Questions du sujet
1. Pour $x \in \mathbb{R}$, montrer l’existence et donner la valeur des expressions suivantes : 2. On considère l’équation différentielle $y’ – y = x + \cos x$, $x \in \mathbb{R}$. Déterminer une fonction bornée $Y_0$ et une fonction $g$ telles que la solution générale sur $\mathbb{R}$ de cette équation différentielle puisse se mettre sous la forme $Y_0(x) + \lambda g(x)$ où $\lambda \in \mathbb{R}$. Donner sans démonstration le résultat analogue relatif à l’équation différentielle $y’ – y = x + \sin x$. 3. Soit $\Pi$ le plan vectoriel engendré par les fonctions cosinus et sinus dans l’espace vectoriel des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, c’est-à-dire l’ensemble des fonctions de la forme $f(x) = \alpha \cos x + \beta \sin x$, où $\alpha$ et $\beta$ sont des nombres réels. Pour tout $f \in \Pi$, on définit $f_1$ par la formule $\forall x \in \mathbb{R}, \ f_1(x) = e^x \int_x^{+\infty} e^{-t} f(t)\,dt$.\\ I.C.1) Montrer que la transformation $f \mapsto f_1$ définit une application $\Phi : \Pi \to \Pi$. La linéarité de $\Phi$ étant considérée comme évidente, donner la matrice de $\Phi$ dans la base de $\Pi$ constituée des fonctions cosinus et sinus. 4. On munit $\Pi$ de la norme $\|f\|_\infty = \sup_{x \in \mathbb{R}}|f(x)|$. Déterminer une constante $k > 0$ telle que, pour tout $f \in \Pi$, on ait $\|f_1\|_\infty \leq k\|f\|_\infty$.\\ Pour $f \in \Pi$, on définit par récurrence la suite $(f^n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ où $f^1 = \Phi(f)$ et pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $f^{n+1} = \Phi(f^n)$. Étudier l’existence de la limite de cette suite relativement à la norme définie sur $\Pi$ et déterminer la valeur de cette limite. 5. On donne, pour $x > 0$, l’équation différentielle $y’ – \frac{1}{x}y + \frac{1}{x^2} = 0$.\\ II.A – Montrer qu’il existe sur l’intervalle $]0, +\infty[$ une unique solution bornée quand $x$ tend vers l’infini et exprimer $Y_0$ sous forme d’une intégrale.\\ Quelle expression donner à la solution générale $Y_\lambda(x)$, où $\lambda \in \mathbb{R}$, l’indexation étant telle que pour $\lambda = 0$, on ait la solution bornée ? Étudier le comportement de $Y_0(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$ par valeurs positives. On note $C_0$ la courbe représentative de la solution $Y_0$.} 6. Pour tout point $m$ du demi-plan $x > 0$, on note $Y_m$ la solution de l’équation vérifiant $Y_m(x_m) = y_m$ et $C_m$ sa courbe représentative.\\ II.B.1) Déterminer l’ensemble des points $m$ tels que $C_m = H$. Même question pour l’ensemble des $m$ tels que $C_m = I$. Donner sans démonstration une interprétation géométrique pour chacun des ensembles $H$ et $I$. 7. II.B.2) Quelle est la place de la courbe représentative de la solution $Y_0$ par rapport aux courbes $H$ et $I$ ? (on pourra faire des intégrations par parties sur $…]0,+\infty[$). 8. II.B.3) Tracer sans explication sur un même dessin des ébauches des courbes $C_0$, $H$, $I$, $C_{\lambda_1}$, $C_{\lambda_2}$, où $\lambda_1$ et $\lambda_2$ sont des réels respectivement négatif et positif. 9. III.A – Montrer que $\varepsilon$ est un sous-espace vectoriel de $(I, C_I)$, où $I$ est un intervalle ouvert de la forme $]a,+\infty[$, $a$ pouvant être égal à $-\infty$. 10. Étant donné $f \in \varepsilon$ et $x \in I$, on considère l’équation différentielle $\mathcal{E}_f : y’-y = f(x)$.\\ III.B – Montrer que $\mathcal{E}_f$ admet une unique solution définie par la formule $f_1(x) = e^x\int_x^{+\infty}e^{-t}f(t)\,dt$, $x\in I$.} 11. On définit l’application $\Phi : \varepsilon \to \varepsilon$ par $\Phi(f) = f_1$ ; elle est évidemment linéaire.\\ III.C – Soit $\Phi^n$ la composée $n$ fois de $\Phi$ avec elle-même. Pour $f \in \varepsilon$, on pose $f^n = \Phi^n(f)$ (avec $f^0 = f$). Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :\\ (i) la suite $(f^n)$ converge uniformément sur tout compact de $I$,\\ (ii) la suite $(f^n)$ converge uniformément vers une constante sur tout compact de $I$,\\ (iii) la série $\sum f^{\prime n}$ converge uniformément sur tout compact de $I$. 12. III.D – Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}^*$ et $x \in I$, $f^{n+1}(x) = \frac{1}{n!}e^x\int_x^{+\infty} (t-x)^n f(t)e^{-t}\,dt$. (on pourra raisonner par récurrence en écrivant $f^{n+1} = \Phi(f^n)$ et intégrer par parties). 13. III.E – L’application linéaire $\Phi : \varepsilon \to \varepsilon$ est-elle injective ? Montrer que l’image de $\Phi$ est l’ensemble des applications $g$ telles que $g \in \varepsilon$, $g’ \in \varepsilon$ et $g(+\infty) = 0$. 14. IV.A – Montrer que pour tout $f \in B$, l’équation différentielle $\mathcal{E}_f$ a une unique solution bornée $f_1$. 15. On munit $B$ de la norme $\|f\|_\infty = \sup_{t\in\mathbb{R}}|f(t)|$. L’application $\Phi$ est-elle continue pour cette norme ?} 16. Soit $L$ (resp. $L_0$) le sous-espace de $B$ des fonctions ayant une limite (resp. une limite nulle) en $+\infty$, $K$ le sous-espace des fonctions constantes. Montrer que $K$ et $L_0$ sont des sous-espaces supplémentaires de $L$. Montrer que ces sous-espaces sont stables par $\Phi$. 17. IV.D – Montrer, à l’aide du III.D, que pour tout $f \in L$, la suite $(f^n)$ converge uniformément sur tout intervalle $[a,+\infty[$ vers une constante que l’on précisera (couper l’intervalle d’intégration en exprimant que $f$ a une limite en $+\infty$). 18. IV.E – Montrer que l’application linéaire $\Phi : f \mapsto f_1$ est une injection de $B$ dans le sous-espace des fonctions bornées de classe $C^1$ sur $I$. L’application $x\mapsto x^2\sin(x)$ est-elle dans l’image de $\Phi$ ? Préciser l’image de $\Phi$. 19. V.A – Montrer que pour tout $f \in P$, l’équation différentielle $\mathcal{E}_f$ a une unique solution périodique $f_1$. Cette fonction est-elle somme de sa série de Fourier ? 20. V.B – Quel lien a-t-on entre les coefficients de Fourier complexes $c_k(f)$ et $c_k(f_1)$ ?} 21. Soit $P_0$ le sous-espace de $P$ des $f$ dont la valeur moyenne $c_0(f) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t)\,dt$ est nulle et $K$ le sous-espace des fonctions constantes. Montrer que $K$ et $P_0$ sont des sous-espaces supplémentaires de $P$. Montrer que pour tout $f \in P$, la suite $(f^n)$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$ vers une constante que l’on précisera. 22. V.D – Montrer que l’application linéaire $\Phi : f \mapsto f_1$ est une bijection de $P$ sur le sous-espace des fonctions $2\pi$-périodiques de classe $C^1$. 23. V.E – On considère sur $P$ et $P_1$ les normes $N_1$ et $N_2$ suivantes :\\ $N_1(f) = \int_0^{2\pi} |f(t)|\,dt,\qquad N_2(f) = \int_0^{2\pi} |f(t)|^2\,dt$.\\ Les applications $\Phi$ et $\Phi^{-1}$ sont-elles continues pour la norme $N_1$ ? Même question pour la norme $N_2$. 24. VI.A – Soit une famille de nombres réels distincts $\xi_0,\ldots,\xi_d$. Pour tout $f \in FP_d$, on pose $N_\xi(f) = \max_{0 \le i \le d}|f(\xi_i)|$. Montrer que c’est une norme sur $FP_d$. 25. VI.B – Soit $(f_n)$ une suite de fonctions polynomiales de $FP_d$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes~:\\ (i) la suite $(f_n)$ converge simplement sur $\mathbb{R}$,\\ (ii) la suite $(f_n)$ converge uniformément sur tout compact de $\mathbb{R}$,\\ (iii) il existe $d+1$ nombres réels distincts $\xi_0,\ldots,\xi_d$ tels que, pour tout indice $i$, la suite $(f_n(\xi_i))$ converge,\\ (iv) chacune des suites numériques $(a_{i,n})_{n\in\mathbb{N}}$, $0\le i\le d$, converge.} 26. Pour tout $f \in FP_d$, montrer que l’équation différentielle $\mathcal{E}_f$ a une unique solution dans $FP_d$. On note encore $\Phi : f \mapsto f_1$ ; $\Phi$ est considéré ici comme un endomorphisme de $FP_d$. 27. Pour $f$ fonction polynomiale de degré $d$, on forme la suite de fonctions polynomiales $f^n$ où $f^n = \Phi^n(f)$. Cette suite vérifie-t-elle les conditions équivalentes de VI.B ?}FAQ
