Questions du sujet
1. I.1.1 \textbf{Enoncer les propriet\’ es de la sph\` ere unit\’ e $\Omega_n$ ainsi que celles de la fonction $q_A$ qui permettent d’affirmer que $q_A$ est born\’ee sur $\Omega_n$ et qu’elle atteint ses bornes.}\\On note $m_A = \min(q_A(\Omega_n))$ et $M_A = \max(q_A(\Omega_n))$. 2. I.1.2 \textbf{Démontrer que $\mathbb{R} \cap \mathrm{sp}(A) \subset [m_A, M_A]$.} 3. I.1.3 \textbf{Expliciter $\mathrm{sp}(A)$, $m_A$ et $M_A$ lorsque $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.}\\On pourra remarquer que $\Omega_2 = \{(\cos(\theta),\sin(\theta))\,|\,\theta\in \mathbb{R}\}$. 4. I.2.1 \textbf{Montrer que $q_A(y)=0$ pour tout $y \in \mathbb{R}^n$ si $q_A(x) = 0$ pour tout $x \in \Omega_n$.} 5. I.2.2 \textbf{Si $(y,z) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$, exprimer $q_A(y+z)$ (qui est nul d’apr\`es I.2.1.) en fonction de $\langle Ay | z\rangle$ et $\langle Az | y\rangle$.}} 6. I.2.3 \textbf{Montrer que la matrice $A$ est anti-sym\’etrique (c’est-\`a-dire que $A^t = -A$)} (entre autre m\’ethode, on pourra par exemple consid\’erer les vecteurs $y$ et $z$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^n$). 7. I.3 \textbf{Soit $A\in\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Montrer que : $(\forall x\in\Omega_n\ , \ q_A(x)=0)\iff (A=0)$ (matrice nulle).} 8. I.4 \textbf{Montrer que l’application $N:\mathcal{S}_n(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^+$ d\’efinie par $N(A) = \sup_{x\in\Omega_n} |q_A(x)|$ est une norme.} 9. I.5.1 \textbf{Préciser $q_A(e_k)$ pour tout $k \in \{1,\ldots,n\}.$} 10. I.5.2 \textbf{Soit $x = \sum_{k=1}^n x’_k e_k \in \Omega_n$. Justifier les égalités $\|x\|^2 = \sum_{k=1}^n (x’_k)^2 = 1$, puis exprimer $q_A(x)$ en fonction des valeurs propres $\lambda_k$ de $A$ et des composantes $x’_k$ de $x$.}} 11. I.5.3 \textbf{Retrouver le r\’esultat obtenu en I.1.1 : la fonction $q_A$ poss\`ede un minimum $m_A$ et un maximum $M_A$ sur la sph\`ere unit\’e $\Omega_n$.}\\\textbf{Expliciter $m_A$ et $M_A$ en fonction des valeurs propres de $A$.} 12. I.5.4 \textbf{Montrer que $N(A)=\sup_{x\in\Omega_n}|q_A(x)|=\max_{\lambda\in\mathrm{sp}(A)}|\lambda|$. Établir une in\’egalit\’e entre $|\det(A)|$ et $(N(A))^n$.} 13. I.5.5 \textbf{Exemple :}\\Si $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 1\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$, calculer $\det(A)$ et $N(A)$. 14. II.1.1 \textbf{Montrer que}\\$q_n(x) = \langle H_n x | x\rangle = \sum_{j=1}^n \left(\sum_{k=1}^n \frac{x_k}{j+k-1}\right)x_j = \sum_{1\leq j,k\leq n}\frac{x_k x_j}{j+k-1}$. 15. II.1.2 \textbf{Développer :} $\left(\sum_{k=1}^n x_k t^{k-1}\right)\left(\sum_{j=1}^n x_j t^{j-1}\right)$ où $t$ est une variable r\’eelle.} 16. II.1.3 \textbf{Montrer que} $q_n(x) = \int_0^1 \left(\sum_{k=1}^n x_k t^{k-1}\right)^2 dt$. 17. II.1.4 \textbf{Montrer que :}\\Pour tout $x \in \mathbb{R}^n$, $q_n(x) \geq 0$ et que $q_n(x)=0$ équivaut à $x=0$.\\Que peut-on en déduire concernant les valeurs propres de $H_n$ ? 18. II.2.1 \textbf{Soit $P(t) = \sum_{k=0}^m a_k t^k$ un polynôme à coefficients complexes. Montrer que } \[\int_{-1}^{1} P(t) dt = -i \int_0^\pi P(e^{i\theta}) e^{i\theta} d\theta\] (on pourra expliciter $\int_{-1}^1 t^k dt$ et $-i \int_0^\pi e^{ik\theta}e^{i\theta}d\theta$). 