Questions du sujet
1. a) Vérifier que si une suite est à décroissance exponentielle alors elle est à décroissance rapide. 2. b) Vérifier que les ensembles $E_{\infty}$ et $E_{\exp}$ sont des sous-espaces vectoriels de $\mathcal{C}([-1,1], \mathbb{C})$. Quelle relation d’inclusion existe-t-il entre ces deux sous-espaces ? 3. c) \begin{enumerate} \item[i)] Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $[-1,1]$ dont toutes les dérivées sont bornées sur $[-1,1]$ par un même réel $M$. Montrer que $f \in E_{\exp}$. \item[ii)] Donner des exemples de fonctions de $E_{\exp}$. \end{enumerate} 4. I.A.1) Montrer que $x \mapsto \cos(n \arccos x)$ est une fonction polynomiale à coefficients entiers. Le polynôme associé est encore noté $T_n$ et s’appelle le $n^{\text{ème}}$ polynôme de Tchebychev. 5. I.A.2) Expliciter $T_0$, $T_1$, $T_2$ et $T_3$.} 6. I.A.3) Montrer que pour tout $n$, $T_{n+2}(x) = 2x T_{n+1}(x) – T_{n}(x)$. 7. I.A.4) En déduire la parité, le degré et le coefficient dominant de $T_n$. 8. I.A.5) Écrire un algorithme pour calculer $T_n(x)$.\\ On pourra employer le langage de programmation associé au logiciel de calcul formel utilisé ou un langage naturel non ambigu. 9. I.A.6) Montrer que, pour tout $t \in [0,\pi]$, $T_n(\cos t) = \cos(nt)$. 10. I.B.1) Calculer $\|T_n\|_{\infty}$.} 11. I.B.2) Montrer que $\|T_n’\|_{\infty} = n^2$. 12. I.B.3) En déduire que $\|T_n’\|_{\infty} = n^2$. 13. I.C.1) Montrer que, $\forall x \in [1, +\infty[$,\quad $T_n(x)\leq \left( x+\sqrt{x^2-1} \right)^n$. 14. I.C.2) Soit $r \in \mathbb{R}^*$. \begin{enumerate} \item[a)] Montrer qu’il existe $x_r \in [1, +\infty[$, tel que $T_n(x_r) = \left( x_r+\sqrt{x_r^2-1} \right)^n$. \item[b)] En déduire que $T_n(r) = \dfrac{r+\sqrt{r^2-1}}{2}^n + \dfrac{r – \sqrt{r^2-1}}{2}^n$ pour $x \in [1, +\infty[$. \end{enumerate} } 15. I.D.1) En dérivant l’égalité valable pour tout réel $t$,\\ trouver une équation différentielle linéaire homogène du second ordre vérifiée sur $\mathbb{R}$ par $T_n$.} 16. I.D.2) Soit $r \in \mathbb{R}^*$. Déduire de la question I.D.1 que\\ $T_n(r) = \sum_{k=0}^{[n/2]} \dfrac{n}{n-k} \binom{n-k}{k} (r-1)^{k} r^{n-2k}$. Montrer que $T_n(x) = \sum_{k = 0 }^{[n/2]} \dfrac{n}{n-k} \binom{n-k}{k} (x-1)^k x^{n-2k}$. 17. II.A.1) Résoudre sur $[1,+\infty[$ l’équation $T_n(x)=1$ et calculer pour $T_n$ et $T_n’$, pour $x \in [1,+\infty[$ puis pour $x \in [-1,1]$. 18. II.A.2) Montrer que $T_n(x)$ ($x \in [1,+\infty[)$ peut s’écrire sous la forme $\sum_{i=0}^n L_i(x)$. 19. II.A.3) On suppose que $P\in\mathbb{C}_n[X]$. Montrer que $|P(x)| \leq \| P \|_\infty \left( x + \sqrt{x^2-1}\right)^n$ pour $x \in [1,+\infty[$. 