Questions du sujet
1. I.1.1 Montrer que $f$ est une fonction impaire dérivable sur $\mathbb{R}$. 2. I.1.2 Montrer que $f$ est indéfiniment dérivable sur $\mathbb{R}$. Pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$, on note $f^{(n)}$ la dérivée $n$-ième de $f$. Montrer qu’il existe une fonction polynôme $p_n$, dont on précisera le degré, telle que pour tout $x \in \mathbb{R}$ :\\ $f^{(n)}(x) = p_n(x) \exp(-x^2)$. 3. I.1.3 Que peut-on dire de la parité de $p_n$ ? 4. I.1.4 Démontrer que $f$ admet une limite finie en $+\infty$ (on ne demande pas de calculer cette limite). Dans toute la suite du problème, on note $\Delta$ cette limite. 5. I.2.1 Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $f(x) = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n!(2n+1)}$.} 6. I.2.2 Expliciter $p_n(0)$. 7. I.3.1 Montrer que pour tout réel $u$, on a $e^u \geq 1 + u$. 8. I.3.2 Soit $n$ un entier naturel non nul. Montrer que :\\ \( \left\{ \begin{array}{ll} (1-u)^n \leq e^{-nu} & \text{si } u \leq 1 \\ e^{-nu} \leq \frac{1}{(1+u)^n} & \text{si } u > -1 \end{array} \right. \) 9. I.3.3 Démontrer que pour tout entier $n$ non nul, on a :\\ \( \int_{0}^{1} (1-x^2)^n dx \leq \int_{0}^{+\infty} e^{-nx^2} dx \leq \int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{(1+x^2)^n}. \) 10. I.3.4 En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :\\ $W_{2n+1} \leq \frac{\Delta}{\sqrt{n}} \leq W_{2n-2}$.\\ En admettant que $W_n \sim_{+\infty} \frac{\pi}{2n}$, calculer $\Delta$.} 11. II.1.1 Justifier l’existence, pour tout réel $b$, de l’intégrale :\\ $ h(b) = \int_{0}^{+\infty} \cos(2bt)\exp(-t^2) dt. $ 12. II.1.2 La forme différentielle $\omega$ est-elle exacte sur $\mathbb{R}^2$ ? 13. II.1.3 Étant donnés deux réels strictement positifs $a$ et $b$, on note $P$ le pavé de $\mathbb{R}^2$ défini par : $0 \leq x \leq a$ et $0 \leq y \leq b$. On note $\gamma$ le bord de $P$ orienté dans le sens trigonométrique. Quelle est la valeur de l’intégrale curviligne $\int_{\gamma} \omega$ ? 14. II.1.4 En évaluant l’intégrale curviligne de $\omega$ le long des segments qui forment $\gamma$, déterminer $h(b)$ en fonction de $b$ et $\Delta$. 15. II.2.1 Montrer que l’on définit une fonction $\varphi$ paire et continue sur $\mathbb{R}$ en posant :\\ $ \varphi(x) = \int_{0}^{+\infty} \exp\left(-t^2 – \frac{x^2}{t^2}\right) dt. $ } 16. II.2.2 Montrer que $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]0, +\infty[$. 17. II.2.3 Déterminer une constante $\alpha$ telle que pour tout $x \in ]0, +\infty[$ on ait :\\ $\varphi'(x) = \alpha \varphi(x)$. 18. II.2.4 Expliciter $\varphi(x)$ pour $x \in ]0, +\infty[$, puis pour $x \in \mathbb{R}$. 19. III.1.1 Vérifier que l’on définit une fonction $\psi$, continue sur $\mathbb{R}$, paire en posant :\\ $ \psi(x) = \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos(2xt)}{1+t^2} dt. $ 20. III.1.2 Calculer $\psi(0)$.} 21. III.2 Soit $p \in \mathbb{N}^{*}$ et $j_p$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :\\ $j_p(x) = \int_{0}^{p} y \exp\left(- (1 + x^2) y^2\right) dy.$\\ Montrer que $(j_p)_{p \in \mathbb{N}}$ est une suite de fonctions continues qui converge simplement sur $\mathbb{R}$. Expliciter sa limite. 22. III.3 Désormais, $a$ désigne un réel. Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $k_n$ fonction définie sur $\mathbb{R}_+$ par :\\ $k_n(y) = \int_{0}^{n} y\exp(-y^2 x^2)\cos(2ax) dx.$\\ Montrer que $(k_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est une suite de fonctions continues qui converge simplement sur $\mathbb{R}_+$. Expliciter sa limite. 23. III.4 Soit $u_{n,p} = \int_{0}^{n} j_p(x) \cos(2ax) dx$ avec $n \in \mathbb{N}^*$ et $p \in \mathbb{N}^*$. 24. III.4.1 Justifier l’existence de $\lim\limits_{p\to+\infty} u_{n,p}$ et l’expliciter sous forme d’une intégrale. 25. III.4.2 Montrer que $u_{n,p} = \int_{0}^p k_n(y)\exp(-y^2)dy$.} 26. III.5 Justifier l’intégrabilité sur $[0,+\infty[$ de la fonction $y \mapsto k_n(y)\exp(-y^2)$. 27. III.6 Calculer $\psi(x)$.}FAQ
Au concours CCINP PSI, tu tomberas souvent sur des fonctions définies à partir d’exponentielles, de polynômes ou de séries. L’étude de leur parité (paire/impair), leur régularité (continuité, dérivabilité, indéfiniement dérivable), et la recherche de leur développement en série de Taylor ou de Maclaurin, sont des thèmes fondamentaux — exactement comme dans le sujet 2013. Ces fonctions sont la porte d’entrée vers plein de techniques d’intégration et d’approximation.
