Rapport du jury Mines Ponts 2020

Questions du sujet

1. Montrer que la relation ORTS est une relation d’équivalence sur $M_n$.

2. Montrer que les éléments de $S_n$ vérifient les conditions (C1), (C2), (C3) et (C4), et que ceux de $A_n$ vérifient les conditions (C1), (C2) et (C3).

3. Montrer que les éléments de $O_n$ vérifient les conditions (C2) et (C3).

4. Dans cette question seulement, on suppose $n = 2$. Montrer que les matrices $rT$, où $r > 0$ et $T \in O_2$, vérifient les conditions (C1) et (C4).

5. Montrer que si $A$ vérifie la condition (C1), alors $A$ vérifie la condition (C2).}

6. Montrer que si $A$ vérifie la condition (C2), alors $A$ vérifie la condition (C3).

7. Dans cette question seulement, on suppose $n = 2$ et soit $A = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \in M_2$ vérifiant la condition (C3). Montrer que $c = b$ ou bien ($b \neq 0$ et $c = -b$ et $a = d$). On pourra utiliser, par exemple, les vecteurs $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ de $E_2$. En déduire que $A$ vérifie la condition (C4).

8. Montrer que, pour tout réel $\lambda$, la matrice $A - \lambda I_n$ vérifie (C3).

9. En déduire que $A$ et $A^T$ ont les mêmes sous-espaces propres et qu’ils sont deux à deux orthogonaux.

10. En utilisant la question précédente, déterminer une condition nécessaire et suffisante sur la matrice $A$ pour qu’elle soit diagonalisable.}

11. Pour $n > 3$, montrer que $A$ est orthogonalement semblable à une matrice du type $\begin{pmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{pmatrix}$, où $A_1 \in M_p$ et $A_2 \in M_{n-p}$ vérifient (C3), avec $p \in \{1, 2\}$. On pourra commencer par montrer que toute matrice orthogonalement semblable à $A$ vérifie (C3).

12. Montrer que si $A$ vérifie la condition (C3), alors $A$ vérifie la condition (C4).

13. Établir l’existence d’un unique polynôme $P$ de $\mathbb{C}_{n-1}[X]$ tel que : $\forall k \in \{1,\ldots,n\},\ P(z_k) = z_k$ où $Z = \{z_1,...,z_n\}$, une famille de $n$ complexes deux à deux distincts. On suppose de plus que, pour tout $k \in \{1,...,n\}$, $z_k \in Z$. Montrer alors que le polynôme $P$ est réel.

14. Soient $(r, \theta) \in \mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}$ et $P \in \mathbb{R}[X]$ tel que $P(re^{i\theta}) = re^{-i\theta}$. Montrer que $P(rR(\theta)) = (rR(\theta))^T$. Lorsque $\sin \theta \neq 0$, on pourra utiliser la division euclidienne de $P$ par le polynôme caractéristique $\chi$ de la matrice $rR(\theta)$ de $M_2$.

15. Montrer que si $A \in M_n$ vérifie la condition (C4), alors $A$ vérifie la condition (C1).}

16. Pour tout $(r, \theta) \in \mathbb{R}_+^* \times \mathbb{R}$, montrer que les séries $\sum_{k \in \mathbb{N}} \frac{r^k \cos(k\theta)}{k!}$ et $\sum_{k \in \mathbb{N}} \frac{r^k \sin(k\theta)}{k!}$ convergent et calculer leur somme.

17. L’espace vectoriel $M_n$ est désormais muni de la norme $\lVert \cdot \rVert_\infty$ définie par :\\
\[
A = (A_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n} \in M_n,\ \lVert A \rVert_\infty = \max_{1 \leq i,j \leq n} |A_{i,j}|
\]
Montrer que, pour tout $(A, B) \in M_n^2$, $\lVert AB \rVert_\infty \leq n \lVert A \rVert_\infty \lVert B \rVert_\infty$.

18. Pour $A \in M_n$ et $p \in \mathbb{N}$, on pose $S_p(A) = \sum_{k=0}^p \frac{1}{k!}A^k$. Montrer que la suite $(S_p(A))_{p \in \mathbb{N}}$ converge dans $M_n$, vers une limite que l’on notera $\mathrm{Exp}(A)$, et que :
\[
\forall Q \in O_n, \mathrm{Exp}(Q^T A Q) = Q^T \mathrm{Exp}(A) Q
\]
On pourra montrer que, pour tous $1 \leq i, j \leq n$, la série numérique $\sum_{k \in \mathbb{N}} \frac{(A^k)_{i,j}}{k!}$ est absolument convergente.

