Questions du sujet
1. Démontrer que pour $A \in M_3(\mathbb{R})$, $C(A)$ est un espace vectoriel. 2. Démontrer, en détaillant, que la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 0 & 6 & -3 \\ -1 & 4 & 0 \end{pmatrix}$ est semblable à la matrice $T = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$. Pour cela, on donnera une matrice de passage que l’on notera $P$. 3. Déterminer le commutant $C(T)$ de la matrice $T$. Déterminer sa dimension. 4. Démontrer que l’application $M \mapsto P^{-1}MP$ est un automorphisme d’espaces vectoriels de $M_3(\mathbb{R})$.\\ Que peut-on en déduire pour la dimension de $C(A)$ ? 5. (a) Existe-t-il un polynôme annulateur de $A$ de degré inférieur ou égal à $2$ ?\\ (b) Démontrer alors que $C(A) = \operatorname{vect}\{I_3, A, A^2\}$.\\ (c) En déduire que $C(A)$ est l’ensemble des polynômes en $A$.\\ Ce résultat reste-t-il vrai pour toute matrice $A \in M_3(\mathbb{R})$ ?} 6. On rappelle qu’une matrice $S$ appartient à $S_n^+$, si $S$ appartient à $S_n$ et si, pour toute matrice $X \in M_{n,1}(\mathbb{R})$, on a $^tX S X \geq 0$.\\ Démontrer qu’une matrice $S$ de $S_n$ est élément de $S^+_n$ si et seulement si toutes les valeurs propres de $S$ sont positives. 7. Soit $S \in S^+_n$. Démontrer que $\sqrt[n]{\det S} \leq \frac{1}{n} \operatorname{trace} S$. 8. Application : soit $M \in M_n(\mathbb{R})$.\\ (a) Démontrer que $^tM M \in S^+_n$.\\ (b) Si $M = (m_{ij})$, en déduire l’inégalité $(\det M)^2 \leq \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n m_{ij}^2\right)^n$. 9. On se donne deux matrices $A \in S^{++}_n$ et $B \in S_n$. On note $\mathcal{B}$ la base canonique de $\mathbb{R}^n$ et, dans cette base, $A$ est la matrice d’un produit scalaire $\varphi$. On note l’espace euclidien $E = (\mathbb{R}^n, \varphi)$.\\ Soit $\mathcal{B}’$ une base orthonormée de $E$ et $R$ la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ vers la base $\mathcal{B}’$.\\ (a) Justifier que $I_n = {}^t R A R$.\\ (b) On note $C = {}^t R B R$, justifier qu’il existe une matrice orthogonale $Q$ et une matrice diagonale $D$ telle que ${}^t Q C Q = D$.\\ (c) Déterminer, en fonction des matrices $R$ et $Q$, une matrice inversible $P$ telle que : $A = {}^t P P$ et $B = {}^t P D P$ (théorème de réduction simultanée)\\ (d) Dans cette question, on prend l’exemple de la matrice $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.\\ Démontrer qu’une matrice inversible $P$ telle que la matrice ${}^t P B P$ soit diagonale n’est pas nécessairement une matrice orthogonale.\\ On pourra, par exemple, utiliser la forme quadratique canoniquement associée à la matrice $B$. 10. Démontrer l’inégalité $\det(A + B) \geq \det A + \det B$ dans les deux cas suivants :\\ (a) $A \in S^{++}_n$ et $B \in S^+_n$, en utilisant le théorème de réduction simultanée. On pourra remarquer ici que, avec tous les $\lambda_i \geq 0$, $\prod_{i=1}^n (1+\lambda_i) \geq 1 + \prod_{i=1}^n \lambda_i$.\\ (b) $A \in S^+_n$ et $B \in S^+_n$, en démontrant d’abord que $A + B \in S^+_n$ et en considérant les cas où les matrices sont dans $S^+_n$ sans être dans $S^{++}_n$.} 11. Soient $A$ et $B$ deux matrices de $S^{++}_n$ et $t \in [0,1]$. On note $P$ une matrice inversible et $D = \text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)$ une matrice diagonale dans le théorème de réduction simultanée.\\ (a) Exprimer $\det(tA+(1-t)B)$ en fonction de $\det P$, $t$ et les $\lambda_i$.\\ (b) En utilisant la fonction $\ln$, démontrer que pour tout $i$ entier compris entre $1$ et $n$, $t + (1-t)\lambda_i \geq \lambda_i^{1-t}$.\\ (c) Démontrer que $\det(tA + (1-t)B) \geq (\det A)^t (\det B)^{1-t}$. 12. Si $A$ est une matrice de $S^{++}_n$ et $B$ une matrice de $S^+_n$, on démontre de même par le théorème de réduction simultanée (par la convexité de la fonction $x \mapsto \ln(1+e^x)$) le résultat suivant qui est admis :\\ $(\det(A+B))^{1/n} \geq (\det A)^{1/n} + (\det B)^{1/n}$.\\ (a) Démontrer que $S^{++}_n$ est dense dans $S^+_n$.\\ (b) Démontrer l’inégalité ci-dessus pour $A$ et $B$ deux matrices de $S^+_n$. 13. Si $A$ est une matrice de $S^{++}_n$, il est possible, par le procédé d’orthonormalisation de Schmidt, de trouver une matrice triangulaire supérieure inversible à coefficients diagonaux positifs $T$, vérifiant $A = {}^t T T$ (décomposition de Choleski).\\ On ne demande pas de prouver ce résultat.\\ (a) On se propose de démontrer que cette matrice $T$ est unique.\\ Si on pose $A = {}^t T_1 T_1 = {}^t T_2 T_2$, démontrer que $T_1 T_2^{-1} = I_n$ et conclure.\\ On pourra admettre que si $\mathcal{T}$ est l’ensemble des matrices triangulaires supérieures inversibles de $M_n(\mathbb{R})$, $(\mathcal{T}, .)$ est un groupe.\\ (b) Exemple : si $A = (a_{ij})$, où pour tout couple $(i,j)$ d’entiers compris entre $1$ et $n$, $a_{ij} = \min(i,j)$, donner la décomposition de Choleski de la matrice $A$.\\ On ne demande pas de vérifier que $A$ est une matrice de $S^{++}_n$. 