Questions du sujet
1. I – 1.1.\\ Justifier l’existence de l’intégrale $K = \int_{0}^{+\infty} \frac{1-\cos(t)}{t^2}\,dt$. 2. I – 1.2.\\ Pour tout $A > 0$, justifier l’existence de l’intégrale $D(A) = \int_{0}^{A} \frac{\sin(t)}{t}\,dt$. 3. I – 1.3.\\ Grâce à une intégration par parties, prouver que $D(A)$ a une limite (réelle) quand $A$ tend vers $+\infty$, égale à $K$. C’est-à-dire que : $K = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t}\,dt = \lim_{A \to +\infty} D(A)$. 4. I – 2.1.\\ Justifier que l’application $L : x \mapsto \int_{0}^{+\infty} \frac{1-\cos(t)}{t^2}\, e^{-tx}\,dt$ est définie et continue sur $\mathbb{R}_+$. 5. I – 2.2.\\ Montrer que, pour tout réel $a > 0$, l’application $L$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur l’intervalle $[a, +\infty[$.\\ Établir ensuite que l’application $L$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur l’intervalle $]0, +\infty[$.} 6. I – 2.3.\\ Justifier que les fonctions $t \mapsto \frac{1-\cos(t)}{t^2}$ et $t \mapsto \frac{1-\cos(t)}{t}$ sont bornées sur $]0, +\infty[$.\\ Établir alors que les fonctions $x \mapsto |xL'(x)|$ et $x \mapsto |xL(x)|$ sont majorées sur $\mathbb{R}^*_+$.\\ En déduire que : $\lim_{x \to +\infty} L'(x) = \lim_{x \to +\infty} L(x) = 0$. 7. I – 2.4.\\ Pour tout réel $x > 0$, exprimer $L”(x)$ sans utiliser d’intégrale.\\ On pourra remarquer que $\cos(t) = \operatorname{Re}(e^{it})$. 8. I – 2.5.\\ En déduire $L'(x)$ pour $x > 0$, puis $L(x)$ pour $x > 0$. Conclure que $K = \frac{\pi}{2}$. 9. I – 3.1.\\ Justifier que la fonction $u \mapsto \frac{\ln(u)}{u-1}$ est intégrable sur $]0, 1[$. 10. I – 3.2.\\ Pour tout $k \in \mathbb{N}$, justifier l’existence et calculer $\int_{0}^{1} u^k \ln(u)\,du$.} 11. I – 3.3.\\ Grâce à un développement en série de $\frac{1}{1-u}$ pour $u \in ]0, 1[$ et en précisant le théorème utilisé, justifier que : $\int_{0}^{1} \frac{\ln(u)}{u-1}\,du = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(k+1)^2}$.\\ Par ailleurs, on donne sans avoir à le justifier : $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(k+1)^2} = \frac{\pi^2}{6}$. 12. II – 1.\\ Rappeler avec précision le théorème de convergence dominée. 13. II – 2.1.\\ On considère ici une application continue $f : [0, +\infty[ \to \mathbb{R}$.\\ Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $I_n = \int_{0}^{1} f(t^n)\,dt$. Déterminer $\lim_{n \to +\infty} I_n$. 14. II – 2.2.\\ On suppose ici de plus que $u \mapsto \frac{f(u)}{u}$ est intégrable sur $]0, 1]$.\\ Déterminer $\lim_{n \to +\infty} nI_n$. On pourra transformer $nI_n$ grâce à un changement de variable. 15. II – 2.3.\\ Application 1.\\ Déterminer un équivalent quand $n \to +\infty$ de $\int_{0}^{1} \sin(t^n)\,dt$ (grâce à une intégrale).} 16. II – 3.1.\\ Soit $n \in \mathbb{N}^*$.\\ Grâce à un changement de variable approprié, justifier l’existence de $A_n = \int_{1}^{+\infty} f(t^n)\,dt$. 17. II – 3.2.\\ Déterminer $\lim_{n \to +\infty} nA_n$ (grâce à une intégrale que l’on ne cherchera pas à calculer). 18. II – 4.1.\\ Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $n\geq 2$ et tout $A > 1$, on pose $C_n(A) = \int_{1}^{A} \sin(t^n)\,dt$.\\ Grâce à un changement de variable et une intégration par parties, exprimer $C_n(A)$ en fonction de $\int_{1}^{A^n} \frac{1-\cos(u)}{u^2}\,u^{1/n}\,du$ et de $A$. 