Rapport du jury Mines Ponts 2019

Ces rapport de jury de la session 2019 du concours Mines Ponts traite séparément des épreuves écrites et orales, pour les filières MP, PSI et PC.

Rapport des épreuves écrites

Filières MP, PSI, PC pour la session Mines Ponts 2019

Source : Concours Commun Mines Ponts

Rapport des épreuves orales

Filières MP, PSI, PC pour la session Mines Ponts 2019

Source : Concours Commun Mines Ponts

Corrigés des écrits du concours Mines Ponts 2019

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Corrigé : Mines Maths 2 PSI 2019

Questions du sujet

1. On considère $g : [0, +\infty[ \to \R$ définie par $g(x) = e^{-x}$. Montrer que $g$ est une densité sur $[0, +\infty[$, que tous ses moments sont finis et calculer $m_n(g)$ pour $n \in \N$.

2. Montrer que tous les moments de la densité gaussienne $\varphi$ sont finis.

3. Que vaut $m_{2p+1}(\varphi)$ pour $p \in \N$ ?

4. Calculer $m_{2p}(\varphi)$ pour $p \in \N$. On exprimera le résultat sous forme compacte avec des factorielles là où c’est possible.

5. Donner un exemple de densité $f : \R \to \R$ dont le moment d’ordre 1 n’est pas fini.}

6. Justifier que, pour tout $x \in [0, 1]$, $n \in \N$,
\[
\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} = 1.
\]

7. Montrer que, pour tout $x \in [0, 1]$, $n \in \N$,
\[
\sum_{k=0}^n k \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} = nx.
\]

8. Montrer que, pour tout $x \in [0,1]$, $n \in \N$,
\[
\sum_{k=0}^n k^2 \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} = nx + n(n-1)x^2.
\]

9. En déduire que, pour tout $x \in [0, 1]$, $n \in \N$,
\[
\sum_{k=0}^n (k-nx)^2 \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} \leq Cn,
\]
pour une constante $C > 0$ à préciser.

10. Montrer que, pour tout $x \in [0, 1]$, $n \in \N$,
\[
|B_n(x) - f(x)| \leq \alpha + 2\|f\|_{\infty} \sum_{k \in Y} \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k},
\]
où on rappelle que $\|f\|_{\infty} = \sup_{0 \leq x \leq 1} |f(x)|$.}

11. En utilisant la définition de l’ensemble $Y$ et les questions précédentes, conclure qu’il existe $n$ suffisamment grand tel que
\[
\|B_n - f\|_{\infty} \leq 2\alpha.
\]

12. Montrer que, pour toute fonction polynomiale $P$, on a
\[
\int_0^1 (f(x) - g(x)) P(x) dx = 0.
\]

13. Montrer que
\[
\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 (f(x)-g(x)) P_n(x) dx = \int_0^1 (f(x)-g(x))^2 dx.
\]

14. Montrer alors que $f = g$ sur $[0, 1]$.

15. Justifier que $\hat{\varphi}$ est correctement définie et continue sur $\R$.}

16. Justifier que $\hat{\varphi}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$ et que
\[
\hat{\varphi}'(\xi) = \frac{i}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} e^{it\xi} t e^{-\frac{t^2}{2}} dt.
\]

17. Montrer que $\hat{\varphi}$ est solution d’une équation différentielle linéaire du premier ordre à préciser.

18. Montrer que $\hat{\varphi}(\xi) = e^{-\frac{\xi^2}{2}}$ pour tout $\xi \in \R$. Dans la suite et si besoin on admettra que ceci reste valable pour tout $\xi \in \C$.

19. Montrer que $f$ est bien une densité sur $[0, +\infty[$. On admettra que tous ses moments sont finis.

20. Montrer que
\[
I_n = \Im \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} e^{i(2\pi-in)u} e^{-\frac{1}{2}u^2} du \right),
\]
où $\Im(z)$ désigne la partie imaginaire du complexe $z$.}

21. À l’aide de la partie IV, en déduire que $I_n = 0$.

22. Pour $\lambda \in \R$, on pose
\[
g_\lambda(x) = f(x) (1 + \lambda \sin(2\pi \ln x)).
\]
Déterminer une infinité non dénombrable de $\lambda$ pour lesquels $f$ et $g_\lambda$ sont deux densités sur $[0, +\infty[$, distinctes et $m_n(g_\lambda) = m_n(f)$ pour tout $n\in \N$.}

FAQ

Qu’est-ce qu’une densité de probabilité et comment la reconnaître à l’épreuve Mines-Ponts PSI ?

Une densité de probabilité est une fonction positive dont l’intégrale sur son domaine vaut 1. Savoir identifier et manipuler une densité sur un intervalle donné, comme l’exponentielle ou la gaussienne, est fondamental en sciences de l’ingénieur. Les sujets des concours Mines-Ponts exploitent souvent ces notions en transformant ou combinant différentes densités. Les corrigés expliquent en détail comment montrer qu’une fonction est une densité, et comment exploiter cette propriété pour calculer des moments ou résoudre des intégrales.

