Énoncé du théorème de Bernoulli
Pour un fluide parfait et incompressible en écoulement stationnaire, le théorème de Bernoulli nous assure que :
\begin{equation}
\frac{P}{\rho} + \frac{v^2}{2} + gz = \text{constant} \tag{1}
\end{equation}
où :
- \( P \) est la pression du fluide,
- \( \rho \) est la masse volumique du fluide,
- \( v \) est la vitesse d’écoulement du fluide,
- \( g \) est l’accélération due à la gravité,
- \( z \) est la hauteur par rapport à une référence.
Ce qui s’écrit entre 2 points A et B le long de l’écoulement :
\begin{equation} \frac{P_A}{\rho} + \frac{v_A^2}{2} + g z_A = \frac{P_B}{\rho} + \frac{v_B^2}{2} + g z_B \tag{2} \end{equation}
où :
- \( P_A \) et \( P_B \) sont les pressions aux points \( A \) et \( B \),
- \( v_A \) et \( v_B \) sont les vitesses du fluide aux points \( A \) et \( B \),
- \( z_A \) et \( z_B \) sont les hauteurs des points \( A \) et \( B \) par rapport à l’altitude de référence,
- \( \rho \) est la masse volumique du fluide,
- \( g \) est l’accélération due à la gravité.
Remarques :
- Le théorème de Bernoulli exprime la conservation de l’énergie.
Pour un fluide parfait et incompressible en écoulement stationnaire, la puissance des forces de viscosité est nulle et qu’il n’y pas d’échange de travaux avec des parties mobiles, comme des pompes ou des turbines.
- Dans l’équation (1) : \[ \frac{P}{\rho} \text{ représente l’énergie de pression par unité de masse,} \] \[ \frac{v^2}{2} \text{ représente l’énergie cinétique par unité de masse,} \] \[ gz \text{ représente l’énergie potentielle par unité de masse.} \]
Applications du théorème de Bernoulli
Formule de Torricelli
Elle donne la vitesse d’écoulement d’un fluide à travers l’orifice de sortie d’un réservoir vertical. La section de l’orifice de sortie doit être très inférieure à celle du réservoir qui contient le fluide. Si on note h la hauteur entre la surface libre et le jet, alors la vitesse du fluide éjecté vaut : \begin{equation} v = \sqrt{2gh} \end{equation}.
Démonstration :
Pour démontrer cette formule, appliquons le théorème de Bernoulli entre un point \( A \), situé à la surface libre du fluide, et un point \( B \) à l’orifice de sortie.
On suppose que :
- Le fluide est incompressible
- L’écoulement est stationnaire
- Les pertes de charge sont négligées.
- s << S où s est la surface du trou de vidange et S la surface du réservoir.
Ainsi, comme la conservation du débit volumique impose que : \begin{equation} v_a \, S = v_b \, s \end{equation} on a : \begin{equation} v_a = \frac{v_b \, s}{S} << v_b \end{equation}.
La vitesse à la surface libre du réservoir (point \( A \)) est donc négligeable, soit \( v_A \approx 0 \).
En appliquant le théorème de Bernoulli entre les points \( A \) et \( B \), on a : \begin{equation} \frac{P_A}{\rho} + \frac{v_A^2}{2} + g z_A = \frac{P_B}{\rho} + \frac{v_B^2}{2} + g z_B \end{equation}
À la surface libre (point \( A \)), la pression est égale à la pression atmosphérique \( P_0 \), et à l’orifice de sortie (point \( B \)), la pression est également \( P_0 \) car le fluide s’écoule dans l’air.
Puisque \( P_A = P_B = P_0 \), les termes de pression se simplifient.
La différence de hauteur entre les points \( A \) et \( B \) est \( h \), donc \( z_A – z_B = h \).
En remplaçant dans l’équation, on obtient : \begin{equation} 0 + g h = \frac{v_B^2}{2} \end{equation}
En isolant \( v_B \), la vitesse à l’orifice de sortie : \begin{equation} \boxed{v_B = \sqrt{2gh}} \end{equation}
Effet Venturi
Considérons un fluide vérifiant les hypothèses du théorème de Bernoulli en écoulement dans une conduite circulaire.
Lorsque la section de la conduite diminue, la vitesse d’écoulement du fluide augmente afin de respecter la conservation du débit volumique. Le fluide en écoulement subit alors une dépression là où sa vitesse augmente (i.e. là où la conduite se réduit).
Le schéma suivant met en lumière la variation de pression.
Tube de Pitot
Le tube de Pitot est un instrument qui permet de mesurer la vitesse d’un fluide, l’air ou l’eau par exemple, en s’appuyant sur le théorème de Bernoulli. Inventé par Henri Pitot au XVIIIe siècle, ce dispositif est largement utilisé en aéronautique, en hydraulique et dans les systèmes de ventilation pour évaluer les vitesses de flux.
Un tube de Pitot se compose de deux tubes concentriques :
- Le premier, orienté directement dans le sens de l’écoulement du fluide, capte la pression totale (pression dynamique + pression statique) au point d’impact.
- Le second, généralement équipé de petits orifices sur le côté, mesure uniquement la pression statique du fluide environnant.
En appliquant le théorème de Bernoulli, la différence entre la pression totale \( P_{\text{total}} \) et la pression statique \( P_{\text{statique}} \) permet de calculer la vitesse \( v \) du fluide :
\begin{equation} P_{\text{total}} – P_{\text{statique}} = \frac{1}{2} \rho v^2 \end{equation} En isolant \( v \), on obtient : \begin{equation} v = \sqrt{\frac{2 \left( P_{\text{total}} – P_{\text{statique}} \right)}{\rho}} \end{equation}
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