Rapports de jury complets Mines Ponts 2025

Questions du sujet

Questions du sujet

1. Donner le nombre d'électrons de valence des éléments bore, azote et hydrogène.

2. Dessiner la structure de Lewis de la borazine.

3. Quelle est la géométrie autour des atomes de bore et d'azote ?

4. Quel est du bore ou de l'azote l'élément le plus électronégatif? Justifier votre réponse.

5. Dessiner la maille du nitrure de bore (les atomes de bore seront représentés par un disque et ceux d'azote par une croix). Quelle est la nature des liaisons entre les atomes?}

6. Déterminer le nombre d'atomes par maille pour chaque élément ainsi que leur coordinence, dont on précisera la définition.

7. Calculer le paramètre de maille \(a\) associé à cette maille, sachant que les atomes de bore et d'azote sont en contact mais pas les atomes de bore entre eux.

8. Déterminer la masse volumique \(\rho\) du nitrure de bore.

9. Indiquer le nombre d'oxydation du zirconium dans chacune des quatre espèces \(\mathrm{Zr}_{(\mathrm{s})}\), \(\mathrm{ZrO}_{2(\mathrm{s})}\), \(\mathrm{Zr}_{(\mathrm{aq})}^{4+}\) et \(\mathrm{HZrO}_{3(\mathrm{aq})}\) (l'oxygène et l'hydrogène sont dans leur état d'oxydation classique dans ces espèces).

10. Attribuer, en le justifiant, les différents domaines de prédominance ou d'existence (numérotés de A à C, Figure 1) parmi les différentes espèces considérées.}

11. Quelle concentration \(c_{0}\) de tracé a été utilisée pour établir ce diagramme ?

12. Par le calcul (et non par lecture sur la Figure 1), déterminer la valeur du coefficient b.

13. Quel serait le \(p \mathrm{H}\) associé à la frontière verticale entre les espèces \(\mathrm{HZrO}_{3(\mathrm{aq})}\) et \(\mathrm{ZrO}_{2(\mathrm{s})}\). Conclure sur l'absence d'une des espèces de ce diagramme \(E-p \mathrm{H}\).

14. Donner les relations \(E=\mathrm{f}(p \mathrm{H})\) des couples de l'eau, après avoir indiqué les demi-équations redox correspondantes (les pressions des gaz seront supposés égales à la pression standard \(P^{0}\)).

15. Le zirconium \(\mathrm{Zr}_{(\mathrm{s})}\) est-il stable en présence d'eau? Justifier, et écrire le cas échéant toutes les équations de réaction possibles.}

16. Indiquer, en le justifiant, le caractère endothermique ou exothermique de la réaction.

17. Calculer l'entropie standard de réaction et justifier qualitativement son signe.

18. Calculer l'enthalpie libre standard \(\Delta_{\mathrm{r}} G^{0}\) de réaction à 300 K dans le cadre de l'approximation d'Ellingham.

19. Déterminer la valeur de la constante d'équilibre \(K^{0}\) de la réaction à 300 K. La réaction peut-elle être considérée comme totale?

20. Préciser, en justifiant la réponse, le sens de variation de la constante d'équilibre \(K^{0}\) avec la température.}

21. Quelle est l'influence de la pression sur l'équilibre d'oxydation du carbure de zirconium? Justifier votre réponse.

22. Conclure quant aux conditions opératoires optimales pour cette réaction.}

Questions du sujet

1. Donner le nombre d'électrons de valence des éléments bore, azote et hydrogène.

2. Dessiner la structure de Lewis de la borazine.

3. Quelle est la géométrie autour des atomes de bore et d'azote ?

4. Quel est du bore ou de l'azote l'élément le plus électronégatif? Justifier votre réponse.

5. Dessiner la maille du nitrure de bore (les atomes de bore seront représentés par un disque et ceux d'azote par une croix). Quelle est la nature des liaisons entre les atomes?}

6. Déterminer le nombre d'atomes par maille pour chaque élément ainsi que leur coordinence, dont on précisera la définition.

7. Calculer le paramètre de maille \(a\) associé à cette maille, sachant que les atomes de bore et d'azote sont en contact mais pas les atomes de bore entre eux.

8. Déterminer la masse volumique \(\rho\) du nitrure de bore.

9. Indiquer le nombre d'oxydation du zirconium dans chacune des quatre espèces \(\mathrm{Zr}_{(\mathrm{s})}\), \(\mathrm{ZrO}_{2(\mathrm{s})}\), \(\mathrm{Zr}_{(\mathrm{aq})}^{4+}\) et \(\mathrm{HZrO}_{3(\mathrm{aq})}\) (l'oxygène et l'hydrogène sont dans leur état d'oxydation classique dans ces espèces).