20. II.A.4) Soit $P$ un polynôme appartenant à $\mathbb{C}_n[X]$. Montrer que $|P(x)| \leq \| P \|_\infty \left( x+\sqrt{x^2-1}\right)^n$, $x \in [1,+\infty[$.} 21. II.B.1) On suppose que $P\in\mathbb{C}_n[X]$. Montrer que : $|P^{(k)}(x)| \leq \frac{n!}{(n-k)!} (x+\sqrt{x^2-1})^{n-k}\|P\|_\infty$ pour $x \in [1,+\infty[$, $k \in \{1, \dots,n\}$. 22. II.B.2) Soit $P\in\mathbb{C}_n[X]$. Montrer que : $|P^{(k)}(x)| \leq \frac{n!}{(n-k)!} 2^k \|P\|_\infty$, $x \in [-1,1]$, $k \in \{1,\dots,n\}$. 23. II.C.1) Soit $P \in \mathbb{C}_n[X]$, $k \in \{1, \dots, n\}$. On pose $P_\lambda(x) = \frac{P(\lambda) + P(-\lambda)}{2} + \frac{P(\lambda) – P(-\lambda)}{2} \frac{x}{\lambda}$ si $\lambda \neq 0$ et $\epsilon = 1$ si $\lambda \in [0,1]$, $\epsilon = -1$ si $\lambda \in [-1,0[$. \\ Montrer que $|P^{(k)}(\lambda)| \leq 2^k k! \frac{n!}{(n-k)!} \|P\|_\infty$. 24. II.C.2) En déduire que $\|P’\|_\infty \leq 2n^2 \|P\|_\infty$. 25. II.C.3) Montrer que : $\| P^{(k)} \|_\infty \leq 2^{k} \frac{n!}{(n-k)!} \|P\|_\infty$ et que, si $k=1$, on a la majoration plus fine $\|P’\|_\infty \leq 2 n^2 \|P\|_\infty$.} 26. III.A.1) On suppose que la série $\sum_{k\in\mathbb{Z}} c_k(\varphi) e_k$ converge. Montrer que la suite $S_n(\varphi)$ converge uniformément sur $[-\pi, \pi]$ vers $\varphi$. 27. III.A.2) Soit $\mathcal{C}_{2\pi}$ muni de la norme quadratique $N_2$. On rappelle que $S_n(\varphi)$ est la projection orthogonale de $\varphi$ sur $\tau_n$. En déduire que : $\| \varphi – S_n(\varphi) \|_{N_2} \rightarrow 0$. 28. III.A.3) On suppose que la fonction $\varphi$ est de classe $C^p$ sur $\mathbb{R}$, avec $p\ge1$. Montrer que : $\sup_{k\in\mathbb{Z}^*}|c_k(\varphi)| \leq \frac{\| \varphi^{(p)} \|_\infty}{|k|^p}$. 29. III.B) Montrer que l’application $L: \mathcal{C}([-1,1],\mathbb{C}) \to \mathcal{C}_{2\pi}$ définie par $Lf(t) = f(\cos t)$ est injective et calculer la norme subordonnée de $L$ lorsque l’on munit $\mathcal{C}([-1,1],\mathbb{C})$ de la norme $N_\infty$ puis la norme subordonnée de $L$ lorsque l’on munit $\mathcal{C}_{2\pi}$ de la norme $N_2$. 30. III.C.1) Vérifier que $c_{-k}(Lf) = c_k(Lf)$.} 31. III.C.2) Soit $(Q_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de polynômes telle que pour tout $n$, $Q_n \in \mathbb{C}_n[X]$ et $\|f-Q_n\|_\infty \to 0$. Montrer que : $c_k(Lf) = \lim_{n\to\infty} c_k(LQ_n)$, $k\in\mathbb{N}$. 32. III.C.3) Pour tout entier $n$, on pose : $U_n(f)(x) = S_n(Lf)(\arccos x)$. Montrer que : $U_n(f)(x) = c_0(Lf)/2 + \sum_{k=1}^n c_k(Lf) T_k(x)$. 33. III.C.4) On suppose que la série $\sum_{k\ge1} c_k(Lf)$ converge. Montrer que : $\| f – U_n(f) \|_\infty \leq 2 \sum_{k=n+1}^\infty |c_k(Lf)|$. 