19. Montrer que l’ensemble $E_n$ constitué des matrices normales de $M_n$ est un fermé de $M_n$. Qu’en déduit-on pour $\mathrm{Exp}(A)$, lorsque $A \in E_n$ ?

20. Soit $(r, \theta) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$. Montrer que $\mathrm{Exp}(rR(\theta)) = e^r \cos \theta R(r\sin\theta)$. En déduire que $\mathrm{Exp}(E_n)$ est l’ensemble des matrices de $M_n$ orthogonalement semblable aux matrices diagonales par blocs, dont chaque bloc diagonal est :
\begin{itemize}
\item soit du type $(\mu) \in M_1$, avec $\mu > 0$
\item soit du type $\lambda R(\varphi) \in M_2$, avec $\lambda > 0$ et $\varphi \in \mathbb{R}$.
\end{itemize}
}

21. On note $S_{n}^{++}$ l’ensemble des matrices symétriques de $M_n$ à valeurs propres strictement positives, et $F_n$ l’ensemble des matrices $B$ de $M_n$ vérifiant les deux conditions :
\begin{itemize}
\item les valeurs propres négatives de $B$ sont de multiplicité paire
\item il existe $S \in S_{n}^{++}$ et $T \in SO_n$ telles que $B = S T = T S$.
\end{itemize}
Démontrer que $\mathrm{Exp}(E_n) = F_n$.

22. La matrice $B = (B_{i,j}) \in M_n$ définie par :
\[
B_{i,j} =
\begin{cases}
1 & \text{si } 1 \leq i + 1 = j \leq n \text{ ou } (i, j) = (n, 1) \\
0 & \text{sinon}
\end{cases}
\]
est-elle l’exponentielle d’une matrice de $E_n$ ?}

Questions du sujet

1. Démontrer que M est semblable à une matrice complexe triangulaire supérieure, établir que les coecients diagonaux de cette dernière sont nuls, et en déduire que tr $u^k = 0$ pour tout $k \in \mathbb{N}^*$.

2. Justifier que $N_B$ est un sous-espace vectoriel de $L(E)$ de dimension $\frac{n(n-1)}{2}$, et mettre en évidence dans $N_B$ un élément nilpotent de nilindice $n$. On pourra introduire l’endomorphisme $u$ de $E$ défini par $u(e_i) = e_{i-1}$ pour tout $i \in [[2, n]]$, et $u(e_1)=0$.

3. Soit $u \in L(E)$. On se donne deux vecteurs $x$ et $y$ de $E$, ainsi que deux entiers $p \geq q \geq 1$ tels que $u^p(x) = u^q(y)=0$, $u^{p-1}(x) \neq 0$ et $u^{q-1}(y) \neq 0$. Montrer que la famille $(x, u(x),...,u^{p-1}(x))$ est libre, et que si $(u^{p-1}(x), u^{q-1}(y))$ est libre alors $(x, u(x),...,u^{p-1}(x), y, u(y),...,u^{q-1}(y))$ est libre.

4. Soit $u \in N(E)$, de nilindice $p$. Déduire de la question précédente que $p \leq n$ et que si $p \geq n - 1$ et $p \geq 2$ alors $\mathrm{Im}\ u^{p-1} = \mathrm{Im}\ u \cap \ker u$ et $\mathrm{Im}\ u^{p-1}$ est de dimension 1.

5. Calculer la dimension de $L(E, \mathbb{R})$ en fonction de celle de $E$. Montrer que $a \mapsto \varphi_a$ définit un isomorphisme de $E$ sur $L(E, \mathbb{R})$.}

6. On fixe $x \in E \setminus \{0\}$. Montrer que l’application $a \in E \mapsto a \otimes x$ est linéaire et constitue une bijection de $E$ sur $\{u \in L(E) : \mathrm{Im}\ u \subset \mathrm{Vect}(x)\}$.

7. Soit $a \in E$ et $x \in E \setminus \{0\}$. Montrer que $\mathrm{tr}(a \otimes x)=(a | x)$.

8. Soit $k \in \mathbb{N}^*$. Montrer qu’il existe une unique famille $(f_0^{(k)},...,f_k^{(k)})$ d’endomorphismes de $E$ telle que $\forall t \in \mathbb{R},\ (u + tv)^k = \sum\limits_{i=0}^k t^i f_i^{(k)}$. Montrer en particulier que $f_0^{(k)} = u^k$ et $f_1^{(k)} = \sum\limits_{i=0}^{k-1} u^i v u^{k-1-i}$. Pour l’unicité, on pourra utiliser une représentation matricielle.