10. Attribuer, en le justifiant, les différents domaines de prédominance ou d'existence (numérotés de A à C, Figure 1) parmi les différentes espèces considérées.}

11. Quelle concentration \(c_{0}\) de tracé a été utilisée pour établir ce diagramme ?

12. Par le calcul (et non par lecture sur la Figure 1), déterminer la valeur du coefficient b.

13. Quel serait le \(p \mathrm{H}\) associé à la frontière verticale entre les espèces \(\mathrm{HZrO}_{3(\mathrm{aq})}\) et \(\mathrm{ZrO}_{2(\mathrm{s})}\). Conclure sur l'absence d'une des espèces de ce diagramme \(E-p \mathrm{H}\).

14. Donner les relations \(E=\mathrm{f}(p \mathrm{H})\) des couples de l'eau, après avoir indiqué les demi-équations redox correspondantes (les pressions des gaz seront supposés égales à la pression standard \(P^{0}\)).

15. Le zirconium \(\mathrm{Zr}_{(\mathrm{s})}\) est-il stable en présence d'eau? Justifier, et écrire le cas échéant toutes les équations de réaction possibles.}

16. Indiquer, en le justifiant, le caractère endothermique ou exothermique de la réaction.

17. Calculer l'entropie standard de réaction et justifier qualitativement son signe.

18. Calculer l'enthalpie libre standard \(\Delta_{\mathrm{r}} G^{0}\) de réaction à 300 K dans le cadre de l'approximation d'Ellingham.

19. Déterminer la valeur de la constante d'équilibre \(K^{0}\) de la réaction à 300 K. La réaction peut-elle être considérée comme totale?

20. Préciser, en justifiant la réponse, le sens de variation de la constante d'équilibre \(K^{0}\) avec la température.}

21. Quelle est l'influence de la pression sur l'équilibre d'oxydation du carbure de zirconium? Justifier votre réponse.

22. Conclure quant aux conditions opératoires optimales pour cette réaction.}

Questions du sujet

1. Évaluer graphiquement les trois temps caractéristiques \( \tau_{1} < \tau_{2} < \tau_{3} \) qui apparaissent sur la courbe de la figure 1. Que peut-on conjecturer sur les origines respectives des variations de \( g \) sur chacune de ces échelles de temps ?

2. Rappeler la définition d'un référentiel galiléen, du référentiel de Copernic \( \mathscr{R}_{0} \) et du référentiel géocentrique \( \mathscr{R}_{g} \).

3. On considère que le référentiel \( \mathscr{R}_{0} \) est galiléen. Montrer que \( \mathscr{R}_{g} \) ne l'est pas.

4. Énoncer le théorème de Gauss gravitationnel, reliant notamment le champ de gravitation \( \overrightarrow{\mathcal{G}} \) et la constante de gravitation universelle \( G \). En déduire l'expression du champ \( \overrightarrow{\mathcal{G}}_{\mathbb{A}}(M) \) créé par un astre (A) pour \( AM > R_{\mathbb{A}} \), en fonction de \( G, m_{\mathbb{A}} \) et \( \overrightarrow{AM} \).

5.Donner la valeur approximative, en jours terrestres, de chacune des périodes \( T_{M}, T_{L}, T_{S} \). Déterminer la valeur numérique de \( \omega \) en radian par seconde.}

6.  En étudiant le mouvement de \( M \) dans le référentiel \( \mathscr{R}_{g} \), montrer que l'on peut exprimer \( \vec{g} \) sous la forme \( \vec{g} = \overrightarrow{\mathcal{G}}_{T}(M) + \vec{\gamma}_{0} + \vec{\gamma}_{1} \) où \( \vec{\gamma}_{0} \) s'exprime en fonction de \( \vec{\omega} \) et de \( \overrightarrow{TM} \) alors que \( \vec{\gamma}_{1} \) est simplement la différence entre \( \overrightarrow{\mathcal{G}}_{\mathbb{A}}(M) \) et \( \overrightarrow{\mathcal{G}}_{\mathbb{A}}(T) \).

