Questions du sujet
1. Donner une base $\mathcal{B}$ du plan $\Pi$ et justifier, sans calcul, que $M_{\mathcal{B}}$ est la matrice de passage de la base canonique à $\mathcal{B}$. 2. En déduire la matrice $S$.} 3. Déterminer la matrice $M(P,Q)$ du résultant relativement aux bases $E$ et $F$. 4. Montrer que $Res(P,Q)=0$ s’il et seulement si $P$ et $Q$ admettent une racine commune. 5. En déduire qu’un polynôme $P$ admet une racine multiple dans $\C$ si et seulement si le polynôme $P$ et sa dérivée $P’$ admettent une racine commune. 6. Soit $\alpha\in\C$. Montrer que $Res(P, (X-\alpha))$ est égal, à une constante près, au coefficient dominant de $P$ et à la valeur de $P$ en $\alpha$.} 7. Soient $P(X) = X^k + X^j + 1$ et $Q(X) = X^m + X^n + 1$. Montrer que $Res(P,Q)=0$ si et seulement si $\dfrac{k}{j} = \dfrac{m}{n}$. 8. Soit $P$ un polynôme de degré $n$ ayant toutes ses racines simples. Soient $\alpha_1, …,\alpha_n$ ses racines dans $\C$. On pose $Q(X) = P'(X)$. Montrer que $Res(P,Q) = a_n^{n-1} \prod_{1\leq iFAQ
La matrice de passage permet de passer des coordonnées d’un vecteur dans une base à une autre, par exemple de la base canonique à une base adaptée à un problème (comme dans le sujet CCINP 2009). Elle est particulièrement utile pour simplifier des calculs de matrices ou de formes quadratiques. Maîtriser ce changement de base te donne un gros avantage pour comprendre la structure des applications linéaires et diagonaliser les matrices.
Le résultant de deux polynômes est un outil puissant pour savoir s’ils possèdent une racine commune, sans avoir à trouver explicitement les solutions. C’est un concept fondamental qui intervient en algèbre, notamment lors de l’étude des racines multiples, de la factorisation, mais aussi dans des contextes de géométrie algébrique ou pour démontrer l’indépendance linéaire de familles de polynômes.
Pour déterminer la nature d’une courbe (ellipse, parabole, hyperbole, etc.) définie par une équation quadratique, il faut étudier la matrice associée à la forme quadratique. Ses valeurs propres, son déterminant et son rang donnent des indications précises sur le type de conique : si la matrice est définie positive (ou négative), on a une ellipse, si elle est de signature nulle une parabole, et un signe mixte indique une hyperbole. Les questions du sujet CCINP 2009 exploitent justement ces liens entre algèbre linéaire et géométrie. Tu veux aller plus loin sur la résolution détaillée ? Débloque les corrigés sur Prépa Booster et accède à la solution complète de l’épreuve !
Dire qu’un polynôme admet des racines multiples signifie que l’une de ses racines annule aussi sa dérivée. Cette situation a d’importantes conséquences en maths : elle impacte la diagonalisabilité d’opérateurs, la factorisation, et intervient dans de nombreux exercices de concours. C’est aussi un lien direct avec le résultant entre un polynôme et sa dérivée, outil indispensable pour détecter ces situations.
Les noyaux et les espaces propres permettent de comprendre la structure fine des applications linéaires. Connaître ces espaces, c’est maîtriser la réduction de matrices, la recherche d’une base adaptée, et la compréhension des solutions des équations polynomiales matricielles. En CPGE, cela facilite aussi la résolution d’exercices types et l’analyse des opérateurs, comme les matrices symétriques.
Les sujets CCINP pour la filière MP font souvent appel à toutes les notions phares de la 1re et 2e année : matrices, calculs de bases et changements de base, étude fine des polynômes (racines, multiplicités, résultant…), formes quadratiques et coniques, mais aussi questions de factorisation, et notions de diagonalisation. Ces notions sont fondamentales pour progresser chaque année et réussissent mieux aux étudiants qui s’entraînent sur les annales corrigées. N’hésite pas à débloquer les corrigés pour accéder à toutes les méthodes expliquées pas à pas et booster tes performances grâce aux exercices types ainsi qu’au dashboard personnalisé sur Prépa Booster.