Questions du sujet
1. I.1. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$. Déterminer sa fonction génératrice, puis en déduire son espérance et sa variance.} 2. II.1. Justifier que pour tout entier naturel non nul $n$, les fonctions $f_n$ sont intégrables sur $I$ et calculer $\int_0^{+\infty} f_n(x)\,dx$. Que vaut alors la somme $\sum_{n=1}^{+\infty} \left( \int_0^{+\infty} f_n(x)\,dx \right)$~?} 3. II.2. Démontrer que la série de fonctions $\sum_{n\geq 1} f_n$ converge simplement sur $I$. Déterminer sa fonction somme $S$ et démontrer que $S$ est intégrable sur $I$. Que vaut alors $\int_0^{+\infty} \left( \sum_{n=1}^{+\infty} f_n(x) \right)dx$~?} 4. II.3. Donner, sans aucun calcul, la nature de la série $\sum_{n\geq 1} \left( \int_0^{+\infty} |f_n(x)|\,dx \right)$.} 5. III.1. Soit $h$ la fonction définie sur l’intervalle $]0,1]$ par~: $\forall x \in ]0,1] ,~ h(x) = \frac{1}{x}$. Expliquer pourquoi $h$ ne peut être uniformément approchée sur l’intervalle $]0,1]$ par une suite de fonctions polynômes. Analyser ce résultat par rapport au théorème de Weierstrass.} 6. III.2. Soit $N$ entier naturel non nul, on note $P_N$ l’espace vectoriel des fonctions polynômiales sur $[a,b]$, de degré inférieur ou égal à $N$. Justifier que $P_N$ est une partie fermée de l’espace des applications continues de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$ muni de la norme de la convergence uniforme.\\ Que peut-on dire d’une fonction qui est limite uniforme sur $[a,b]$ d’une suite de polynômes de degré inférieur ou égal à un entier donné~?} 7. III.3. Cette question illustre la dépendance d’une limite vis-à-vis de la norme choisie.\\ Soit $\mathbb{R}[X]$ l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Soient $N_1$ et $N_2$ deux applications définies sur $\mathbb{R}[X]$ ainsi~: pour tout polynôme $P$ de $\mathbb{R}[X]$, $N_1(P) = \sup_{x \in [-2,-1]} |P(x)|$ et $N_2(P) = \sup_{x\in[1,2]} |P(x)|.$ \begin{itemize} \item[III.3.a.] Vérifier que $N_1$ est une norme sur $\mathbb{R}[X]$. On admettra que $N_2$ en est également une. \item[III.3.b.] On note $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[-2,2]$ ainsi : pour tout $x \in [-2,-1]$, $f(x) = x^2$, pour tout $x \in [-1,1]$, $f(x) = 1$ et pour tout $x \in [1,2]$, $f(x) = x^3$.\\ Représenter graphiquement la fonction $f$ sur l’intervalle $[-2,2]$ et justifier l’existence d’une suite de fonctions polynômes $(P_n)$ qui converge uniformément vers la fonction $f$ sur $[-2,2]$. \end{itemize} } 8. Démontrer que cette suite de polynômes $(P_n)$ converge dans $\mathbb{R}[X]$ muni de la norme $N_1$ vers $X^2$ et étudier sa convergence dans $\mathbb{R}[X]$ muni de la norme $N_2$.} 9. III.4. Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. On suppose que pour tout entier naturel $k$, $\int_a^b x^k f(x)\,dx = 0$ \quad ($\int_a^b x^k f(x)\,dx$ est le moment d’ordre $k$ de $f$ sur $[a,b]$).\\ \begin{itemize} \item[III.4.a.] Si $P$ est une fonction polynôme, que vaut l’intégrale $\int_a^b P(x)f(x)\,dx$~? \item[III.4.b.] Démontrer, en utilisant le théorème de Weierstrass, que nécessairement $f$ est la fonction nulle. On pourra utiliser sans le démontrer le résultat suivant : si $(g_n)$ est une suite de fonctions qui converge uniformément vers une fonction $g$ sur une partie $I$ de $\mathbb{R}$ et si $f$ est une fonction bornée sur $I$, alors la suite de fonctions $(f.g_n)$ converge uniformément sur $I$ vers la fonction $f.g$. \end{itemize} } 10. III.5. Application\\ Soit $E$ l’espace vectoriel des applications continues de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$ muni du produit scalaire défini pour tout couple $(f, g)$ d’éléments de $E$ par $(f |g) = \int_a^b f(x)g(x)dx$.