34. III.D.1) Montrer que la suite $\big(c_n(Lf)\big)_{n}$ est à décroissance rapide pour $f\in E_\infty$. 35. III.D.2) Montrer que : $\forall x\in[-1,1],\quad f(x) = \frac{c_0(Lf)}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} c_n(Lf) T_n(x)$ et que la série de fonctions converge normalement sur $[-1,1]$.} 36. III.D.3) En déduire que $f$ est de classe $C^\infty$ sur $[-1,1]$ et que : $\forall k\in\mathbb{N}, \forall x\in[-1,1],\quad f^{(k)}(x) = 2 \sum_{n=1}^{+\infty} c_n(Lf) T_n^{(k)}(x)$. 37. III.E.1) Montrer que pour $f\in C^\infty([-1,1])$, la suite $\big( c_n(Lf) \big)_n$ est à décroissance rapide. 38. III.E.2) En déduire que $C^\infty([-1,1]) \subset E_{\infty}$. 39. IV.A.1) Soit $f \in E_{\exp}$. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes~: \begin{enumerate} \item[a)] $f \in E_{\exp}$. \item[b)] La suite $\left( c_n(Lf) \right)_{n\in\mathbb{N}}$ est à décroissance exponentielle. \end{enumerate} 40. IV.B.1) Soit $f\in E_{\exp}$. Il existe donc un réel $r \in ]0,1[$ tel que $|c_n(Lf)| \leq Mr^n$. Justifier que~:\\ $f(x) = \frac{c_0(Lf)}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} c_n(Lf) T_n(x)$, $x\in[-1,1]$,\\ que la série de fonctions converge normalement sur $[-1,1]$, que $f$ est de classe $C^\infty$ sur $[-1,1]$ et que~:\\ $\forall k\in\mathbb{N},\ \forall x\in[-1,1],\ f^{(k)}(x) = 2\sum_{n=1}^{+\infty} c_n(Lf) T_n^{(k)}(x)$. } 41. IV.B.2) En déduire que $\forall k\in\mathbb{N},\ \|f^{(k)}\|_\infty \leq 2M \frac{k!}{(\lambda(r))^k}$, avec $\lambda(r) = \frac{4r}{(1-r)^2}$. 42. IV.C) Montrer que la série de Taylor : \[ \sum_{n \geq 0} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \] de $f$ au point $a$ converge vers $f(x)$ sur le voisinage du point $a$. 43. IV.D) Montrer que la fonction définie par $f(x)=\exp\left(-\frac{1}{x^2}\right)$ pour $x\neq 0$, $f(0)=0$ appartient à $E_{\infty}$ mais n’appartient pas à $E_{\exp}$. 44. IV.E) Soit $f$ à valeurs réelles ou complexes développable en série entière sur un intervalle ouvert $]-\rho,\rho[$, avec $\rho>1$. Montrer que la restriction de $f$ au segment $[-1,1]$ appartient à $E_{\exp}$.}FAQ
En maths, une suite à décroissance exponentielle, c’est une suite dont les termes décroissent au moins aussi vite qu’une puissance de r<1, donc très rapidement. Une décroissance rapide est une notion plus générale : la suite décroît plus vite qu’une inverse de n^p, pour tout p. En clair, toute suite à décroissance exponentielle est donc à décroissance rapide, mais l’inverse n’est pas forcément vrai. Ces notions sont souvent utilisées dans l’étude des séries de Fourier ou de polynômes, comme les Tchebychev dans ce sujet Centrale MP 2002.