7. Comment intervient le terme \( \vec{\gamma}_{0} \) dans la variation du champ de pesanteur locale ?

8. Déterminer l'expression de \( \delta g_{\mathbb{A}} \) en fonction de \( \vec{e}_{r} \) et de l'un des trois termes \( \overrightarrow{\mathcal{G}}_{\mathrm{T}}(M), \vec{\gamma}_{0} \) ou \( \vec{\gamma}_{1} \).

9.. Montrer que, dans cette approximation, \( \vec{\gamma}_{1} \) s'exprime sous la forme
\[ \vec{\gamma}_{1} = -\frac{G m_{\mathbb{A}}}{d_{\mathbb{A}}^{2}} \left( \overrightarrow{TM} + \mu \overrightarrow{TA} \right) \]
où l'on précisera l'expression de \( \mu \) en fonction de \( \overrightarrow{TM}, \overrightarrow{TA}, d_{\mathbb{A}}, R_{\mathrm{T}} \) et \( \Psi_{A} \). En déduire l'expression de \( \delta g_{\mathbb{A}} \) en fonction de \( G, m_{\mathbb{A}}, d_{\mathbb{A}}, R_{\mathrm{T}} \) et \( \Psi_{A} \).

10. Déterminer l'expression de \( |\delta g_{\mathbb{A}}| \) dans le cas particulier où \( \overrightarrow{TM} \) et \( \overrightarrow{TA} \) sont colinéaires et de même sens. Calculer alors, dans ce cas, les valeurs de \( |\delta g_{\mathbb{L}}| \) et \( |\delta g_{\mathbb{S}}| \), variations de \( g \) dues respectivement à la Lune et au Soleil ainsi que de leur rapport \( \kappa = |\delta g_{\mathbb{L}}| / |\delta g_{\mathbb{S}}| \). Commenter les valeurs obtenues.}

11. En prenant en compte les résultats des questions précédentes, écrire l'expression la plus simple possible de \( |\delta g| \) correspondant au modèle étudié en fonction notamment du temps \( t \). Après avoir tracé l'allure de la fonction \( t \mapsto |\delta g|(t) \) sur un mois, comparer ce résultat aux données expérimentales de la figure 1.

12. Déterminer les expressions de \( p_{\gamma} \) et \( p_{0} \) en fonction notamment de \( \lambda_{0} \) et \( T_{0} \), ainsi que leurs valeurs numériques. Commenter.

13. Dans cette vision classique, exprimer, en fonction de \( p_{0}, p_{\gamma}, m, g \) et \( \tau \), les distances \( d_{1, a} \) et \( d_{2, a} \) parcourues par chacune des particules dans la phase (a).

14. Exprimer, toujours en fonction de \( p_{0}, p_{\gamma}, m, g \) et \( \tau \), les distances \( d_{1, b} \) et \( d_{2, b} \) parcourues par chacune des particules dans la phase (b). En déduire que les centres des paquets d'ondes occupent la même position l'instant \( t = 2 \tau \). On notera \( z_{0} \) cette position.

15. Déterminer l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur \( V(z) \) en prenant \( V(0) = 0 \). En déduire la relation entre \( p(z), m, g, z \) et l'énergie mécanique \( E \) d'une particule soumise uniquement à l'action de la pesanteur.}

16. Montrer que les fonctions \( \phi \) et \( \zeta \) vérifient deux équations différentielles indépendantes. En déduire que \( \psi \) peut finalement s'écrire sous la forme \( \psi(z, t) = \phi(z) e^{-i \frac{E}{\hbar} t} \), et justifier que \( E \) est une constante réelle.

17. Montrer que \( \sigma \) est solution de l'équation différentielle
\[ \frac{\hbar}{i} \sigma'' + \sigma'^2 = 2 m [E - V(z)] \stackrel{\text{def}}{=} \hbar^{2} k^{2}(z) \]
En se limitant à l'ordre 1 en \( \hbar / i \) et en écrivant qu'un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles, établir le système d'équations différentielles vérifiées par \( \sigma_{0}(z) \) et \( \sigma_{1}(z) \), puis montrer que la fonction d'onde s'écrit alors sous la forme :
\[ \phi_{ \pm}(z) = \frac{\Phi_{0}}{\sqrt{k(z)}} \exp \left[ \pm i \int_{0}^{z} k(u) \mathrm{d} u \right] \]
où \( \Phi_{0} \) est une constante que l'on ne cherchera pas à déterminer. Préciser laquelle (\( \pm \)) de ces solutions est physiquement acceptable. Dans le cas particulier d'un potentiel uniforme \( V = V_{0} \), déterminer l'expression de \( \psi(z, t) \) et commenter cette dernière expression.