Tu vas devoir être à l’aise avec les équations différentielles linéaires (à coefficients constants et variables), connaître les propriétés des fonctions trigonométriques, manipuler la norme uniforme, et bien maîtriser les notions de suite de fonctions, convergence et espace vectoriel de fonctions. Des points bonus si tu as aussi une vision claire de l’analyse fonctionnelle appliquée, du calcul matriciel et des séries de Fourier. Tu trouveras le corrigé complet en débloquant les corrigés sur Prépa Booster.
L’espace vectoriel engendré par cosinus et sinus, c’est tout simplement l’ensemble des fonctions de la forme f(x) = α cos x + β sin x, avec α et β réels. C’est une base très utile en analyse (et dans les sujets type Centrale), car toute fonction périodique peut se décomposer sur cette base via les coefficients de Fourier, ce qui facilite l’étude de nombreux problèmes, notamment ceux faisant intervenir des opérateurs ou transformations.
La norme infinie (ou norme suprême), notée ||f||_∞, représente le maximum des valeurs absolues prises par une fonction. Elle sert à contrôler la « taille » des fonctions, qu’on parle de bornitude ou de convergence uniforme. C’est crucial quand tu dois prouver la stabilité, la convergence d’une suite de fonctions, ou démontrer la continuité d’un opérateur (comme ici avec Φ). Ces notions reviennent fréquemment en concours Centrale, donc maîtrise-les bien !
Les suites de fonctions interviennent souvent dans les questions de stabilité ou de point fixe d’une application linéaire, que ce soit dans un cadre général ou dans un espace donné. Ici, tu dois jongler entre convergence simple, convergence uniforme (sur les compacts), et convergence vers une fonction ou une constante. Pour bien t’en sortir, pense à utiliser les critères de convergence adaptés à la norme utilisée et à bien exploiter la structure de l’espace fonctionnel (espace de fonctions bornées, polynomiales ou périodiques).
Dans ce type de sujet, tu croises souvent des sous-espaces vectoriels stables par application d’un opérateur (comme Φ). Démontrer la stabilité, c’est montrer que si tu pars d’une fonction du sous-espace, tu y restes après application de l’opérateur. Cela s’illustre bien pour les espaces de fonctions constantes, à limite nulle à l’infini, ou périodiques. Comprendre ça te permet de bien saisir la structure de l’ensemble des solutions, et d’aller plus vite dans les preuves.
Au cœur du sujet, tu trouves des équations différentielles linéaires du premier ordre, à coefficients constants ou variables. Maîtriser leurs solutions générales — et en particulier savoir isoler les solutions bornées, périodiques, polynomiales, ou ayant une certaine limite — t’aide à comprendre la dynamique des opérateurs présentés. C’est également une compétence incontournable pour réussir les écrits de Centrale en MP.
Dès que tu t’aventures dans l’analyse des fonctions périodiques (ici via l’espace des fonctions périodiques P), la série de Fourier devient un outil indispensable. Elle permet de relier la solution périodique d’une équation différentielle linéaire à ses coefficients de Fourier, qu’il faut savoir manipuler pour examiner la convergence, l’unicité des solutions ou la compatibilité avec une application donnée. Les concours raffolent de ce genre de passage en base orthonormée !
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