Questions du sujet
1. Montrer que la suite $(I_m)_{m\in\mathbb{N}}$ est décroissante. 2. Montrer que pour tout $m \in \mathbb{N}$ :\\ $$I_{m+2} = \frac{m+2}{m+3}I_m.$$ 3. En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} :$\\ $$I_{2n} = \frac{\sqrt{2n}}{2(2n + 1)} a_{n,n}, \quad \text{et : } I_{2n-1} = \frac{\pi}{\sqrt{2n}} a_{n,n}.$$ 4. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} :$\\ $$1 \leq \frac{I_{2n-1}}{I_{2n}} \leq \frac{I_{2n-2}}{I_{2n}}.$$\\ En déduire que :\\ $$\frac{1}{1 + \frac{1}{2n}} \leq 2\pi (a_{n,n})^2 \leq 1.$$ 5. En déduire la convergence de la suite $(a_{n,n})_{n \geq 1}$ lorsque $n$ tend l’infini, puis que :\\[.5em] $$I_{2n} \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{n}}.$$} 6. À l’aide d’un changement de variable simple, déduire de la Q 5 que la suite $(J_n)_{n\in\mathbb{N} \setminus \{0\}}$ converge et donner sa limite. 7. Montrer que la suite de fonctions $(u_n)_{n\in\mathbb{N} \setminus \{0\}}$ converge simplement sur $\mathbb{R}^+$ et donner sa limite. 8. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a : $1 + x \leq e^x$, et en déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}\setminus\{0\}$ :\\ $\forall t \in \mathbb{R}^+, 0 \leq u_n(t) \leq e^{-t^2}$. 9. Montrer que l’intégrale $K$ est convergente, puis déduire des questions précédentes une valeur exacte de $K$. 10. Montrer qu’il existe une fonction $g : \left[0, \frac{1}{2}\right] \to \mathbb{R}$ et un réel $M \geq 0$, tels que :\\ $\forall x \in \left[0, \frac{1}{2}\right]$,\\ $$\frac{1 – x}{1 + x} = e^{-2x + g(x)}, \quad \text{et : } |g(x)| \leq M x^3.$$} 11. Soit $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$. Montrer que pour tout $k \in \llbracket n+1, 2n \rrbracket :$\\ $$\frac{a_{k,n}}{a_{n,n}} = \frac{\prod_{i=1}^{k-n-1} \left(1 – \frac{i}{n}\right)}{\prod_{i=1}^{k-n-1} \left(1 + \frac{i}{n}\right)} \times \frac{n}{k}.$$ 12. En déduire que pour tout $k \in \mathbb{N}$ tel que $n+1 \leq k \leq \frac{3n}{2} + 1$, il existe $b_{k,n} \in \mathbb{R}$ tel que :\\ $|b_{k,n}| \leq \frac{M}{n^3} (k-n-1)^4$, et :\\ $$\frac{a_{k,n}}{a_{n,n}} = \frac{n}{k} e^{b_{k,n}} e^{- \frac{1}{n}(k-n-1)(k-n)}.$$ 13. Soit $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$. Déterminer la loi, l’espérance et la variance de la variable aléatoire $Z_n$. 14. Proposer une représentation graphique de la fonction $h_2$. 15. Soit $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$. Vérifier que la fonction $h_n$ possède un maximum sur $\mathbb{R}$ et déterminer pour quelles valeurs ce maximum est atteint.} 16. Soit $x \in ]0, +\infty[$. Montrer qu’il existe $n_0 \in \mathbb{N}$, tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, vérifiant $n \geq n_0$, il existe $k_n \in \mathbb{N}$, tel que $x \in J_{k_n,n}$. Vérifier qu’alors :\\ $k_n – n \underset{n\to +\infty}{\sim} \frac{x}{\sqrt{2n}}$, $t_{k_n, n} \underset{n\to+\infty}{\sim} x$, $k_n \underset{n\to+\infty}{\sim} n$. 17. Soit $n \in \mathbb{N}\setminus\{0\}$. Vérifier que pour tout $k\in\llbracket 0, 2n\rrbracket : h_n(t_{k,n}) = a_{k,n}$. Montrer ensuite, en utilisant les résultats des Q 5, Q 12, Q 16, que la suite de fonctions $(h_n)_{n\in \mathbb{N}\setminus\{0\}}$ converge simplement sur $\mathbb{R}$ et préciser sa limite. 18. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice de rang $1$. Montrer qu’il existe $X,Y \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}) \setminus \{0_{\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}\}$ tels que : $A = X Y^T$. 19. Réciproquement, soient $X, Y \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}) \setminus \{0_{\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}\}$. Montrer que la matrice $X Y^T$ est de rang $1$. 20. Montrer que $A^2 = \mathrm{tr}(A)A$.} 21. En déduire, par récurrence sur $k$, une expression de $A^k$ en fonction de $A$ pour tout $k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$. 22. Donner une condition nécessaire et suffisante sur la trace de $A$ pour que $A$ soit nilpotente. 23. Donner une condition nécessaire et suffisante sur la trace de $A$ pour que $A$ soit diagonalisable. 24. Calculer $A^2$. En déduire un polynôme annulateur de $A$. 25. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $A$.} 26. Montrer que les sous-espaces propres de $A$ sont orthogonaux. 27. Déterminer une matrice $P\in O_3(\mathbb{R})$ et une matrice diagonale $D\in M_3(\mathbb{R})$, telles que : $P^T A P = D$. 28. Interpréter géométriquement l’endomorphisme $A$ de $M_{3,1}(\mathbb{R})$. 