\\ On note $F$ le sous-espace vectoriel de $E$ formé des fonctions polynômes définies sur $[a,b]$ et $F^\perp$ l’orthogonal de $F$. Déterminer $F^\perp$. A-t-on $E = F \oplus F^\perp$~?} 11. III.6. \begin{itemize} \item[III.6.a.] Pour tout entier naturel $n$, on pose $I_n = \int_0^{+\infty} x^n e^{-(1-i)x} dx$. Après avoir démontré l’existence de ces intégrales, établir une relation entre $I_{n+1}$ et $I_n$ et démontrer que, pour tout $n$ non nul, $I_n = \frac{n!}{(1-i)^{n+1}}$. \item[III.6.b.] En déduire que, pour tout entier naturel $k$, $\int_0^{+\infty} x^{4k} e^{-x} x^3 \sin x\,dx = 0$. \item[III.6.c.] Proposer une fonction $f$ continue sur $[0,+\infty[$, non nulle et vérifiant~: pour tout entier naturel $k$, $\int_0^{+\infty} u^k f(u)du = 0$. \item[III.6.d.] Expliquer pourquoi la fonction $f$ proposée à la question précédente ne peut être uniformément approchée sur $[0,+\infty[$ par une suite de polynômes. \end{itemize} } 12. III.7. Question préliminaire\\ Soit $x \in [0,1]$, on note $I = ]-\infty,\sqrt{x}]$ et on pose, pour tout $t \in I$, $g_x(t) = t + \frac{1}{2}(x-t^2)$. On définit la suite $(u_n)$ par $u_0 = 0$ et la relation de récurrence valable pour tout entier naturel $n$ par~:\\ $u_{n+1} = u_n + \frac{1}{2}\left(x – (u_n)^2\right) = g_x(u_n)$.\\ Démontrer que la suite $(u_n)$ converge et déterminer, en fonction du réel $x$, sa limite. } 13. III.8. Proposer un exemple de suite $(f_n)$ de fonctions continues sur $[a,b]$ qui converge simplement mais non uniformément sur $[a,b]$ vers une fonction $f$ qui est continue. Il sera possible de s’appuyer sur une représentation graphique sans nécessairement donner $f_n$ sous forme analytique.} 14. III.9. Application\\ Soit $(P_n)$ la suite de fonctions polynômes définie par~: \\ $P_0(x) = 0$ et pour tout entier naturel $n,~ P_{n+1}(x) = P_n(x) + \frac{1}{2}\left( x – (P_n(x))^2 \right)$.\\ \begin{itemize} \item[III.9.a.] Justifier que la suite $(P_n)$ converge simplement vers la fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ sur l’intervalle $[0,1]$. \item[III.9.b.] Démontrer que la suite $(P_n)$ converge uniformément vers la fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ sur l’intervalle $[0,1]$. \end{itemize} } 15. III.10. Soit $S_n$ une variable aléatoire réelle suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n,x)$. \begin{itemize} \item[III.10.a.] Démontrer que, pour tout réel $\alpha > 0$, $P(|S_n-nx| > n\alpha) \leq \frac{1}{4n\alpha^2}$. \item[III.10.b.] Soit la variable aléatoire $f\left(\frac{S_n}{n}\right)$, démontrer que son espérance vérifie~: $E\left[ f\left(\frac{S_n}{n}\right) \right] = B_n(f)(x).$ \end{itemize} } 16. III.11. \begin{itemize} \item[III.11.a.] Soit $\varepsilon > 0$, justifier simplement qu’il existe $\alpha > 0$ tel que pour tout couple $(a,b) \in [0,1]^2$, $|a-b| \leq \alpha$ entraîne $|f(a)-f(b)| < \varepsilon$, puis majorer $|f(\frac{k}{n})-f(x)|$, pour tout entier $k$ entre $0$ et $n$ vérifiant $\left|\frac{k}{n}-x\right| \leq \alpha$. \item[III.11.b.] Justifier que $\sum_{|\frac{k}{n}-x| > \alpha} (f(\frac{k}{n})-f(x))\,P(S_n=k) \leq 2\|f\|_\infty P\left(|\frac{S_n}{n}-x| > \alpha\right)$. \item[III.11.c.] Démontrer qu’il existe un entier naturel $n_0$ tel que pour tout $n \geq n_0$ et tout réel $x \in [0,1]$, $|B_n(f)(x) – f(x)| \leq 2\varepsilon$, puis conclure. \end{itemize} }FAQ
Pour cet exercice du CCINP 2015, tu dois bien connaître la fonction génératrice des lois de Poisson et binomiale, savoir calculer espérance et variance, manipuler les probabilités pour des inégalités (type Bienaymé-Tchebychev), et comprendre l’importance de la linéarité de l’espérance ainsi que la convergence en loi, en particulier dans l’optique des approximations de Monte Carlo ou des méthodes d’estimation. Tu retrouveras toutes les méthodes détaillées en débloquant le corrigé complet sur Prépa Booster !