19. II.2.2 \textbf{En gardant les notations introduites en II.1 et en notant $Q(t) = \sum_{k=1}^n x_k t^{k-1}$, montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}^n$,} \[0 \leq q_n(x) = \int_0^1 Q^2(t) dt \leq \int_0^\pi \left|\sum_{k=1}^n x_k e^{i(k-1)\theta}\right|^2 d\theta\] l’inégalité étant stricte pour $x \neq 0$ (on pourra utiliser les résultats obtenus en II.1 et II.2.1). 20. II.2.3 \textbf{Montrer que :}\\$\forall x \in \mathbb{R}^n,\ 0 \leq q_n(x) \leq \pi \|x\|^2$\\l’inégalité étant stricte pour $x \neq 0$.} 21. II.3.1 \textbf{Expliciter $\mu_2$ et $\rho_2$. Montrer que pour tout $n\geq 2$, on a $0 <\mu_n < \rho_n < \pi$.} 22. II.3.2 \textbf{Montrer que $q_n(\Omega_n) = [\mu_n, \rho_n]$.}\\On pourra considérer des vecteurs propres orthogonaux $e_1$ et $e_n$ tels que $H_n e_1 = \mu_n e_1$, $H_n e_n = \rho_n e_n$, $\|e_1\| = \|e_n\| = 1$ et le vecteur $x = \sqrt{1-t}\,e_1 + \sqrt{t}\,e_n$, où $t\in[0,1]$. 23. II.3.3 \textbf{Calculer $\langle H_n \varepsilon_n | \varepsilon_n\rangle$ où $\varepsilon_n$ désigne le vecteur de base canonique :}\\$\varepsilon_n = \begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\1\end{pmatrix}$.\\En déduire la limite de $\mu_n$ lorsque $n \to +\infty$. 24. III.1.1 \textbf{En utilisant le changement de variable $(x, y)=(u^2, v^2)$, montrer que :}\\$I_n \geq 4 J_n$. 25. III.1.2 \textbf{On note :}\\$K_n = \int_1^{\sqrt{n}} \frac{\arctan(x)}{x} dx$ et $L_n = \int_1^{\sqrt{n}} \frac{1}{x} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{n}}\right) dx$.\\Montrer que $J_n = K_n - L_n$.} 26. III.2.1 \textbf{En majorant $\arctan(t)$, montrer que :}\\$0 < L_n \leq 1$. 27. III.2.2 \textbf{Justifier la convergence de l’intégrale} $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} \arctan\left(\frac{1}{x}\right) dx$.\\Montrer que $K_n \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{\pi}{4} \ln(n)$. 28. III.2.3 \textbf{En déduire que $J_n \underset{n\to+\infty}{\sim} \frac{\pi}{4}\ln(n)$.} 29. III.3.1 \textbf{Montrer que $\|a\|^2 \leq 1 + \ln(n)$.}\\avec $a = \begin{pmatrix}1\\\sqrt{1/2}\\\vdots\\\sqrt{1/n}\end{pmatrix}$. 30. III.3.2 \textbf{Montrer que $4J_n \leq q_n(a)$.}} 31. III.3.3 \textbf{En déduire la limite de $N(H_n)$ lorsque $n\to+\infty$.} 32. IV.1 \textbf{(Une fraction rationnelle)}\\ On considère la fraction rationnelle $R_n(x) = \frac{\prod_{k=1}^n(x-k)}{\prod_{k=0}^n(x+k)}$.\\On admettra qu’il existe des réels $\lambda_{0,n},\ldots,\lambda_{n,n}$ tels que :\\ $\forall x \in \mathbb{R} \setminus \{0,\ldots,-n\},\ R_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{\lambda_{k,n}}{x+k}$\\ cette décomposition (en éléments simples) de $R_n$ étant unique.\\ \textbf{Exprimer le coefficient $\lambda_{n,n}$ de $\frac{1}{x+n}$ à l’aide de $(2n)!$ et de $n!$.} 33. IV.2.1 \textbf{Montrer que, pour tout $i$ compris entre $1$ et $n$, on a :}\\ $R_{n-1}(i) = \sum_{j=1}^n \lambda_{j-1, n-1} h_{i,j}$\\ puis en déduire que $\det(A_n) = 2^{n-1} \binom{n-1}{n-1} \det(H_n)$.\\ avec $A_n = ((a_{j,k}))_{1\leq j,k\leq n}$ où : \[ a_{j,k} = \begin{cases} \frac{1}{j+k-1} & \text{pour } 1 \leq k \leq n-1,\\ R_{n-1}(j) & \text{pour } k=n. \end{cases} \] 34. IV.2.2 \textbf{Montrer que $\det(A_n) = \det(H_{n-1})(2n-1)2^{n-1} \binom{n-1}{n-1}$. En déduire l’expression de $\det(H_n)$ en fonction de $\det(H_{n-1})$.} 35. IV.2.3 \textbf{Montrer, pour tout $n \geq 2$, que $\det(H_n) \neq 0$, puis que $\frac{1}{\det(H_n)} \in \mathbb{N}^*$.}} 36. IV.3 \textbf{En notant, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\Phi_n = \prod_{k=1}^n k!$, montrer que :}\\$\forall n \geq 2,\quad \det(H_n) = \frac{\Phi_{n-1}^4}{\Phi_{2n-1}}$.}FAQ
