Questions du sujet
1. Soit les matrices $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.\\ Calculer $\exp(A)$, $\exp(B)$, $\exp(A)\exp(B)$ et $\exp(A+B)$ (pour $\exp(A+B)$, on donnera la réponse en utilisant les fonctions $\ch$ et $\sh$). 2. Rappeler sans démontration, une condition suffisante pour que deux matrices $A$ et $B$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifient l’égalité $\exp(A)\exp(B) = \exp(A+B)$. 3. Polynôme interpolateur de Lagrange : on note $\mathbb{R}_{r-1}[X]$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $r-1$.\\ On considère l’application linéaire $\varphi$ de $\mathbb{R}_{r-1}[X]$ dans $\mathbb{R}^r$ définie par :\\ $P \mapsto (P(\lambda_1), P(\lambda_2), \ldots, P(\lambda_r))$.\\ Déterminer le noyau de $\varphi$, puis en déduire qu’il existe un unique polynôme $L$ de $\mathbb{R}_{r-1}[X]$ tel que pour tout $i \in \{1, \ldots, r\}$, $L(\lambda_i) = e^{\lambda_i}$. 4. Pour $i \in \{1, \ldots, r\}$, on définit le polynôme $l_i$ de $\mathbb{R}_{r-1}[X]$ par :\\ $$ l_i(X) = \prod_{\substack{k = 1 \\ k \neq i}}^r \frac{X-\lambda_k}{\lambda_i-\lambda_k} $$ \begin{itemize} \item[(a)] Calculer $l_i(\lambda_j)$ selon les valeurs de $i$ et $j$ dans $\{1, \ldots, r\}$. \item[(b)] En déduire une expression du polynôme $L$ comme une combinaison linéaire des polynômes $l_i$ avec $i \in \{1, \ldots, r\}$. \end{itemize} 5. Une propriété de l’exponentielle : soit $P$ une matrice inversible de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $D$ une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. \begin{itemize} \item[(a)] Justifier que l’endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ défini par $M \mapsto PMP^{-1}$ est une application continue. \item[(b)] En déduire que : $\exp(PDP^{-1}) = P \exp(D) P^{-1}$. \end{itemize} } 6. Déduire des questions 3. et 5. que $\exp(A) = L(A)$. 7. On suppose que $E$ est muni d’une base $B$ et on désigne par $v$ l’endomorphisme de $E$ dont la matrice par rapport à $B$ est $A$. Soit $\lambda$ une valeur propre de $v$, et $x$ un vecteur propre associé.\\ Démontrer que pour tout polynôme $P \in \mathbb{R}[X]$, on a : $P(v)(x) = P(\lambda)x$. 8. Soit $i \in \{1, \ldots, r\}$, on note $E_i = \Ker(v-\lambda_i \mathrm{id})$ le sous-espace propre de $v$ associé à $\lambda_i$. \begin{itemize} \item[(a)] Démontrer que l’endomorphisme de $E$, $p_i = l_i(v)$ est le projecteur sur $E_i$, parallèlement à $\underset{\substack{k=1 \\ k\neq i}}{ \bigoplus} E_k$ (on dit que les $p_i$ sont les projecteurs spectraux de $v$). \item[(b)] En déduire une expression de $\exp(A)$ comme une combinaison linéaire de matrices de projecteurs. \end{itemize} 9. Soit $u$ un endomorphisme de $E$ dont le polynôme minimal est $(X-1)^2(X-2)$.\\ L’endomorphisme $u$ est-il diagonalisable ? Justifier la réponse. 10. Écrire, sans justifier, un exemple de matrice triangulaire de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ dont l’endomorphisme canoniquement associé a pour polynôme minimal $(X-1)^2(X-2)$.} 11. Démontrer, sans aucun calcul, que $E = \Ker(u-\mathrm{id})^2 \oplus \Ker(u – 2 \mathrm{id})$. 12. On considère les endomorphismes de $E$ : $p = (u-\mathrm{id})^2$ et $q = u \circ (2\mathrm{id}-u)$. Calculer $p+q$. 13. Démontrer que l’endomorphisme $p$ est le projecteur sur $\Ker(u-2\mathrm{id})$, parallèlement à $\Ker(u-\mathrm{id})^2$. Que dire de l’endomorphisme $q$ ? 