Questions du sujet
1. Soient $\alpha$ un réel et $M(\alpha) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & \alpha \\ 0 & 2 & -\alpha \\ 1 & 1 & 2-\alpha \end{pmatrix}$.\\ (a) Calculer, en donnant le détail des calculs, le polynôme caractéristique de la matrice $M(\alpha)$. Démontrer que, pour tout $\alpha$, la matrice $M(\alpha)$ est une matrice à diagonale propre.\\ (b) Quelles sont les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles la matrice $M(\alpha)$ est diagonalisable ? 2. On considère la matrice $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. Cette matrice antisymétrique $A$ est-elle une matrice à diagonale propre ? 3. Cas $n = 2$\\ Déterminer $E_2$ puis montrer que $E_2$ est une partie fermée de $M_2(\mathbb{R})$. 4. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice à diagonale propre soit inversible. Donner un exemple de matrice à diagonale propre (non diagonale) de $M_3(\mathbb{R})$, inversible et telle que $A^{-1}$ est également une matrice à diagonale propre. On donnera $A^{-1}$. 5. Soit $A = (a_{ij})$ une matrice de $M_3(\mathbb{R})$, démontrer que $A$ est une matrice à diagonale propre si et seulement si, elle vérifie les deux propriétés suivantes :\\ $\det A = \prod\limits_{i=1}^{3} a_{ii}$ et $a_{12}a_{21} + a_{13}a_{31} + a_{23}a_{32} = 0$. } 6. (a) Écrire un algorithme en français qui, à partir d’une matrice $A = (a_{ij}) \in M_3(\mathbb{R})$, teste si la matrice est ou n’est pas une matrice à diagonale propre. On considère que l’algorithme suppose connu le calcul du déterminant.\\ (b) Écrire ensuite cet algorithme sur la calculatrice (il n’est pas demandé d’écrire sur la copie le programme en langage calculatrice). Parmi les matrices suivantes, indiquer les matrices à diagonale propre :\\ $A_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 3 \\ -3 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ $A_2 = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 2 \\ -8 & 4 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}$ $A_3 = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 \\ 0 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}$ $A_4 = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & -2 & 2 \end{pmatrix}$ $A_5 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ -2 & 3 & 6 \end{pmatrix}$ $A_6 = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ -2 & 4 & 2 \\ 2 & -2 & 2 \end{pmatrix}$ $A_7 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ $A_8 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 7. Conjecturer une condition nécessaire et suffisante sur les produits $a_{12}a_{21},~a_{13}a_{31}$ et $a_{23}a_{32}$ pour qu’une matrice $A = (a_{ij}) \in M_3(\mathbb{R})$ à diagonale propre inversible soit telle que $A^{-1}$ soit également une matrice à diagonale propre (on demande juste de donner cette conjecture sans chercher à la prouver). 8. Si $M = \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C \end{pmatrix}$ est une matrice de $M_n(\mathbb{R})$ par blocs (les matrices $A$ et $C$ étant des matrices carrées), démontrer que $\det M = (\det A)(\det C)$.\\(on pourra utiliser les matrices par blocs $\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & C \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & I_s \end{pmatrix}$ en donnant des précisions sur les tailles des matrices qui interviennent). 9. Donner un exemple d’une matrice $M$ à diagonale propre de $M_4(\mathbb{R})$ (matrice $4\times 4$) dans chacun des cas suivants :\\ (a) La matrice $M$ contient treize réels non nuls (on expliquera brièvement la démarche).\\ (b) $M = \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C \end{pmatrix}$ où les matrices $A$, $B$ et $C$ sont toutes des matrices de $M_2(\mathbb{R})$ ne contenant aucun terme nul (on expliquera brièvement la démarche). 10. Si $A$ est une matrice de $M_n(\mathbb{R})$ à diagonale propre, démontrer que, pour tout couple $(a, b)$ de réels, les matrices $aA + b I_n$ et les matrices $a{\phantom{a}}^tA + b I_n$ sont encore des matrices à diagonale propre. } 11. Si on note $G_n$ l’ensemble des matrices à diagonale propre inversibles, démontrer que $G_n$ est dense dans $E_n$. 12. Matrices trigonalisables\\ (a) Une matrice trigonalisable est-elle nécessairement une matrice à diagonale propre ?\\ (b) Justifier qu’une matrice à diagonale propre est trigonalisable.\\ (c) Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour qu’une matrice de $M_n(\mathbb{R})$ soit semblable à une matrice à diagonale propre. 13. Démontrer que toute matrice de $M_n(\mathbb{R})$ est somme de deux matrices à diagonale propre. En est-il un sous-espace vectoriel de $M_n(\mathbb{R})$ ? 14. Soit $A = (a_{ij})$ une matrice de $M_n(\mathbb{R})$, déterminer $\mathrm{trace}({^t}A A)$. 15. Matrices symétriques à diagonale propre\\ (a) Soit $A = (a_{ij})$ une matrice de $M_n(\mathbb{R})$, symétrique dont les valeurs propres sont notées $\lambda_1, …, \lambda_n$.\\ Démontrer que $\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}^2 = \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i^2$.\\ (b) Déterminer l’ensemble des matrices symétriques réelles à diagonale propre. } 16. Matrices antisymétriques à diagonale propre\\ Soit $A$ une matrice antisymétrique de $M_n(\mathbb{R})$ à diagonale propre.