Les séries numériques sont un outil fondamental en mathématiques, car elles permettent de représenter des sommes infinies et d’analyser leur comportement. Elles jouent un rôle central dans de nombreux domaines, comme la physique, l’ingénierie ou l’économie, en offrant des solutions efficaces pour modéliser des phénomènes complexes.
L’importance des séries numériques réside principalement dans leur capacité à déterminer si une suite infinie de termes converge vers une valeur finie ou diverge. Cette analyse est cruciale pour de nombreuses applications, notamment en développement en séries, qui permet de représenter des fonctions compliquées de manière approchée et simplifiée. Les séries de Fourier et de Taylor, par exemple, reposent sur des concepts de séries numériques et sont des outils incontournables pour l’analyse des signaux et la résolution d’équations différentielles.
Exercices utiles de Mathématiques sur les séries numériques
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Exercices sur les séries numériques posés aux oraux XENS
Exercice 1 : Convergence d’une série en lien avec une suite bornée
Soit \( \left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}^*} \) une suite réelle strictement positive, décroissante et de limite nulle. On suppose que la suite de terme général \( v_n = \left( \sum_{k=1}^n u_k \right) – n u_n \) est bornée. Montrer que la série de terme général \( u_n \) converge.
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Exercices sur les séries nuémriques posés aux oraux Mines Ponts
Exercice 1 : Équivalent d’une suite définie par une relation de récurrence.
Soit $\left(x_n\right)_{n \geqslant 0}$ définie par : $x_0=1$ et $\forall n \in \mathbb{N}, x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}$. Donner un équivalent de $x_n$ quand $n \rightarrow+\infty$.
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Exercice 2 : Nature d’une série liée à un rapport
On suppose que la série de terme général $a_n > 0$ est divergente. Soit, pour tout entier $n$, $S_n = a_0 + \cdots + a_n$ et $b_n = \frac{a_{n+1}}{S_n}$.
Déterminer la nature de la série de terme général $b_n$.
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Exercices sur l’intégration posés aux oraux Centrale
Exercice 1 : Critères de convergence pour les séries alternées et les séries à termes décroissants
Soient deux réels $\alpha$ et $\beta$.
a. À quelle condition la série $\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n^\alpha}$ converge ? Si c’est le cas, quel est le signe de $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^\alpha}$ ?
b. À quelle condition la série $\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n^\beta}$ converge ? Si c’est le cas, montrer que $\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^\beta} \sim \frac{1}{+\infty} \frac{1}{(\beta-1) n^{\beta-1}}$.
c. Sous ces conditions, quand la série de terme général $w_n=\frac{\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^\beta}}{\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k^\alpha}}$ converge-t-elle ?
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Exercice 2 : Comportement de suites et séries associées
Soit $\left(a_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de réels strictement positifs et $\left(b_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que $b_0 = 1$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $b_{n+1} = b_n + \frac{a_n}{b_n}$.
a. Justifiez que si $\left(b_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ converge, alors $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0$.
b. Montrez que la convergence de $\left(b_n\right){n \in \mathbb{N}}$ est équivalente à la convergence de la série $\sum_{n \geqslant 0} {a_n}$.