À quoi servent les moments d’une fonction densité en probabilité ?

Les moments d’une densité (moments d’ordre n) donnent des informations sur la distribution de la variable aléatoire associée, comme la moyenne, la variance ou la symétrie. Leur calcul intervient régulièrement dans les épreuves du concours Mines-Ponts PSI, notamment pour caractériser les lois ou différencier des densités. Retrouve dans les corrigés toutes les astuces pour reconnaître et calculer ces moments sans perdre de temps le jour J.

En quoi consiste l’approximation polynomiale et pourquoi la retrouve-t-on dans ce sujet ?

L’approximation polynomiale sert à approcher une fonction complexe par des polynômes, ce qui simplifie les calculs, particulièrement pour les intégrales et les développements limités. Dans ce sujet Mines-Ponts PSI 2019, tu retrouves les polynômes de Bernstein, essentiels en analyse, pour prouver des propriétés de convergence ou d’égalité de fonctions. Si tu veux tous les détails ou des exemples rédigés pas à pas, pense à débloquer les corrigés sur Prépa Booster !

Pourquoi les intégrales impliquant la gaussienne reviennent-elles si souvent en CPGE scientifique ?

La densité gaussienne, ou loi normale, intervient partout : statistiques, probabilités, mais aussi en analyse complexe et en transformée de Fourier. Savoir manipuler ses intégrales et reconnaître ses propriétés (comme la symétrie ou la décroissance rapide) est incontournable en concours comme Mines-Ponts PSI. Les corrigés t’expliquent avec rigueur toutes les astuces pour ne pas rester bloqué devant ce type d’exercice.

Comment aborder les questions sur la transformée de Fourier en maths PSI ?

La transformée de Fourier est un outil puissant qui permet de passer d’une fonction à une autre représentation, souvent pour simplifier des calculs d’intégrales ou d’équations différentielles. Les sujets de maths PSI, comme celui du concours Mines-Ponts 2019, incluent fréquemment des exercices sur ce thème, car il synthétise analyse réelle et complexe. Si tu veux une méthode claire pour répondre à ces questions, n’hésite pas à accéder au dashboard personnalisé et au corrigé détaillé sur Prépa Booster.

Quelles astuces pour reconnaître rapidement une somme à base de coefficients binomiaux au concours ?

Les sommes avec coefficients binomiaux, comme celles des polynômes de Bernstein, sont très courantes en permutations, probabilités et approximation. Retenir les formules classiques, comme la somme sur tout k, les moments ou les combinaisons avec puissances, te fera gagner du temps lors du sujet. Les exercices corrigés sur Prépa Booster t’apprennent à détecter les astuces pour transformer rapidement ces sommes en expressions simples.

Quels conseils pour aborder les notions de convergence ou d’unicité en analyse à l’épreuve de maths PSI ?

Devant une question sur la convergence ou l’unicité, identifie d’abord s’il s’agit de convergence uniforme, simple ou dans L². L’épreuve Mines-Ponts adore les questions liant polynômes d’approximation, densités et unicité à partir de moments. Savoir mobiliser le théorème de Stone-Weierstrass ou les propriétés des intégrales est une vraie clé de la réussite. Pour t’entraîner, débloque les corrigés et toutes les ressources d’entraînement sur Prépa Booster.

Quels sont les enjeux des sujets Maths PSI Mines-Ponts, et que révèlent-ils sur le niveau attendu ?

Les sujets ciblent autant la maîtrise des outils fondamentaux (analyse, probabilités, calcul intégral) que l’ingéniosité face à des exercices ouverts ou interconnectés, comme des questions mêlant densités, Fourier et approximation. Ils récompensent la capacité à lier différentes parties du programme, c’est pourquoi l’entraînement avec des corrigés détaillés et progressifs est capital pour performer.

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Corrigé : Mines Maths 1 MP 2019

Questions du sujet

1. Justifier que la série entière $\sum_{n \geq 1} \frac{(pn)^r}{(pn)!} z^n$ a pour rayon de convergence $+\infty$. Qu’en est-il de la série entière $\sum_{n \geq 1} \frac{(pn)^r}{(pn)!} z^{pn}$ ?

2. Pour $x > 0$ fixé, étudier le signe de la fonction
\[
\psi_x : t \in [1, +\infty[ \mapsto t^{1-r}(t-1)^r - x.
\]
En déduire que $\psi_x$ s’annule en un unique élément de $[1, +\infty[$ que l’on note $t_x$.
Montrer que la suite finie $(u_n(x))_{0 \leq n \leq \lfloor t_x \rfloor}$ est croissante et que la suite infinie $(u_n(x))_{n > \lfloor t_x \rfloor}$ est décroissante, où $\lfloor x \rfloor$ désigne la partie entière du nombre réel $x$.