9. À l’aide de la question précédente, montrer que $\sum\limits_{i=0}^{p-1} u^i v u^{p-1-i} = 0$.

10. Étant donné $k \in \mathbb{N}$, donner une expression simplifiée de $\mathrm{tr}(f_1^{(k+1)})$, et en déduire la validité du lemme C.}

11. Soit $y \in E$. En considérant, pour un $a \in K(V)^\ast$ quelconque, la fonction $t \in \mathbb{R} \mapsto (a | (u + tv)^{p-1}(y))$, démontrer que $f_1^{(p-1)}(y) \in K(V)$. À l’aide d’une relation entre $u(f_1^{(p-1)}(y))$ et $v(u^{p-1}(y))$, en déduire que $v(x) \in u(K(V))$ pour tout $x \in \mathrm{Im}\ u^{p-1}$.

12. Soit $x \in V^\bullet \setminus \{0\}$ tel que $K(V) \subset \mathrm{Vect}(x) + V_x$. On choisit $u \in V$ tel que $x \in \mathrm{Im}\ u^{p-1}$. Étant donné $y \in K(V)$, montrer que pour tout $k \in \mathbb{N}$ il existe $y_k \in K(V)$ et $\lambda_k \in \mathbb{R}$ tels que $y = \lambda_k x + u^k(y_k)$. En déduire que $K(V) \subset \mathrm{Vect}(x)$ puis que $v(x)=0$ pour tout $v \in V$.

13. Montrer que $V_x, W, \bar V$ et $Z$ sont des sous-espace vectoriels respectifs de $E, V, L(H)$ et $V$.

14. Montrer que $\dim \bar V = \dim(V_x) + \dim Z + \dim \bar V$.

15. Montrer qu’il existe un sous-espace vectoriel $L$ de $E$ tel que $Z = \{a \otimes x\ |\ a \in L\}$ et $\dim L = \dim Z$, et montrer qu’alors $x \in L^\perp$.}

16. En considérant $u$ et $(a \otimes x)$ pour $u \in \bar V$ et $a \in L$, déduire du lemme C que $V_x \subset L^\perp$, et que plus généralement $u^k(x) \in L^\perp$ pour tout $k \in \mathbb{N}$ et tout $u \in \bar V$.

17. Justifier que $\lambda x \notin V_x$ pour tout $\lambda \in \mathbb{R}^*$, et déduire alors des deux questions précédentes que $\dim V_x + \dim L \leq n-1$.

18. Soit $u \in W$. Montrer que $(\bar u)^k(z) = \varphi(u^k(z))$ pour tout $k \in \mathbb{N}$ et tout $z \in H$. En déduire que $\bar V$ est un sous-espace vectoriel nilpotent de $L(H)$.

19. Déduire des questions précédentes et du théorème A que\par
$\dim \bar V = \frac{(n-1)(n-2)}{2}$, \par
$\dim(\mathrm{Vect}(x) + V_x) + \dim L = n$ et \par
$L^\perp = \mathrm{Vect}(x) + V_x$. \par
En déduire que $\mathrm{Vect}(x) + V_x$ contient $v^k(x)$ pour tout $v \in \bar V$ et tout $k \in \mathbb{N}$.

20. En appliquant, entre autres, l’hypothèse de récurrence et la question précédente, montrer que le nilindice générique de $\bar V$ est supérieur ou égal à $n-1$, et que si en outre $V_x = \{0\}$ alors il existe une base de $E$ dans laquelle tout élément de $V$ est représenté par une matrice triangulaire supérieure stricte.}

21. Soit $v \in V$ tel que $v(x) \neq 0$. Montrer que $\mathrm{Im}\ v^{p-1} \subset \mathrm{Vect}(x) + V_x$. On pourra utiliser les résultats des questions 4 et 19.

22. On suppose qu’il existe $v_0$ dans $V$ tel que $v_0(x) \neq 0$. Soit $v \in V$. En considérant $v + t v_0$ pour $t$ réel, montrer que $\mathrm{Im}\ v^{p-1} \subset \mathrm{Vect}(x) + V_x$. On pourra s’inspirer de la méthode de la question 11.