\\ (a) Démontrer que $A^n = 0$ et calculer $({^t}A A)^n$.\\ (b) Justifier que la matrice ${^t}A A$ est diagonalisable puis que ${^t}A A = 0$.\\ (c) Conclure que $A$ est la matrice nulle. 17. Question préliminaire\\ Indiquer la dimension de $A_n$ (on ne demande aucune démonstration, la réponse suffit). 18. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $M_n(\mathbb{R})$ tel que $F \subset E_n$.\\ Démontrer que $\dim F \leq \dfrac{n(n+1)}{2}$, pour cela on pourra utiliser $\dim (F + A_n)$.\\ Quelle est la dimension maximale d’un sous-espace vectoriel $F$ de $M_n(\mathbb{R})$ vérifiant $F \subset E_n$ ? 19. Déterminer un sous-espace vectoriel $F$ de $M_n(\mathbb{R})$ vérifiant $F \subset E_n$, de dimension maximale, mais tel que $F$ ne soit pas constitué uniquement de matrices triangulaires. }FAQ
Une matrice à diagonale propre, c’est une matrice carrée telle que l’ensemble de ses colonnes forme une famille libre et chaque colonne a au plus une coordonnée non nulle (en général sur la diagonale, mais pas nécessairement). C’est une notion centrale que tu retrouves en algèbre linéaire, car elle généralise les matrices diagonales et permet d’arriver plus rapidement à certaines propriétés, comme l’inversibilité, la trigonalisabilité ou encore la caractérisation des espaces vectoriels. Sur le plan du concours, maîtriser cette notion t’aide à résoudre rapidement des questions d’algèbre structurées. Tu veux progresser sur ce thème ? Débloque les corrigés Prépa Booster pour avoir des exemples détaillés et composites adaptés à ta prépa.
Le calcul du polynôme caractéristique permet d’extraire des informations précieuses sur les valeurs propres d’une matrice : diagonalisabilité, multiplicité des valeurs propres, et bien sûr difficulté ou facilité de passage vers une forme diagonale ou trigonale. C’est une compétence qui revient tout le temps dans les sujets type CCINP, car elle te permet d’enchâsser plusieurs propriétés linéaires en une : stable, canonique, et fondamental pour prouver des résultats d’existence. En t’entraînant à manipuler ces calculs dans divers formats (matrice réelle, complexe, par blocs…), tu gagnes en efficacité, ce qui est essentiel dans la gestion du temps le jour J.
C’est une question hyper importante : une matrice diagonalisable est semblable à une matrice diagonale, ce qui correspond au cas où toutes les valeurs propres sont de multiplicité algébrique et géométrique égales. Les matrices trigonalisables, elles, sont semblables à une matrice triangulaire supérieure (quitte à travailler sur $\mathbb{C}$), ce qui élargit le spectre ; toutes les matrices diagonalisables sont donc trigonalisables, mais l’inverse est faux. Quant aux matrices à diagonale propre, c’est un cadre intermédiaire : elles ne sont pas toujours diagonales ou diagonalisables mais possèdent une structure permettant de simplifier certains calculs. Pour plus de nuances, découvre dans les corrigés détaillés comment distinguer chaque cas et les liens entre ces différentes notions avec des exemples variés.
Cet aspect est au cœur des raisonnements sur les espaces vectoriels de matrices. La densité, c’est une façon d’affirmer que, quelle que soit la matrice à diagonale propre ‘approchée’, tu peux toujours la ‘perturber’ légèrement pour obtenir une matrice à diagonale propre et inversible. C’est très utile pour construire des bases, montrer des propriétés de stabilité, ou réaliser des approximations dans les démonstrations. Savoir manipuler cette densité, c’est donc avancer sur plusieurs fronts algébriques et renforcer ta maîtrise du sujet.
Les matrices par blocs, c’est l’assurance de gagner du temps et d’éviter les erreurs dans les calculs de déterminant, d’inverses ou d’autres propriétés structurelles. En séparant la matrice en blocs (souvent en haut à gauche et en bas à droite), tu peux utiliser des formules simples : par exemple, pour une matrice triangulaire par blocs, le déterminant est le produit des déterminants des blocs diagonaux. Cette technique est valorisée en concours car elle montre ta capacité à organiser tes calculs et à trouver la voie la plus efficace pour répondre aux questions, tout en démontrant une maîtrise de l’algèbre linéaire avancée.
Le plus gros piège, c’est de croire que toutes les propriétés des matrices symétriques ou antisymétriques se transfèrent automatiquement à la classe des matrices à diagonale propre. Par exemple : toute matrice antisymétrique réelle à diagonale propre est en fait… la matrice nulle ! Savoir répondre à ce type de question, c’est aussi montrer que tu as bien compris les relations profondes entre symétrie, structure linéaire et espace des matrices. Pour réviser à fond tout ça, n’hésite pas à débloquer l’accès aux corrigés détaillés.
Réaliser un algorithme qui teste si une matrice est à diagonale propre t’oblige à bien cerner tous les critères de définition : structure de la matrice, produits croisés, déterminant généralisé… C’est une bonne façon de ‘bétonner’ ta compréhension de la définition. C’est aussi une compétence clé pour se préparer à l’exploitation informatique des notions de maths pures, qui se développe de plus en plus dans les sujets CCINP MP. Cerise sur le gâteau : tu gagnes aussi en rapidité pour reconnaître instantanément la structure d’une matrice durant une épreuve.