29. Montrer que $\mathrm{im}(P_V) = \mathrm{Vect}(V)$ et que $\ker(P_V) = \mathrm{Vect}(V)^\perp$. 30. Montrer que $P_V$ est la projection orthogonale sur la droite $\mathrm{Vect}(V)$.\\ Préciser le rang et la trace de la matrice $P_V$.} 31. Montrer que $Q_V$ est symétrique et orthogonale. 32. Montrer que $Q_V$ est la symétrie orthogonale par rapport à $\mathrm{Vect}(V)^\perp$. 33. Montrer que $D^\perp$ est l’ensemble des $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$, tels que : $\|X-U\| = \|X-V\|$. 34. Donner la décomposition de $U$ sur la somme directe $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}) = D \oplus D^\perp$. 35. On suppose $U$ et $V$ non colinéaires. Calculer $Q_{U-V} U$ où $Q_{U-V}$ est définie en (1).} 36. En déduire que pour tous $\tilde{U}, \tilde{V} \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$, il existe une matrice orthogonale $Q$, telle que $Q\tilde{U}$ soit colinéaire à $\tilde{V}$. 37. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer qu’il existe une matrice orthogonale $Q_1$, telle que $Q_1 A$ soit de la forme :\\ $$ Q_1A = \begin{pmatrix} \alpha & * & \cdots & * \\ 0 & & & \\ \vdots & & C_1 & \\ 0 & & & \\ \end{pmatrix} $$ où $\alpha \in \mathbb{R}$ et $C_1 \in \mathcal{M}_{n-1}(\mathbb{R})$. 38. En raisonnant par récurrence sur $n$, montrer que pour tout $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, il existe une matrice $Q$ orthogonale, telle que $Q A$ soit triangulaire supérieure.}FAQ
Dans la filière PSI et plus particulièrement sur l’épreuve 2022 du CCINP, on retrouve beaucoup de thèmes fondamentaux : suites et récurrence, étude de fonctions, intégrales, convergence, approximation, probabilités, matrices de rang 1, diagonalisation, projections orthogonales et symétries, etc. Ce sont des bases du programme mais abordées sous un angle approfondi qui prépare aux exigences du concours.
Quand tu dois montrer la convergence d’une intégrale ou d’une suite d’intégrales, rappelle-toi de comparer avec une intégrale plus simple, d’utiliser parfois le théorème de convergence dominée, et surtout de bien poser tes encadrements. Pour les suites, pense à chercher la monotonie, la majoration/minoration, ou à établir une récurrence pour mettre en avant la stabilité de la suite.
Une matrice de rang 1 admet une écriture sous forme de produit X Y^T, avec X et Y des vecteurs colonnes non nuls. Cela simplifie énormément le calcul de puissances de la matrice, sa diagonalisabilité, ou la recherche de polynômes annulateurs. Au concours, exploite toujours cette structure pour raccourcir tes calculs et démonstrations.
Attention à bien suivre les définitions et les propriétés : la projection orthogonale garde toujours l’élément sur la droite visée, la symétrie inverse la composante orthogonale. Lis bien les énoncés pour comprendre si la projection est sur un vecteur, ou son orthogonal, et rappelle-toi de vérifier si les matrices associées sont symétriques et/ou orthogonales selon ce qui t’est demandé.
La convergence simple signifie que pour chaque point fixé, la suite converge vers la valeur limite, mais sans contrôle sur la vitesse de convergence. La convergence uniforme garantit ce contrôle sur tout l’ensemble, ce qui est crucial pour passer à la limite dans des contextes comme l’intégration. Fais toujours la distinction selon ce que demande l’énoncé.
La récurrence (comme dans le sujet CCINP PSI 2022) permet d’exprimer simplement une suite complexe et de prouver ses propriétés : décroissance, convergence, relation entre termes. Savoir déployer une relation de récurrence te fera gagner du temps, et montrera ta maîtrise des outils fondamentaux attendus par les correcteurs.
Il faut bien relier la définition de la variable aléatoire à son contexte. Pour une variable discrète, repère bien toutes les valeurs possibles et leurs probabilités, puis utilise la méthode de calcul directe (somme pondérée des valeurs possibles pour l’espérance, et carrés centrés pour la variance). Entraîne-toi à manipuler ces outils sur des exemples variés.
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Pour réussir les questions sur la diagonalisation, identifie bien le cas particulier de la matrice (matrice de rang 1, matrice symétrique, etc.), calcule le polynôme caractéristique, puis déduis les valeurs propres. Détermine les espaces propres en résolvant le système associé. Entraîne-toi à le faire rapidement et proprement car ces questions reviennent chaque année.