23. Conclure.}

Questions du sujet

1. Démontrer que M est semblable à une matrice complexe triangulaire supérieure, établir que les coecients diagonaux de cette dernière sont nuls, et en déduire que tr $u^k = 0$ pour tout $k \in \mathbb{N}^*$.

2. Justifier que $N_B$ est un sous-espace vectoriel de $L(E)$ de dimension $\frac{n(n-1)}{2}$, et mettre en évidence dans $N_B$ un élément nilpotent de nilindice $n$. On pourra introduire l’endomorphisme $u$ de $E$ défini par $u(e_i) = e_{i-1}$ pour tout $i \in [[2, n]]$, et $u(e_1)=0$.

3. Soit $u \in L(E)$. On se donne deux vecteurs $x$ et $y$ de $E$, ainsi que deux entiers $p \geq q \geq 1$ tels que $u^p(x) = u^q(y)=0$, $u^{p-1}(x) \neq 0$ et $u^{q-1}(y) \neq 0$. Montrer que la famille $(x, u(x),...,u^{p-1}(x))$ est libre, et que si $(u^{p-1}(x), u^{q-1}(y))$ est libre alors $(x, u(x),...,u^{p-1}(x), y, u(y),...,u^{q-1}(y))$ est libre.

4. Soit $u \in N(E)$, de nilindice $p$. Déduire de la question précédente que $p \leq n$ et que si $p \geq n - 1$ et $p \geq 2$ alors $\mathrm{Im}\ u^{p-1} = \mathrm{Im}\ u \cap \ker u$ et $\mathrm{Im}\ u^{p-1}$ est de dimension 1.

5. Calculer la dimension de $L(E, \mathbb{R})$ en fonction de celle de $E$. Montrer que $a \mapsto \varphi_a$ définit un isomorphisme de $E$ sur $L(E, \mathbb{R})$.}

6. On fixe $x \in E \setminus \{0\}$. Montrer que l’application $a \in E \mapsto a \otimes x$ est linéaire et constitue une bijection de $E$ sur $\{u \in L(E) : \mathrm{Im}\ u \subset \mathrm{Vect}(x)\}$.

7. Soit $a \in E$ et $x \in E \setminus \{0\}$. Montrer que $\mathrm{tr}(a \otimes x)=(a | x)$.

8. Soit $k \in \mathbb{N}^*$. Montrer qu’il existe une unique famille $(f_0^{(k)},...,f_k^{(k)})$ d’endomorphismes de $E$ telle que $\forall t \in \mathbb{R},\ (u + tv)^k = \sum\limits_{i=0}^k t^i f_i^{(k)}$. Montrer en particulier que $f_0^{(k)} = u^k$ et $f_1^{(k)} = \sum\limits_{i=0}^{k-1} u^i v u^{k-1-i}$. Pour l’unicité, on pourra utiliser une représentation matricielle.

9. À l’aide de la question précédente, montrer que $\sum\limits_{i=0}^{p-1} u^i v u^{p-1-i} = 0$.

10. Étant donné $k \in \mathbb{N}$, donner une expression simplifiée de $\mathrm{tr}(f_1^{(k+1)})$, et en déduire la validité du lemme C.}

11. Soit $y \in E$. En considérant, pour un $a \in K(V)^\ast$ quelconque, la fonction $t \in \mathbb{R} \mapsto (a | (u + tv)^{p-1}(y))$, démontrer que $f_1^{(p-1)}(y) \in K(V)$. À l’aide d’une relation entre $u(f_1^{(p-1)}(y))$ et $v(u^{p-1}(y))$, en déduire que $v(x) \in u(K(V))$ pour tout $x \in \mathrm{Im}\ u^{p-1}$.

12. Soit $x \in V^\bullet \setminus \{0\}$ tel que $K(V) \subset \mathrm{Vect}(x) + V_x$. On choisit $u \in V$ tel que $x \in \mathrm{Im}\ u^{p-1}$. Étant donné $y \in K(V)$, montrer que pour tout $k \in \mathbb{N}$ il existe $y_k \in K(V)$ et $\lambda_k \in \mathbb{R}$ tels que $y = \lambda_k x + u^k(y_k)$. En déduire que $K(V) \subset \mathrm{Vect}(x)$ puis que $v(x)=0$ pour tout $v \in V$.