18. Déterminer l'expression de la longueur d'onde de de Broglie \( \lambda_{dB} \) associée à une particule de quantité de mouvement \( p \). Exprimer, en fonction de \( \frac{\mathrm{d} \lambda_{dB}}{\mathrm{d} z} \), la condition légitimant l'approximation d'ordre 1 pour \( \sigma \).

19. Déterminer, dans l'approximation \( \mathscr{A}_{0} \), les expressions \( k_{1a}, k_{1b}, k_{2a} \) et \( k_{2b} \) des grandeurs \( k_{1} \) et \( k_{2} \) en fonction de \( p_{0} \) et \( p_{\gamma} \) pour chacune des étapes (a) et (b). Déterminer les expressions de \( \varphi_{a}^{0} \) et \( \varphi_{b}^{0} \) déphasage entre les paquets lors de ces deux étapes. En déduire que \( \varphi^{0} \) s'exprime alors sous la forme \( \varphi^{0} = \mu g \) où l'on précisera l'expression de \( \mu \) en fonction de \( \tau \) et \( \lambda_{0} \), on déterminera également sa valeur numérique.

20. Montrer que \( s = s_{0} f(\varphi) \), où \( s_{0} \) est la valeur maximale du signal \( s \) et \( \varphi \mapsto f(\varphi) \) une fonction que l'on précisera.}

21. On désire pouvoir mesurer l'intensité de la pesanteur \( g \) avec une incertitude relative \( \delta g / g = 10^{-9} \). Déterminer la précision minimale avec laquelle on doit être capable de déterminer le déphasage \( \varphi \) pour obtenir la précision voulue sur la mesure de \( g \). Une variation du signal \( s \) est détectable uniquement si elle dépasse un seuil noté \( \Delta s \). À partir de l'étude du graphe de la fonction \( \varphi \mapsto f(\varphi) \) déterminer les valeurs de \( \varphi \) autour desquelles la mesure de \( g \) est la plus précise.

22. Montrer que \( \varphi_{a} = F(p_{0} + p_{\gamma}, d_{2, a}) - F(p_{0}, d_{1, a}) \) où \( F : (x, y) \mapsto K \left[ \left( x^{2} + \nu y \right)^{3/2} - x^{3} \right] \), on précisera les expressions de \( \nu \) et \( K \) en fonction notamment de \( m, g \) et \( \hbar \).

23. Évaluer le rapport \( m^{2} g d_{1, a} / p_{0}^{2} \). Conclure quant à la légitimité de l'approximation \( \mathscr{A}_{0} \).}

Questions du sujet

Questions du sujet

1. Quel est, à votre avis, la nature du « triangle relativiste » évoqué par la relation (1) ? Représenter celui-ci. Quelle est l'unité usuelle, dans le système international, de l'impulsion \(p\) ? du produit \(p c\) ?}

2. On appelle **énergie de repos** d'une particule la valeur \(E_{0}\) de l'énergie de celle-ci lorsque son impulsion est nulle. Exprimer \(E_{0}\) pour un proton et calculer sa valeur numérique.}