14. Soit $x$ un élément de $E$. \begin{itemize} \item[(a)] Préciser $(u-2\mathrm{id})(p(x))$. \item[(b)] Déterminer un nombre réel $\alpha$ tel que pour tout entier naturel $k$, $u^k \circ p = \alpha^k p$. \item[(c)] En déduire que $\exp(u)\circ p = \beta p$ où $\beta$ est un réel à déterminer. \end{itemize} 15. Que vaut pour tout entier $k \geq 2$, $(u-\mathrm{id})^k \circ q$ ?\\ Démontrer que $\exp(u)\circ q = \gamma u \circ q$ où $\gamma$ est un réel à déterminer (on pourra écrire en justifiant que $\exp(u) = \exp(\mathrm{id}) \circ \exp(u-\mathrm{id})$).} 16. Écrire enfin l’endomorphisme $\exp(u)$ comme un polynôme en $u$. 17. Théorème de la projection orthogonale : soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ et $x$ un vecteur de $E$. Rappeler sans démonstration, la formule permettant de calculer $d(x,F)$ à l’aide du vecteur $p_F(x)$. 18. Cas des hyperplans : soit $n$ un vecteur non nul de $E$ et $H$ l’hyperplan de $E$ orthogonal à $n$, c’est-à-dire $H = (\mathrm{Vect}\{n\})^\perp$. Exprimer pour $x \in E$, la distance $d(x,H)$ en fonction de $\langle x, n \rangle$ et de $\| n \|$. 19. Une application : dans cette question uniquement, $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ muni de son produit scalaire canonique : si $A$ et $B$ sont dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, en notant $\mathrm{Tr}$ la trace, $$ \langle A, B \rangle = \mathrm{Tr}({}^t AB). $$ Enfin on note $H$ l’ensemble des matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dont la trace est nulle. \begin{itemize} \item[(a)] Justifier que $H$ est un hyperplan de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et déterminer $H^\perp$. \item[(b)] Si $M$ est une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, déterminer la distance $d(M,H)$. \end{itemize} 20. Et pour une norme non euclidienne ? Dans cette question $E = \mathbb{R}^2$ est muni de la norme infinie notée $N_\infty$ : si $x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2$, $N_\infty(x) = \max\{|x_1|, |x_2|\}$. On pose $F = \mathrm{Vect}\{(1,0)\}$ et $x = (1,1)$. Déterminer la distance «infinie» du vecteur $x$ à $F$, c’est-à-dire le réel : $$ d_\infty(x,F) = \inf\{N_\infty(x-y) \mid y \in F\}, $$ et préciser l’ensemble des vecteurs $m$ pour lesquels cette distance est atteinte, c’est-à-dire $d_\infty(x,F) = N_\infty(x-m)$. Commenter. }FAQ
L’exponentielle de matrices est une notion clé en algèbre linéaire. Il faut absolument savoir calculer exp(A) via la série entière, manipuler les cas où les matrices commutent, reconnaître les liens avec les polynômes d’endomorphismes, et maîtriser la propriété exp(PDP^{-1}) = P exp(D) P^{-1}, qui permet de diagonaliser ou de se ramener à un cas plus simple par changement de base. N’oublie pas également de relier cette notion aux applications à la physique et aux systèmes différentiels linéaires : c’est classique en oral comme à l’écrit.
Le polynôme de Lagrange, c’est un outil fondamental pour l’interpolation polynomiale : il permet de construire un polynôme qui prend des valeurs fixées en un certain nombre de points. C’est très utilisé dans les sujets CPGE car ça lie l’analyse et l’algèbre linéaire via les bases et les applications linéaires. Maîtriser les bases (notamment les polynômes l_i, valeur d’interpolation) te permet de résoudre des questions ouvertes mais aussi de te différencier lors de la rédaction de ton corrigé.