13. Montrer que $V_x, W, \bar V$ et $Z$ sont des sous-espace vectoriels respectifs de $E, V, L(H)$ et $V$.

14. Montrer que $\dim \bar V = \dim(V_x) + \dim Z + \dim \bar V$.

15. Montrer qu’il existe un sous-espace vectoriel $L$ de $E$ tel que $Z = \{a \otimes x\ |\ a \in L\}$ et $\dim L = \dim Z$, et montrer qu’alors $x \in L^\perp$.}

16. En considérant $u$ et $(a \otimes x)$ pour $u \in \bar V$ et $a \in L$, déduire du lemme C que $V_x \subset L^\perp$, et que plus généralement $u^k(x) \in L^\perp$ pour tout $k \in \mathbb{N}$ et tout $u \in \bar V$.

17. Justifier que $\lambda x \notin V_x$ pour tout $\lambda \in \mathbb{R}^*$, et déduire alors des deux questions précédentes que $\dim V_x + \dim L \leq n-1$.

18. Soit $u \in W$. Montrer que $(\bar u)^k(z) = \varphi(u^k(z))$ pour tout $k \in \mathbb{N}$ et tout $z \in H$. En déduire que $\bar V$ est un sous-espace vectoriel nilpotent de $L(H)$.

19. Déduire des questions précédentes et du théorème A que\par
$\dim \bar V = \frac{(n-1)(n-2)}{2}$, \par
$\dim(\mathrm{Vect}(x) + V_x) + \dim L = n$ et \par
$L^\perp = \mathrm{Vect}(x) + V_x$. \par
En déduire que $\mathrm{Vect}(x) + V_x$ contient $v^k(x)$ pour tout $v \in \bar V$ et tout $k \in \mathbb{N}$.

20. En appliquant, entre autres, l’hypothèse de récurrence et la question précédente, montrer que le nilindice générique de $\bar V$ est supérieur ou égal à $n-1$, et que si en outre $V_x = \{0\}$ alors il existe une base de $E$ dans laquelle tout élément de $V$ est représenté par une matrice triangulaire supérieure stricte.}

21. Soit $v \in V$ tel que $v(x) \neq 0$. Montrer que $\mathrm{Im}\ v^{p-1} \subset \mathrm{Vect}(x) + V_x$. On pourra utiliser les résultats des questions 4 et 19.

22. On suppose qu’il existe $v_0$ dans $V$ tel que $v_0(x) \neq 0$. Soit $v \in V$. En considérant $v + t v_0$ pour $t$ réel, montrer que $\mathrm{Im}\ v^{p-1} \subset \mathrm{Vect}(x) + V_x$. On pourra s’inspirer de la méthode de la question 11.

23. Conclure.}

Soit $f : \mathbb{C}_n[X] \to \mathbb{C}_n[X]$ définie par
$$
f(P) = (X^2 + X) P(1) + (X^2 – X) P(-1),
$$
où $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{C}_n[X]$.

1. Déterminer le noyau et l’image de $f$.
2. Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de $f$. L’endomorphisme $f$ est-il diagonalisable ?

Soit $\left(x_n\right)_{n \geqslant 0}$ définie par : $x_0=1$ et $\forall n \in \mathbb{N}, x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}$. Donner un équivalent de $x_n$ quand $n \rightarrow+\infty$.

On suppose que la série de terme général $a_n > 0$ est divergente. Soit, pour tout entier $n$, $S_n = a_0 + \cdots + a_n$ et $b_n = \frac{a_{n+1}}{S_n}$.
Déterminer la nature de la série de terme général $b_n$.

Soient \(A\) et \(B\) deux parties d’un ensemble \(E\). Déterminer le nombre de parties \(X \subset E\) telles que \(A \subset X \subset B\).

Soit une fonction continue $f:] 0 ;+\infty[\rightarrow \mathbb{R}$ telle que $\forall(x, y) \in] 0 ;+\infty\left[{ }^2, f(x y)=f(x)+f(y)\right.$

a. Calculer $f(1)$. Pour $x \in] 0 ;+\infty\left[\right.$, comparer $f(x)$ et $f\left(\frac{1}{x}\right)$.
b. Montrer que $\forall x \in] 0 ;+\infty\left[, f(x)=\frac{1}{x} \int_x^{2 x} f(t) d t-\int_1^2 f(t) d t\right.$.
c. Montrer que f est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ et en déduire f .

a) Montrer qu’il existe un unique $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\int_1^{+\infty} \frac{\lambda – \sin(t)}{t} \, dt$ converge.

Considérons $T > 0$ et soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction continue et $T$-périodique.
b) Montrer qu’il existe un unique $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\int_1^{+\infty} \frac{\lambda – f(t)}{t} \, dt$ converge.