19. II – 4.2.\\ En déduire que $C_n(A)$ a une limite quand $A \to +\infty$, prouvant l’existence de $\int_{1}^{+\infty} \sin(t^n)\,dt$ pour tout $n \in \mathbb{N},n\geq 2$. 20. II – 4.3.\\ Application 2.\\ Déterminer $\lim_{n \to +\infty} n\int_{0}^{+\infty} \sin(t^n)\,dt$ grâce à $K$ calculée en I-2.5.} 21. III – 1.1.\\ Pour tout $x \in ]-1, 1[$, calculer $F(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} x^n$ ainsi que $F'(x)$. 22. III – 1.2.\\ Déterminer $\lim_{x \to 1^{-}} F(x)$, $\lim_{x \to 1^{-}} (1-x)F(x)$, $\lim_{x \to 1^{-}} (1-x)F'(x)$ et $\lim_{x \to 1^{-}} (1-x)^2F'(x)$. 23. III – 2.1.\\ Soit $a \in ]0,1[$. Prouver la convergence normale de cette série de fonctions sur le segment $[-a, a]$.\\ En déduire que $F$ est définie et continue sur $]-1, 1[$ où $F(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{1-x^n}$. 24. III – 2.2.\\ Montrer que, pour tout $x \in ]0, 1[$ et tout $n \in \mathbb{N}^*$, on a $\frac{1-x^n}{1-x} \to n$.\\ En déduire $\lim_{x \to 1^{-}} F(x)$ et $\lim_{x \to 1^{-}} (1-x)F(x)$. 25. III – 3.1.\\ Soit $f$ une application réelle continue et croissante sur $[0, 1[$ avec $f(0)=0$ et telle que $u\mapsto \frac{f(u)}{u}$ soit intégrable sur $]0,1[$.\\ Soit $x \in ]0, 1[$.\\ Justifier l’existence de $G(x) = \int_{0}^{+\infty} f(xt)\,dt$ et l’égalité $G(x) = -\frac{1}{\ln(x)}\int_{0}^{1} \frac{f(u)}{u}\,du$.} 26. III – 3.2.\\ Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, justifier l’encadrement : $\int_{n}^{n+1} f(xt)\,dt \leq f(xn) \leq \int_{n-1}^{n} f(xt)\,dt$. 27. III – 3.3.\\ En déduire l’existence de $F(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} f(x^n)$, ainsi qu’un encadrement de $F(x)$ par deux intégrales dépendant de $x$. 28. III – 3.4.\\ Conclure avec soin que : $\lim_{x \to 1^{-}} (1-x) F(x) = \int_{0}^{1} \frac{f(u)}{u}\,du$. 29. III – 4.1.\\ Pour tout $x \in ]-1, 1[$, on pose enfin cette fois : $F(x) = -\sum_{n=1}^{+\infty} \ln(1-x^n)$.\\ Montrer que $F$ est définie et de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]-1, 1[$ et exprimer sa dérivée sous la forme d’une série de fonctions. 30. III – 4.2.\\ Grâce à III-3.4., montrer que $\lim_{x \to 1^{-}} (1-x) F(x) = \int_{0}^{1} \frac{\ln(u)}{u-1}\,du$ étudiée en I-3.} 31. III – 4.3.\\ Par une méthode similaire à celle de III-3., montrer que : \[ \lim_{x \to 1^{-}} \left((1-x)^2 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n x^n}{1-x^n}\right) = \int_{0}^{1} \frac{\ln(u)}{u-1}\,du. \] En déduire $\lim_{x \to 1^{-}} \left((1-x)^2 F'(x)\right)$.}FAQ
Le sujet de mathématiques du CCINP PC 2013 te fait travailler sur l’intégrabilité de fonctions sur des intervalles non bornés, le passage à la limite sous le signe intégrale (avec évolution des bornes ou des paramètres), l’usage de la convergence dominée et les techniques classiques du changement de variables. La convergence de certaines intégrales particulières comme \\(\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt\\) ou l’équivalent asymptotique d’intégrales paramétrées sont classiques en maths sup/spé. Besoin de vérifications ou de détails sur la méthode ? Tu peux débloquer les corrigés pour accéder à toutes les méthodes et astuces employées dans le corrigé détaillé.
