l’utilisent pour tester à la fois ta capacité de calcul, de rigueur d’analyse et de compréhension profonde de l’intégralité du programme.
Oui, la formule de Stirling est au programme et fait partie des outils d’approximation asymptotique essentiels. Elle permet d’obtenir le développement asymptotique du logarithme factoriel, ce qui est capital pour aborder sérieusement les problématiques de croissance ou d’approximation d’intégrales ou de sommes, comme attendu dans un sujet type Centrale.
L’intégration par parties est un outil redoutable pour simplifier, transformer ou faire apparaître des relations entre intégrales, surtout lorsqu’on manipule des expressions comportant des logarithmes, exponentielles ou puissances. Les sujets de concours t’attendent souvent sur sa bonne utilisation pour démontrer des égalités subtiles ou établir le lien avec des suites ou des séries.
Pour maîtriser la convergence, il faut d’une part connaître les critères classiques (comparaison, intégrale, séries alternées, etc.), d’autre part s’exercer régulièrement avec des applications sur des fonctions moins standards, comme les intégrandes issus de la fonction Gamma ou les séries obtenues par développement asymptotique. Les corrigés détaillés accessibles sur Prépa Booster t’aideront à revoir ces méthodes sur des exercices variés issus des vraies épreuves.
Toujours vérifier la continuité, la dérivabilité (classe $C^1$), et la nature de l’ensemble de définition. Pour une fonction définie par une intégrale, il faut examiner la continuité de l’intégrande, la convergence de l’intégrale sur l’intervalle de définition prétendu, et s’assurer du comportement aux bornes (zéros ou infinis). Les sujets de concours comme celui de Centrale PC insistent souvent sur cette rigueur.
Elles interviennent pour localiser, sur un ensemble parfois défini par des contraintes linéaires ou non, les points où une fonction prend son maximum ou son minimum. On doit alors maîtriser les outils des dérivées partielles, la gestion des contraintes, le calcul de gradients, et parfois l’utilisation des multiplicateurs de Lagrange. C’est typiquement ce sur quoi tu es interrogé dans les dernières parties du sujet.
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