14. Pour une matrice $A$ de $S^{++}_3$, écrire un algorithme en français permettant de trouver la matrice $T$ de la décomposition de Choleski.\\ Entrer cet algorithme dans la calculatrice (on ne demande pas le programme sur la copie) puis, pour chacun des cas suivants, donner la matrice $T$ :\\ $A_1 = \begin{pmatrix} 49 & 14 & -14 \\ 14 & 20 & -8 \\ -14 & -8 & 21 \end{pmatrix}$, $A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{3}{4} \end{pmatrix}$,\\ $A_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ -2 & -1 & 6 \end{pmatrix}$ et $A_4 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 20 & 26 \\ 3 & 26 & 70 \end{pmatrix}$. 15. Soit $S = (s_{ij}) \in S^{++}_n$, démontrer que $\det S \leq \prod_{i=1}^n s_{ii}$.\\ Application : démontrer que pour toute matrice inversible $M \in M_n(\mathbb{R})$, $M = (a_{ij})$, $|\det M| \leq \prod_{i=1}^n \left(\sum_{k=1}^n a_{ki}^2\right)^{1/2}$.}FAQ
Le commutant d’une matrice A, noté C(A), est l’ensemble des matrices qui commutent avec A. Il s’agit d’un sous-espace vectoriel fondamental pour comprendre la structure de A (diagonalisation, réduction, etc). Dans les épreuves comme celles du CCINP en filière MP, savoir déterminer et exploiter C(A) permet notamment d’approfondir la compréhension des matrices, de travailler la théorie des invariants, et de résoudre de nombreux exercices classiques et modernes. D’ailleurs, si tu veux voir comment tirer parti de cette notion dans des sujets concrets, il suffit de débloquer les corrigés sur Prépa Booster !
La réduction simultanée permet de simplifier l’étude de deux formes bilinéaires symétriques en les amenant, via un changement de base adapté, à des formes plus simples – généralement des matrices diagonales. C’est l’un des outils les plus puissants pour comprendre l’interaction entre deux espaces dotés de structures différentes. En concours (CCINP, Mines, Centrale, etc.), maîtriser la réduction simultanée t’aide à résoudre des problèmes qui touchent à la géométrie, aux produits scalaires, aux valeurs propres et aux applications variées (optimisation, analyse, etc).
La décomposition de Cholesky permet d’écrire toute matrice symétrique définie positive sous la forme TᵗT, où T est triangulaire supérieure à diagonale strictement positive. C’est un outil-clef en calcul scientifique (résolution de systèmes linéaires, statistiques, optimisation, etc.) et en théorie des matrices. En CPGE, la maîtrise de Cholesky est indispensable, d’autant plus qu’elle est souvent demandée dans les épreuves du CCINP pour justifier, par exemple, des inégalités sur le déterminant ou pour traiter rapidement des exercices sur les formes quadratiques. Pour t’exercer sur ce type de sujet et découvrir des corrigés détaillés, pense à débloquer l’accès sur Prépa Booster.
Le polynôme annulateur d’une matrice est le polynôme non nul de plus bas degré qui s’annule quand on l’applique à cette matrice. C’est un concept central pour l’étude de la structure des matrices (théorèmes de Cayley-Hamilton, réduction…) et il intervient dans beaucoup d’exercices du concours CCINP. Il permet, par exemple, de générer le commutant ou d’anticiper la diagonalisation. Maîtriser cette notion, c’est gagner en efficacité sur de nombreuses questions d’algèbre linéaire.
Ces inégalités (comme celles portant sur det(A+B), sur la somme des carrés ou trace(A) vs racine n-ième du déterminant) mettent en jeu la théorie spectrale, la réduction des matrices symétriques, les propriétés de convexité et parfois la décomposition de Cholesky. Pour les réussir, il faut savoir mobiliser l’ensemble du cours d’algèbre linéaire : valeur propre, changement de base, formes quadratiques, etc. Je te conseille de toujours partir des propriétés spectrales et de t’appuyer sur les résultats de densité ou d’approximation si les matrices ne sont pas définies positives strictes. L’entraînement sur des corrigés variés t’aidera à reconnaître les situations classiques !
Les valeurs propres d’une matrice symétrique (ou d’un endomorphisme auto-adjoint) donnent accès aux axes principaux, à la diagonalisation et, pour les matrices définies positives, à l’étude de la forme quadratique associée. Elles interviennent directement dans les critères de positivité, la réduction orthogonale et la plupart des grandes inégalités matricielles. En concours, exploiter les valeurs propres, c’est souvent la clé pour aller vite vers la solution, surtout si tu veux optimiser ton temps le jour J.
L’algorithme de Cholesky permet d’effectuer une factorisation rapide de matrices définies positives pour résoudre des systèmes linéaires ou calculer rapidement des déterminants. Côté préparation, il est essentiel de savoir l’écrire clairement, de comprendre chaque étape (calculs des pivots, racines carrées, etc.) et de savoir le mettre en œuvre sur des matrices de petite taille. N’hésite pas à t’entraîner sur des exemples issus des annales, que tu peux retrouver corrigés, détaillés et expliqués en débloquant l’accès sur Prépa Booster.