Les matrices symétriques et les formes quadratiques sont omniprésentes en mathématiques et en physique car elles permettent de modéliser de nombreux phénomènes, comme les énergies ou les distances (via les normes) dans différents espaces. Dans un sujet de concours comme le CCINP PSI 2013, comprendre leur lien permet de maîtriser les propriétés spectrales (valeurs propres, orthogonalité), d’appréhender les optimisations et de manipuler efficacement les outils de réduction et de diagonalisation. C’est aussi indispensable pour réussir les exercices sur les normes de matrices !
Les valeurs propres condensent beaucoup d’informations sur une matrice : stabilité, orientation, transformations géométriques… Dans les sujets de type CCINP PSI, on te demande souvent d’exhiber un min ou un max d’une fonction quadratique sur la sphère unité, car ces extrémums correspondent précisément à la plus petite et à la plus grande valeur propre. C’est un concept transversal qui te sert autant en algèbre qu’en physique ou en probabilités !
La matrice de Hilbert illustre parfaitement les liens entre algèbre linéaire et analyse. Pour ce type de questions, il faut bien maîtriser les calculs d’intégrales paramétrées mais aussi savoir reconnaître les formes quadratiques cachées. Analyse leur structure pour détecter les types d’inégalités ou de limites à établir. Les sujets CCINP aiment croiser les domaines, c’est donc l’occasion de montrer ta capacité à mobiliser plusieurs chapitres à la fois. Débloque les corrigés sur Prépa Booster pour avoir une correction détaillée pas à pas sur ces points techniques !
Une matrice symétrique vérifie A = Aᵗ, ce qui garantit la réalité de ses valeurs propres et la diagonalisation orthogonale, avec toutes les applications que cela comporte (formes quadratiques, optimisation, etc.). Une matrice antisymétrique (A = -Aᵗ) a quant à elle des valeurs propres imaginaires pures (ou nulles) et sert notamment à modéliser des rotations ou des transformations sans dilatation dans les applications géométriques. Cette différence fondamentale explique pourquoi il peut y avoir des liens ou, au contraire, des exclusions entre certains types de propriétés en concours.
L’analyse, surtout via les intégrales à paramètres ou les évaluations de limites, permet de confronter l’étudiant à la rigueur et à l’ingéniosité. Dans les sujets CCINP, elles servent souvent à donner une interprétation concrète à des quantités algébriques, à établir des inégalités ou à calculer des grandes valeurs asymptotiques. Pour les réussir, révise bien les changements de variables classiques et entraîne-toi à majorer ou minorer des quantités complexes. Tu trouveras des exercices corrigés et astuces de méthode en débloquant ton dashboard sur Prépa Booster !
La norme associée à une forme quadratique, comme celle définie par N(A) = sup|q_A(x)| sur la sphère unité, permet de comparer l’intensité de ‘l’action’ d’une matrice symétrique sur les vecteurs de norme 1. C’est un concept qui intervient autant en théorie qu’en applications numériques (stabilité, erreurs, optimisation). Savoir la distinguer des normes classiques te donne un coup d’avance sur les exercices difficiles – et c’est un incontournable des sujets de concours, alors n’hésite pas à te familiariser avec cette notion !
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