3. On s'intéresse d'abord aux particules vérifiant la relation (1) dans le cas de la limite classique, lorsque \(E_{c} \ll E_{0}\). En vous limitant au premier ordre non nul, donner dans ce cas une expression de \(E_{c}\) en fonction de l'impulsion \(p\) et de la masse \(m\) de la particule. Quelle est alors la relation entre l'impulsion \(\vec{p}\) et la vitesse \(\vec{v}\) d'une particule ? Quelle vitesse maximale peut-on donner à un proton pour rester dans la limite classique telle que \(E_{c} / E_{0}<1 \%\) ? Même question pour un électron.} 4. En déduire l'expression générale de l'énergie totale \(E=f\left(E_{0}, v, c\right)\) d'une particule de masse \(m\).} 5. Un photon est une particule associée à une onde électromagnétique dans le vide et dont la vitesse est donc égale à \(c\). Que peut-on en déduire, pour sa masse, de la relation \(E=f\left(E_{0}, v, c\right)\) établie à la question précédente ? Déduire de (2) l'expression de l'énergie \(E\) d'un photon en fonction de la longueur d'onde \(\lambda\) puis de la fréquence \(\nu\) de l'onde. Faire l'application numérique dans les cas des ondes lumineuses des domaines bleu (\(\lambda \sim 400 \, \mathrm{nm}\)) puis rouge (\(\lambda \sim 600 \, \mathrm{nm}\)). On pourra exploiter le fait que \(h c \simeq 1,2 \, \mathrm{eV} \times \mu \mathrm{m}\) et on exprimera \(E\) en eV.} 6. On admet que l'énergie totale du système après émission est identique à celle de l'atome au repos avant l'émission. En déduire la relation \(E=m c^{2}(\sqrt{1+2 \eta}-1)\) et exprimer \(\eta\) en fonction de \(\Delta E, m\) et \(c\).} 7. Dans le cas de l'atome d'hydrogène, \(\Delta E\) est de l'ordre de quelques électrons-volts. En déduire qu'on peut négliger l'énergie de recul de l'atome et conclure quant à la relation entre \(\Delta E=E_{i}-E_{f}\) et l'énergie \(E\) du photon émis.} 8. La résolution de l'équation de SCHRÖDINGER (1922) dans le cas de l'atome d'hydrogène montre que les valeurs de l'énergie \(E_{n}\) de l'atome sont quantifiées en fonction du nombre quantique principal \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et de la grandeur \(H=27,2 \, \mathrm{eV}\) selon la relation : \(E_{n}=-H /\left(2 n^{2}\right)\). Cette expression est confirmée par l'étude des ondes lumineuses, de longueur d'onde \(\lambda\), émises par un ensemble d'atomes d'hydrogène qui rayonnent par désexcitation depuis un état initial quantifié par \(n_{i}\) vers l'état final quantifié par \(n_{f}<n_{i}\). Lorsque l'état final est \(n_{f}=1\), montrer qu'il existe une \(\lambda_{\max}\) telle que \(\lambda \leqslant \lambda_{\max}\) et donner une estimation de \(\lambda_{\max}\). Quel est le domaine spectral correspondant à ces raies d'émission ? Lorsque l'état final est \(n_{f}>2\), montrer qu'il existe une \(\lambda_{\min}\) que l'on estimera, telle que \(\lambda \geqslant \lambda_{\min}\). Quel est le domaine spectral correspondant à ces raies d'émission ?}

9. Les raies d'émission de l'hydrogène dans le domaine visible (les raies de BALMER) ont été étudiées à partir de 1853 par ÄNGSTRÖM ; à quelles valeurs de \(n_{f}\) correspondent-elles ?}

10. L'interféromètre comporte deux lames de verre \(L_{1}\) et \(L_{2}\), parallèles, de même épaisseur \(e\) et de même indice optique \(n\), inclinées d'un angle \(\pi / 4\) relativement à l'axe \((O, \vec{e}_{x})\) normal au miroir fixe. La lame \(L_{1}\) est munie d'une couche semi-réfléchissante sur une seule de ses faces ; laquelle ? Justifier, en vous appuyant sur un schéma.}

11. Après réglage des vis \(V_{1}\) et \(V_{2}\) les miroirs fixe et mobile sont rendus rigoureusement perpendiculaires ; l'axe optique \((O, \vec{e}_{z})\) de l'oculaire est alors confondu avec la normale au miroir mobile et l'opérateur observe, au moyen de cet oculaire réglé à l'infini, des franges d'interférence. Quelle est la forme de ces franges ? Peut-on encore les observer si l'oculaire est déréglé ?}

12. Tout en observant les franges, l'observateur peut actionner la vis micrométrique et déplacer le miroir mobile dans le plan \((O, \vec{e}_{x}, \vec{e}_{y})\), le long de l'axe \((O, \vec{e}_{z})\). Relier le nombre \(\Delta N\) de franges sombres qui défilent au centre du champ et le décalage \(\Delta z\) du miroir mobile.}

13. Exprimer, au moyen d'un schéma approprié, la différence de marche observée à l'infini dans une direction donnée, en fonction de l'écart séparant les deux miroirs. Le déplacement maximal de la vis micrométrique à partir du contact optique est noté \(\Delta z_{\max}\). Déterminer, après ce déplacement, l'angle \(\Delta \theta\) qui sépare le centre de la figure de la première frange de même nature.}

14. Dans le cas d'une des raies de l'hydrogène atomique, on observe le défilement de \(N=3156\) franges pour un décalage \(\Delta z=1035 \pm 2 \, \mu \mathrm{m}\). S'agit-il de la raie \(H_{\alpha}\) ou \(H_{\beta}\) ? Avec quelle précision relative mesure-t-on sa longueur d'onde \(\lambda_{0}\) ? Que vaut alors \(\Delta \theta\) ? Commenter.}