Le théorème de convergence dominée est un outil incontournable pour intervertir la limite et l’intégrale, à condition d’avoir une borne majorante intégrable indépendante du paramètre. Dans ce sujet CCINP, il intervient lorsqu’il s’agit de déterminer certaines limites d’intégrales dépendant d’un paramètre (notamment \\(n\\) ou \\(x\\)), et de justifier rigoureusement que l’échange est autorisé. Maîtriser ce théorème et ses conditions d’application est essentiel pour gagner en rigueur sur ce type de questions en concours.
Tu verras dans ce sujet que certaines intégrales sont reliées à des séries via un développement en série de fonctions (comme celui de \\(\frac{1}{1-u}\\) ou par une écriture série des sommes faites apparaître après un changement de variable). Ces liens permettent notamment de relier certaines valeurs d’intégrales à des constantes célèbres comme \\(\pi^2/6\\). Savoir jongler entre ces deux univers (intégrales et séries) est une compétence clé de la prépa. Si tu veux voir des corrigés qui explicitent ces passages et développement, les corrigés détaillés sont disponibles en débloquant l’accès.
Le changement de variable est l’un des outils les plus puissants pour simplifier une intégrale, révéler une structure cachée ou faire apparaître des liens entre des expressions différentes. Dans ce sujet, il permet par exemple de passer de l’étude d’une intégrale en \\(t\\) à une intégrale en \\(u = t^n\\), ce qui aide notamment à l’analyse asymptotique ou à l’étude de la convergence. C’est un réflexe à développer en prépa pour gagner en efficacité sur toutes les intégrales qui sortent des sentiers battus.
Attention à la convergence normale et à l’uniformité lorsque tu manipules des séries de fonctions. Il ne suffit pas qu’une série converge pour chaque point, il faut aussi s’assurer de la convergence uniforme sur l’ensemble étudié (surtout si tu veux échanger somme/intégrale ou somme/dérivation). Le changement abusif de l’ordre des limites ou opérations sans justification font partie des erreurs classiques. Les corrigés disponibles t’aident à bien structurer tes réponses là-dessus.
Pour les équivalents et les développements asymptotiques, il faut toujours justifier la validité des approximations utilisées (par un théorème de convergence approprié, un développement limité, ou une comparaison rigoureuse). Regarde bien où sont les petits paramètres (typiquement les \\(n \\to \\infty\\) ou encore \\(x \\to 1^-\\)) et anticipe l’ordre des limites. Entraîne-toi sur des exercices variés pour éviter les pièges et renforcer ces techniques incontournables du concours !
Ce sujet CCINP PC 2013 est typique : il balaye l’analyse intégrale, la manipulation des séries, les applications rationnelles de la théorie des fonctions et la rigueur des justifications attendues en concours. Il demande de la méthode, de la vigilance dans les passages à la limite, et une bonne maîtrise des grands classiques de prépa. Pour progresser efficacement et cibler les attentes du jury, n’hésite pas à débloquer les corrigés et profiter d’un dashboard personnalisé sur Prépa Booster pour organiser ta révision !