Les polynômes de Tchebychev interviennent dès qu’on touche à l’approximation polynomiale, au calcul numérique ou à l’analyse des fonctions sur des intervalles compacts. Leur structure très régulière, leurs propriétés de majoration et de récurrence, en font des outils puissants pour contrôler l’erreur d’approximation ou construire des familles orthogonales. C’est pile dans l’esprit du programme MP et des concours type Centrale : maîtriser outils et raisonnements transversaux, pour attaquer des problèmes d’analyse avancée.
Quand tu bosses sur des problèmes d’analyse ou de séries de fonctions, c’est capital de manipuler des espaces où les propriétés de convergence, de différentiabilité sont maîtrisées. $E_\infty$ (décroissance rapide) et $E_\exp$ (décroissance exponentielle) te donnent justement des cadres contrôlés pour faire de l’analyse de Fourier ou manipuler des séries de Tchebychev. Ce sont des outils incontournables pour établir des développements en séries bien convergentes, prouver la régularité d’une fonction, ou majorer ses dérivées. Pour voir des méthodes types et lire des corrigés détaillés, n’hésite pas à débloquer les corrigés sur Prépa Booster.
Dans ce sujet, tu retrouves la connexion classique : en posant $Lf(t) = f(\cos t)$, les développements en polynômes de Tchebychev sur $[-1,1]$ correspondent à des développements en séries de Fourier sur $[-\pi, \pi]$. Cela permet de transférer les propriétés des séries de Fourier (convergence, décroissance des coefficients, projections orthogonales, etc.) vers des développements polynomiaux adaptés à l’intervalle $[-1,1]$. Cette technique est un pilier pour l’analyse de fonctions réelles — et c’est typique des sujets de concours en MP, Centrale ou Mines.
La convergence uniforme te garantit que l’approximation d’une fonction par une suite de polynômes ou de fonctions respecte l’ordre de grandeur de l’erreur partout sur l’intervalle d’étude. C’est crucial pour passer les limites sous le signe intégral ou dérivation, pour justifier l’échange de limites, ou garantir la régularité de la limite. Dans ce sujet Centrale MP 2002, c’est notamment la condition de convergence normale ou uniforme qui te permet de conclure à la régularité ou l’égalité avec une série entière ou un développement en polynômes.
Oui, c’est indispensable ! Les sujets de Centrale MP mobilisent très souvent l’écriture en série entière, la reconnaissance de domaines de convergence, et l’interprétation des coefficients (dérivées, régularité, analyticit…). Savoir passer d’un développement en série entière à des bornes sur les dérivées ou des propriétés d’extension analytique, c’est le pain quotidien des épreuves et des corrigés attendus. Si tu veux t’entraîner sur ces notions, pense à t’abonner à Prépa Booster pour retrouver des corrigés d’annales détaillés et des exos progressifs.
Oui, il n’est pas rare de tomber sur une question où l’on doit expliciter un algorithme (récurrence, calcul de polynômes, etc.). Ce n’est jamais une question de code pur, mais plutôt de conception algorithmique : savoir expliciter une méthode de calcul efficace pour un objet mathématique (comme $T_n(x)$ dans ce sujet), justifier la correction et parfois l’implémenter sur un langage simple ou en pseudo-code. C’est typique des sujets de concours scientifique qui veulent vérifier que tu es capable de concrétiser un résultat théorique dans un cadre calculatoire.
Les fonctions appartenant à $E_{\\exp}$ sont typiquement celles qui sont analytiques sur un voisinage de $[-1,1]$, c’est-à-dire développables en série entière convergente un peu plus loin que $[-1,1]$ (par exemple exponentielle, fonctions trigonométriques, polynômes, etc.). $E_{\\infty}$ est plus large : on y trouve toutes les fonctions $C^{\\infty}$, même des fonctions lisses qui ne sont pas analytiques (ex : $f(x) = \\exp(-1/x^2)$ sur $[-1,1]$ avec $f(0)=0$).