Questions du sujet
1. I.1. Soient $m \in \mathbb{N}$ et $n \in \mathbb{N}$. Donner une expression de $P_n(m)$ à l’aide de factorielles. 2. I.2. Montrer que $f_\alpha$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier. 3. I.3.1. Montrer que $f_\alpha$ est solution de $(E_\alpha)$ sur $\mathbb{R}$. 4. I.3.2. Réciproquement, soit $y$ une solution de $(E_\alpha)$, paire, et développable en série entière de la variable $x$ au voisinage de $x=0$. Exprimer $y$ en fonction de $f_\alpha$ et $y(0)$. 5. I.4.1. Montrer que $g_\alpha$ est solution de $(E_\alpha)$ sur $]0, +\infty[$.} 6. I.4.2. En comparant les limites à droite en $0$ de $f_\alpha$ et $g_\alpha$, montrer que ces fonctions sont linéairement indépendantes dans $\mathcal{C}^2(]0, +\infty[,\mathbb{R})$.\\ En déduire la solution générale de $(E_\alpha)$ sur $]0, +\infty[$. 7. I.4.3. Soit $y$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ sur $]-\infty, 0[$ à valeurs réelles.\\ Montrer que $y$ est solution de $(E_\alpha)$ sur $]-\infty, 0[$ si et seulement si la fonction $x\mapsto y(-x)$ est solution de $(E_\alpha)$ sur $]0, +\infty[$.\\ En déduire la solution générale de $(E_\alpha)$ sur $]-\infty, 0[$. 8. I.5.1. Montrer que $j_\alpha$ est solution sur $]0, +\infty[$ de l’équation différentielle :\\ $(B_\alpha)\quad x^2y”(x) + x y'(x) + (x^2 – \alpha^2) y(x) = 0$.\\ Que peut-on dire de $j_{-\alpha}$ ? 9. I.5.2. En déduire la solution générale de $(B_\alpha)$ sur $]0, +\infty[$ puis sur $]-\infty, 0[$. 10. II.1. Montrer que $h_\alpha$ est définie et de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$.} 11. II.2.1. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$ on a\\ $x h_\alpha”(x) + x h_\alpha(x) = \int_0^1 (1 – t^2)^{\alpha + \frac{1}{2}} x \cos x t \, dt$. 12. II.2.2. À l’aide d’une intégration par parties, en déduire que $h_\alpha$ est solution de $(E_\alpha)$ sur $\mathbb{R}$. 13. II.3. Montrer que $h_\alpha$ est développable en série entière de $x$ sur $\mathbb{R}$, et que l’on a :\\ $\forall x \in \mathbb{R}, \; h_\alpha(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^n I_n(\alpha)x^{2n}}{(2n)!}$,\\ où $I_n(\alpha) = \int_0^1 (1-t^2)^{\alpha-\frac{1}{2}} t^{2n} dt$. 14. II.4. Exprimer $h_\alpha$ en fonction de $h_\alpha(0)$ et $f_\alpha$. 15. II.5. En déduire pour tout $n \in \mathbb{N}$ une expression de $I_n(\alpha)$ en fonction de $n$, $P_n(\alpha)$ et $I_0(\alpha)$.} 16. III.1. Montrer que pour tout $(r, \theta) \in ]0, +\infty[ \times \mathbb{R}$ on a :\\ $\Delta F(r\cos\theta, r\sin\theta) = \frac{\partial^2 \widetilde{F}}{\partial r^2}(r, \theta) + \frac{1}{r} \frac{\partial \widetilde{F}}{\partial r}(r,\theta) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 \widetilde{F}}{\partial \theta^2}(r,\theta)$. 17. III.2.1. Montrer que $g$ est $2\pi$-périodique. 18. III.2.2. Montrer qu’il existe un nombre réel $\lambda$ tel que l’on ait simultanément :\\ (i) $\forall r \in ]0, +\infty[, \; r^2 f”(r) + r f'(r) + (r^2 \omega^2 – \lambda) f(r) = 0$,\\ (ii) $\forall \theta \in \mathbb{R}, \; g”(\theta) + \lambda g(\theta) = 0$. 19. III.2.3. Déduire de la question III.2.1. que le nombre réel $\lambda$ est nécessairement de la forme $\lambda = p^2$, avec $p \in \mathbb{N}$. 20. III.2.4. En déduire la forme générale de $g$.\\ On distinguera le cas où $p = 0$ et le cas où $p \neq 0$.} 21. III.3.1. Déterminer la forme générale de $f$ dans le cas où $p = 0$ (on suppose dans cette question que $\omega = 0$). 22. III.3.2. Déterminer la forme générale de $f$ dans le cas où $p \neq 0$ (on suppose dans cette question que $\omega = 0$).\\ On pourra commencer par chercher les fonctions $f$ qui sont de la forme $f(r) = r^\alpha$. 23. III.4. On suppose dans cette question que $\omega \neq 0$.\\ Soit $f_1$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f_1(r) = f \left( \frac{r}{\omega} \right )$.\\ Montrer que $f_1$ est solution sur $]0, +\infty[$ de l’équation différentielle\\ $(B_p)\quad r^2 y”(r) + r y'(r) + (r^2 – p^2)y(r) = 0$.}FAQ