La diagonalisabilité est une vraie colonne vertébrale en algèbre linéaire ! Beaucoup de propriétés utiles (notamment sur l’exponentielle de matrice, les projecteurs spectraux…) s’expriment plus simplement si l’endomorphisme est diagonalisable. Au CCINP, on aime te faire manipuler le polynôme minimal et la notion de sous-espaces propres pour tester si tu possèdes cette solidité théorique. Pour progresser, pense à bien t’entraîner sur ce type de raisonnement et débloque les corrigés pour voir des exemples traités pas à pas.
Les projecteurs spectraux t’aident à décomposer un espace en somme directe d’espaces propres associés aux différentes valeurs propres d’un endomorphisme. C’est fondamental pour calculer des fonctions d’endomorphismes (comme l’exponentielle ou les polynômes), et pour comprendre comment chaque partie de l’espace évolue sous l’action de l’endomorphisme. Maîtriser cette idée, c’est avoir un bon coup d’avance, notamment dans la résolution des questions d’écrit CCINP.
Les questions sur les distances et projections, surtout orthogonales, sont classiques et touchent à la géométrie euclidienne et à l’analyse fonctionnelle. Il faut savoir manipuler la formule générale de la distance d’un point à un sous-espace, savoir appliquer la notion de projecteur orthogonal, et être à l’aise avec différentes normes (euclidienne, infinie…). Prépare-toi à traiter ces questions en travaillant sur des exercices variés et en consultant des corrigés détaillés disponibles sur Prépa Booster.
Les hyperplans sont omniprésents : ils apparaissent dans l’étude des applications linéaires, des formes bilinéaires et quadratiques, et bien sûr dans les problèmes de distance et d’optimisation. Leur orthogonalité permet souvent de simplifier l’expression des distances et de dégager des résultats structurants pour la suite de la résolution. Savoir identifier et manipuler des hyperplans, surtout ceux associés à une forme linéaire (comme l’ensemble des matrices traceless), est incontournable.
Pour savoir si une matrice (ou un endomorphisme) est diagonalisable, commence toujours par déterminer le polynôme minimal et le polynôme caractéristique. Vérifie si le polynôme minimal se scinde sur le corps de base et si toutes les racines sont simples. Si tu tombes sur des vecteurs propres manquants, ou sur des blocs de Jordan, alerte ! Tu dois alors raisonner sur la suite de la décomposition et envisager des espaces propres généralisés. C’est un entraînement classique de la filière MP.
La norme infinie, par exemple, change complètement la géométrie des espaces vectoriels ! Les boules et les ensembles de points à distance fixée ne ressemblent plus à des cercles ou des sphères classiques. Étudier différents types de normes t’aide à prendre du recul sur les définitions et à mieux comprendre les contextes applicatifs (optimisation, calcul matriciel, etc.). C’est souvent là que tu obtiens des points bonus lors de la rédaction d’un corrigé détaillé.
L’utilisation habile des propriétés de linéarité permet de gagner en efficacité, de simplifier les calculs et de généraliser rapidement certains résultats. Beaucoup de questions (polynômes d’endomorphisme, interpolation, passage à la matrice d’une application, etc.) se résolvent bien plus simplement avec de solides réflexes sur la linéarité. N’oublie pas de toujours te poser la question : « Puis-je écrire mon raisonnement ou mon objet sous une forme linéaire ? ».
C’est justement dans ce cas que la théorie montre sa force ! Les endomorphismes non diagonalisables obligent à comprendre la structure des sous-espaces propres et généralisés, à manipuler les blocs de Jordan, et à maîtriser les relations entre le polynôme minimal, le polynôme caractéristique et la décomposition spectrale. Ce sont des questions qui testent ta compréhension profonde et ton autonomie en calcul, et qui peuvent distinguer les meilleures copies.