15. Dans le cas où la source est rigoureusement monochromatique, de longueur d'onde \(\lambda_{0}\), exprimer l'intensité \(I(\delta)\) en fonction de \(I_{0}, \lambda_{0}\) et \(\delta\). Définir et calculer le facteur de contraste \(C\) des franges.}

16. Pour certaines sources bichromatiques les deux radiations émises sont de même intensité ; c'est le cas des lampes à vapeur de sodium, étudiées notamment par Michelson dans les conditions décrites en III.A. Expliciter l'intensité \(I\) observée en fonction de \(I_{0}\), de la différence de marche \(\delta\), de \(\lambda_{0}\) et de \(\Delta \lambda\). Exprimer le facteur de contraste \(C\) des franges et montrer comment il permet la mesure de \(\lambda_{0} / \Delta \lambda\).}

17. D'autres sources, comme celles émettant la raie \(H_{\alpha}\) de l'hydrogène, peuvent être écrites comme bichromatiques mais les intensités \(I_{1}\) et \(I_{2}<I_{1}\) émises aux longueurs d'onde \(\lambda_{1}\) et \(\lambda_{2}\) sont différentes. Pour quelle(s) valeur(s) de \(\delta\) le facteur de contraste des franges est-il minimal ? Quelle est cette valeur minimale ? Dans le cas de la raie double \(H_{\alpha}\), l'écart \(\Delta \lambda\) est de l'ordre de \(1,4 \times 10^{-11} \, \mathrm{m}\). Est-il possible de le mettre en évidence avec le montage proposé ci-dessus ?}

18. Quel est le rôle du circuit à circulation d'eau qui entoure le tube central ? Sur le spectre proposé en figure 4, quelle est l'unité de la graduation donnée en abscisse ? Quelle est, à votre avis, l'origine du fond continu (essentiellement dans le proche ultraviolet) marqué en trait pointillé gris ?}

19. Quelle propriété du spectre d'émission de la molécule hydroxyle HO est ici mise à profit ? Les raies d'émission du deutérium sont-elles, par rapport à celle de l'hydrogène ordinaire, décalées vers le bleu ou vers le rouge ? De quelle résolution spectrale (en nanomètre) faut-il disposer pour séparer les raies de l'hydrogène et celles du deutérium ? À partir d'une lecture de la courbe de la figure 4, faire l'application numérique dans le cas de la raie \(H_{\beta}\).}

20. L'état associé à cette fonction d'onde est-il stationnaire ? Dans quel sens le mouvement de la particule décrite par cette onde a-t-il lieu ? Exprimer les vitesses de phase \(v_{\varphi}\) et de groupe \(v_{g}\) en fonction de \(E\), de \(p(E)\) et de sa dérivée.} 21. Exprimer \(p(E)\) et \(v_{g}(E)\) dans le cas d'une particule vérifiant l'équation de SCHRÖDINGER dans un domaine où \(V\) est constant. En déduire le caractère relativiste ou non du modèle associé à l'équation de SCHRÖDINGER.}

22. Répondre aux mêmes questions dans le cas d'une particule vérifiant l'équation de KLEIN-GORDON (5).}

23. Quelle est la nature de l'onde dans le domaine \(x \in[0, a]\) ? Quelles relations permettent de calculer \(\underline{R}\) et \(\underline{T}\) ? On ne demande pas de les exprimer ici ! Quel phénomène physique peut-on mettre ainsi en évidence ? Quelle est l'interprétation physique de \(|\underline{T}|^{2}\) ?}

24. Quelle est la nature de l'onde dans le domaine \(x \in[0, a]\) ? On notera qu'en introduisant \(\varepsilon=E-V_{0}\), on a \(q^{2}=\frac{\left(\varepsilon-m c^{2}\right)\left(\varepsilon+m c^{2}\right)}{c^{2}}>0\). Les mêmes relations que dans l'étude de la barrière de potentiel dans le cadre de l'équation de SCHRÖDINGER conduisent, pour l'onde de KLEIN-GORDON, à la relation (que l'on admettra) : \[ |\underline{T}|^{2}=\frac{1}{|\cos \varphi-\mathrm{i} \alpha \sin \varphi|^{2}} \quad \text{avec} \quad \alpha=\frac{1}{2}\left(\frac{p}{q}+\frac{q}{p}\right) \quad \text{et} \quad \varphi=\frac{q a}{\hbar}. \] Déterminer la valeur maximale de \(|\underline{T}|^{2}\). Commenter.}