L’algèbre linéaire étudie les structures vectorielles et les transformations qui les relient, en s’appuyant sur des concepts comme les espaces vectoriels, les matrices, les applications linéaires, les déterminants, ainsi que les valeurs propres et vecteurs propres. Elle fournit des outils pour résoudre des systèmes d’équations linéaires et comprendre la structure des transformations dans des espaces de dimensions variées. L’algèbre linéaire joue également un rôle dans de nombreux autres domaines mathématiques, comme l’analyse, la géométrie, et les probabilités, en offrant des méthodes de calcul et de modélisation qui sont largement applicables dans l’étude des phénomènes réels et abstraits.
Exercices utiles de Mathématiques en algèbre linéaire
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Exercices d’algèbre linéaire posés aux oraux XENS
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Exercices d’algèbre linéaire posés aux oraux Mines Ponts
Exercice 1 : Nombre de sous-ensembles entre deux ensembles
Soient \(A\) et \(B\) deux parties d’un ensemble \(E\). Déterminer le nombre de parties \(X \subset E\) telles que \(A \subset X \subset B\).
Indication
Correction
Exercices d’algèbre linéaire posés aux oraux Centrale
Exercice 1 : Application de l’inégalité triangulaire avec des nombres complexes
On se donne 4 points A, B, C, D du plan dont les affixes respectives sont a, b, c, d.
a. Montrer que : \(\forall\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}\right) \in \mathbb{C}^{3},\left|z_{2}\right|\left|z_{1}-z_{3}\right| \leqslant\left|z_{1}\right|\left|z_{2}-z_{3}\right|+\left|z_{3}\right|\left|z_{1}-z_{2}\right|\).
b. En déduire que \(A C . B D \leqslant A B . C D+A D . B C\).
c. Montrer que si \(A, B, C, D\) sont cocycliques “dans cet ordre” ( \(A, B, C\) et \(D\) sont sur un cercle \(\mathcal{C}\) et on rencontre ces 4 points sur \(\mathcal{C}\) dans l’ordre indiqué) alors \(A C . B D=A B . C D+A D . B C\).
Indication
Correction
Exercice 2 : Montrer la bijectivité d’une application complexe
Soit \(\Phi : \mathbb{C}^{+} \to \mathbb{D}\), avec \(\Phi(z) = \frac{z – i}{z + i}\). On souhaite montrer que \(\Phi\) est bijective.
Indication
Correction
Exercice 3 : Résolution d’une équation complexe
Soit \(z_{0}\) un nombre complexe fixé.\
a. Soit \(\theta \in]-\pi ; \pi\left[\right.\), déterminer en fonction de \(\theta\) le module et un argument de \(1+e^{i \theta}\).\\
b. Résoudre (E) : \(z+|z|=z_{0}\) selon les valeurs de \(z_{0}\) (on cherche les solutions complexes \(z\) ).\
Indication
Correction
Exercice 4 : Produit de termes complexes avec racines de l’unité
Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et \(\omega = e^{\frac{2i\pi}{n}}\).
a) Montrer que :
\[
\forall (a, b) \in \mathbb{C}^{2}, \quad \prod_{k=0}^{n-1}\left(a + \omega^{k} b\right) = a^{n} – (-b)^{n}.
\]
b) Avec ces notations, établir que
\[ \forall \theta \in \mathbb{R}, \quad \prod_{k=0}^{n-1}\left(\omega^{2k} – 2 \omega^{k} \cos (\theta) + 1\right) = 2(1 – \cos (n\theta)). \]
Indication
Correction
Exercice 5 : Alignement de points dans le plan complexe
Déterminer les \(z \in \mathbb{C}\) tels que \(z\), \(z^{2}\), et \(z^{5}\) soient alignés.