L’intégrabilité d’une famille de fonctions et la convergence (simple ou uniforme) des séries de fonctions sont cruciales en analyse, car elles te permettent non seulement de manipuler des sommes infinies ou des limites, mais aussi d’utiliser les puissants théorèmes d’interversion limite-intégrale (dominated convergence, monotone convergence). Cela intervient partout : développement en série de Fourier, polynômes d’approximation, ou estimation de solutions d’équations différentielles. Ces techniques sont fondamentales pour maîtriser l’analyse avancée en CPGE !
Le théorème de Weierstrass garantit que toute fonction continue sur un segment peut être uniformément approchée par des polynômes. Cela motive une bonne partie du programme : approximation, densité, fonctions lisses vs non lisses, et liens entre analyse et calcul effectif. Tu découvriras dans le sujet des exercices qui montrent où cette approximation échoue (par exemple, sur certains intervalles ouverts ou pour des fonctions singulières), point de départ idéal pour comprendre la portée et les limites de ce théorème en concours.
La convergence simple signifie que pour chaque x, les images f_n(x) tendent vers f(x). La convergence uniforme est une version plus forte : la convergence de f_n vers f ne dépend plus du point x, mais de l’ensemble dans lequel tu te trouves. En concours, on te demandera souvent de distinguer les deux, car la convergence uniforme préserve beaucoup plus de propriétés (continuité, intégrabilité). Comprendre ces différences est fondamental pour éviter les pièges classiques des sujets de maths de CCINP.
Pour montrer qu’une suite de polynômes converge uniformément vers une fonction sur un intervalle, tu dois souvent utiliser le théorème de Weierstrass ou déceler des obstacles liés au comportement aux bords (singularités, divergence, points où la fonction devient trop ‘infinie’). Certains exercices emblématiques (comme l’approximation de 1/x ou des fonctions non bornées) permettent d’ancrer ces notions dans la réalité des sujets CCINP. Débloque le corrigé pour voir l’approche pas-à-pas et t’entraîner sur d’autres fonctions classiques !
Les polynômes sont d’une grande souplesse : leur structure permet d’approcher quasiment toutes les fonctions régulières de l’analyse, grâce à la densité des familles de polynômes dans l’espace des fonctions continues (sur segment). En CPGE, tu apprends notamment à manipuler les séries de Taylor, de Fourier ou les polynômes de Bernstein, fondamentaux pour l’analyse numérique, la modélisation numérique et l’étude rigoureuse des fonctions réelles. La maîtrise de ces notions boostera ta performance le jour du concours.
Changer de norme, c’est changer le point de vue sur la distance entre deux fonctions : la convergence d’une suite peut dépendre de la norme choisie ! Cela a des conséquences directes en analyse fonctionnelle, approximation ou optimisation. Les exercices du CCINP 2015 font apparaître cette subtilité notamment via les exemples de convergence sur des intervalles différents ou avec des normes non équivalentes. C’est une notion qui reviendra plus tard si tu poursuis en école d’ingénieur ou en mathématiques plus avancées.
L’orthogonalité permet de définir des ‘projections’ optimales et de comprendre la décomposition d’une fonction en une partie polynomiale et une partie ‘résiduelle’, non approchable par polynômes. En CPGE, cela t’aide à traiter des problèmes d’approximation, de moindres carrés ou d’analyse spectrale, mais aussi à assimiler les bases de l’analyse fonctionnelle, omniprésente dans tous les parcours scientifiques de haut niveau. C’est également un outil central dans la résolution d’équations différentielles et l’algèbre linéaire avancée.
Ce sujet vérifie tout d’abord ta rigueur de raisonnement (démonstration, justification, rédaction), mais aussi ta polyvalence : il faut savoir manipuler la probabilité, l’analyse, l’algèbre, et relier les notions (fonctions génératrices, convergence, approximation, espaces vectoriels). Les questions demandent souvent de faire des liens entre cours et applications — c’est l’essence des mathématiques en classe prépa. Retrouve tous les corrigés détaillés et entraînements thématiques sur Prépa Booster !
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