Pour ce sujet spécifique du concours CCINP 2006 en filière PC, tu dois parfaitement maîtriser les équations différentielles linéaires du second ordre, les séries entières, les intégrales paramétriques, ainsi que la transformation de coordonnées polaires et le laplacien. Il y a aussi un volet sur les fonctions développables en série entière et sur l’indépendance linéaire de solutions. Se familiariser avec ces notions te donnera des bases solides pour aborder sereinement l’épreuve.
Les équations différentielles dites ‘de Bessel’ apparaissent sous la forme : x²y” + x y’ + (x² – α²)y = 0. On retrouve souvent ces équations dans la physique (ondes, mécanique quantique, etc.), et savoir les identifier est essentiel. Pour les résoudre, pense à chercher des solutions en série entière ou à utiliser les propriétés des fonctions de Bessel, comme leurs symétries et leur développement en série. Les corrigés détaillés de Prépa Booster te guident pas à pas sur ce type d’approche.
L’essentiel, c’est de bien comprendre d’où proviennent les intégrales paramétriques, comment elles interviennent dans des développements en série, et comment utiliser l’intégration par parties. Pour t’entraîner, reprends les exercices classiques où tu développes des fonctions définies via une intégrale dépendant d’un paramètre, comme c’est le cas dans ce sujet. Et si tu veux t’améliorer en profondeur, débloque les corrigés sur Prépa Booster : tu y trouveras, pour chaque question, le raisonnement détaillé, les astuces et des conseils pour progresser plus vite.
Changer de variable pour passer aux coordonnées polaires simplifie énormément le traitement du Laplacien pour les fonctions à symétrie radiale, ce qui revient souvent dans la modélisation physique. Dans le contexte du concours CCINP, ces outils servent à relier analyse, géométrie et applications pratiques. Savoir effectuer ce genre de changements est une compétence réutilisable à l’oral comme à l’écrit.
C’est une question de structure des solutions ! Pour une équation différentielle linéaire, établir l’indépendance linéaire des solutions permet d’écrire toute solution générale comme une combinaison linéaire de solutions particulières. C’est fondamental en mathématiques appliquées et en physique. Maîtrise cette technique : elle t’épargne temps et erreurs lors du concours.
Souvent, on oublie de vérifier le domaine de définition des fonctions ou des solutions (comme ici avec les intervalles ouverts autour de zéro), de bien prendre en compte la parité (fonctions paires/impaires), ou de contrôler la validité d’une expression développée en série entière. Prends aussi garde aux conditions de régularité demandées, comme l’appartenance à C² ou la convergence d’intégrales. Un tour dans les corrigés de Prépa Booster te permettra de repérer ces pièges sur des cas concrets !
En mathématiques, c’est le raisonnement détaillé qui fait la différence. Pour chaque sujet, lis d’abord l’énoncé, essaye de chercher seul, puis consulte les corrigés pour chaque étape, en te concentrant sur la logique mise en avant : justification des passages, astuces de rédaction, liens entre méthodes. Sur Prépa Booster, tu trouveras aussi des astuces de méthode et un dashboard personnalisé pour suivre tes progrès et cibler tes révisions sur tes faiblesses.