Rapport du jury Mines Ponts 2017

Soit $f:{\mathbb{C}}_n[X]\to {\mathbb{C}}_n[X]$ définie par
$$f(P)=(X^2+X)P(1)+(X^2–X)P(-1),$$
où $f$ est un endomorphisme de ${\mathbb{C}}_n[X]$.

1. Déterminer le noyau et l’image de $f$.
2. Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de $f$. L’endomorphisme $f$ est-il diagonalisable ?

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Soit ${\left(x_n\right)}_{n⩾0}$ définie par : $x_0=1$ et $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}$. Donner un équivalent de $x_n$ quand $n\to +\mathrm{\infty }$.

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On suppose que la série de terme général $a_n>0$ est divergente. Soit, pour tout entier $n$, $S_n=a_0+\cdots +a_n$ et $b_n=\frac{a_{n+1}}{S_n}$.
Déterminer la nature de la série de terme général $b_n$.

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Soient $A$ et $B$ deux parties d’un ensemble $E$. Déterminer le nombre de parties $X\subset E$ telles que $A\subset X\subset B$.

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Soit une fonction continue $f:]0;+\mathrm{\infty }[\to \mathbb{R}$ telle que $\mathrm{\forall }(x,y)\in ]0;+\mathrm{\infty }[{}^2,f(xy)=f(x)+f(y)$

a. Calculer $f(1)$. Pour $x\in ]0;+\mathrm{\infty }[$, comparer $f(x)$ et $f\left(\frac{1}{x}\right)$.
b. Montrer que $\mathrm{\forall }x\in ]0;+\mathrm{\infty }[,f(x)=\frac{1}{x}{\int }_x^{2x}f(t)dt-{\int }_1^{2}f(t)dt$.
c. Montrer que f est dérivable sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ et en déduire f .

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a) Montrer qu’il existe un unique $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\lambda –\sin (t)}{t}dt$ converge.

Considérons $T>0$ et soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction continue et $T$-périodique.
b) Montrer qu’il existe un unique $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\lambda –f(t)}{t}dt$ converge.

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