En CPGE, tu vas rencontrer des intégrales où l’intégrande dépend d’un paramètre (par exemple, intégrales de la forme \( I(b) = \int f(x, b) dx \)). Savoir les manipuler est incontournable : elles servent à démontrer la continuité, à effectuer des échanges de limites et à introduire des techniques puissantes comme l’intégration par parties ou le changement de variable. Ce genre de question est récurrent en concours, notamment dans les sujets d’analyse du CCINP. Pour t’entraîner sur ces aspects, pense à consulter les corrigés détaillés en débloquant ceux de Prépa Booster, c’est la clé pour acquérir des réflexes !
Maîtriser les séries entières te permet de représenter des fonctions compliquées sous forme de sommes infinies, ce qui te donne un outil supplémentaire pour calculer des dérivées, intégrer, ou encore approximer des fonctions près d’un point (typiquement autour de zéro). Les sujets type CCINP (comme celui de 2013) te demandent souvent de retrouver des coefficients, de prévoir la parité des fonctions, ou encore d’exploiter le rayon de convergence. Les corrigés détaillés disponibles sur Prépa Booster pourront t’aider à t’entraîner concrètement sur ces points !
Reconnaître qu’une fonction est paire ou impaire te permet parfois de simplifier drastiquement les calculs, que ce soit lors de l’intégration sur des intervalles symétriques ou pour prédire la nullité de certaines dérivées ou coefficients dans un développement. C’est également une bonne manière de vérifier ses calculs, car la parité est conservée dans certains types d’opérations (comme la dérivation selon l’ordre). En concours, bien repérer ces propriétés peut te faire gagner un temps précieux pour avancer plus vite dans le sujet.
Les inégalités permettent d’encadrer la valeur d’une intégrale ou d’une suite, et servent souvent à étudier leur convergence ou leur comportement à l’infini. C’est un classique en analyse pour démontrer qu’une suite tend vers une limite ou que telle fonction est intégrable. Dans le concours CCINP PSI, c’est typique de devoir utiliser ces encadrements pour arriver à une borne précise ou pour prouver l’existence d’une limite.
La notion de forme différentielle exacte est essentielle en analyse et en topologie : elle intervient dès lors que tu manipules des champs de vecteurs ou des intégrales curvilignes. Savoir déterminer si une forme est exacte ou non t’aide à appliquer des théorèmes comme celui de Green, et à interpréter la nullité des intégrales sur des chemins fermés. Cette notion structure assez souvent un exercice d’analyse ou de géométrie différentielle en CCINP PSI.
La convergence simple (parfois la convergence uniforme) te permet de justifier qu’on peut échanger limite, intégrale et dérivée dans un raisonnement. Cela garantit la rigueur de tes démonstrations, surtout quand il s’agit de manipuler des intégrales paramétriques ou de passer à la limite sous le signe de l’intégrale, ce qui revient systématiquement dans les sujets d’analyse du concours. C’est souvent à ce moment qu’on peut se démarquer, alors autant s’y entraîner sérieusement !
Pour progresser, l’idéal est de te confronter au sujet par toi-même, puis de comparer ta démarche aux corrigés détaillés proposés sur Prépa Booster, après avoir débloqué les corrigés. Tu y retrouveras pas à pas les techniques clés, des astuces de rédaction, et les points de vigilance pour ne pas perdre de points au concours. Grâce au dashboard personnalisé, tu peux aussi cibler précisément tes faiblesses et progresser efficacement sur ces notions d’analyse.