3. Pour tout $-\in \mathbb{R}$, déterminer la limite de $\psi_x(x+ -)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
En déduire que $t_x - x - r$ tend vers zéro lorsque $x \to +\infty$. (On pourra s’aider de la définition d’une limite.)

4. Montrer que pour tout entier relatif $k$, $u_{\lfloor x \rfloor+k}(x) \sim u_{\lfloor x \rfloor}(x)$ lorsque $x \to +\infty$.
En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}$ et pour tout $x$ au voisinage de $+\infty$,
\[
\sum_{i = \lfloor x \rfloor - n}^{\lfloor x \rfloor} u_i(x) > n u_{\lfloor x \rfloor}(x).
\]

5. En déduire que pour tout entier relatif $k$,
\[
u_{\lfloor x \rfloor+k}(x) = o(x^r e^{x})
\]
quand $x \to +\infty$. Montrer alors que
\[
M_x = o(x^r e^x).
\]
(On pourra d’abord démontrer que, pour $x$ assez grand, $M_x = u_{\lfloor x \rfloor + i}(x)$ pour un entier $i$ compris entre $\lfloor r \rfloor - 1$ et $\lfloor r \rfloor + 2$.)}

6. Soit $z$ un nombre complexe tel que $|z| = 1$ et $z \neq 1$. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose
\[
D_n = \sum_{k=0}^{n-1} z^k.
\]
Pour tout nombre réel $x > 0$, comparer $S_{r,1}(z x)$ à la somme
\[
\sum_{n=1}^{+\infty} D_n \left( u_{n-1}(x) - u_n(x) \right).
\]
En déduire que pour tout $x$ au voisinage de $+\infty$,
\[
|S_{r,1}(z x)| \leq \frac{4 M_x}{|1 - z|}
\]
et conclure que lorsque $x \to +\infty$,
\[
S_{r,1}(z x) = o(x^r e^x).
\]

7. On pose $\xi = \exp\left(\frac{2 i \pi}{p}\right)$. Pour tout réel $x$, montrer que
\[
\sum_{k = 0}^{p-1} S_{r,1}(\xi^k x) = p S_{r,p}(x)
\]
et en déduire que les énoncés $(H_{r,p})$ et $(H_{r,1})$ sont équivalents.

8. Pour tout réel $-\ > 0$, montrer que $\mathbb{P} \left( |X_x - x| > - x^{2/3} \right) \to 0$ quand $x \to +\infty$.

9. Montrer que, pour tout réel $x > 1$, les variables aléatoires
\[
A_x = \mathbf{1}_{\{Z_x<1-x^{-1/3}\}} Z_x^r \qquad \text{ et } \qquad B_x = \mathbf{1}_{\{|Z_x-1| \leq x^{-1/3}\}} Z_x^r \] sont d’espérance finie et trouver les limites de $\mathbb{E}(A_x)$ et de $\mathbb{E}(B_x)$ lorsque $x \to +\infty$. 10. Montrer que pour tout réel $x>0$, la variable aléatoire
\[
Y_{N,x} = \mathbf{1}_{\{X_x > x + x^{2/3}\}} \prod_{k=0}^{N-1}(X_x-k)
\]
est d’espérance finie et que
\[
x^N \mathbb{P}(X_x > x + x^{2/3} - N) = \mathbb{E}(Y_{N,x}).
\]
Déduire alors de la question 8 que $\mathbb{E}(Y_{N,x}) = o(x^N)$ quand $x \to +\infty$.}

11. Montrer qu’il existe des réels $a_1, ..., a_N$ tels que pour tout réel $x > 0$,
\[
\mathbf{1}_{\{X_x > x + x^{2/3}\}} X_x^N = \sum_{k=1}^N a_k Y_{k,x}
\]
et en déduire la limite de $\mathbb{E}\left[ \mathbf{1}_{\{Z_x > 1 + x^{-1/3}\}} Z_x^N \right]$ lorsque $x \to +\infty$.

12. Démontrer que $\mathbb{E}\left[\mathbf{1}_{\{Z_x > 1 + x^{-1/3}\}} Z_x^r \right] \to 0$ quand $x \to +\infty$. En déduire que $\mathbb{E}(Z_x^r) \to 1$ quand $x \to +\infty$ et conclure à la validité de l’énoncé $H_{r,1}$.

13. En remarquant que pour tout réel $x > 0$,
\[
S_{r,p}(x) = x^p \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(p(n+1))^r}{(p(n+1))!} x^{np},
\]
déduire du lemme de comparaison asymptotique des séries entières que $S_{r,p}(x) \sim_{x \to +\infty} x^p S_{r-p, p}(x)$. En déduire que $(H_{r, p})$ implique $(H_{r-p, p})$ et conclure à la validité de $(H_{r, p})$.

14. Soit un réel $x > 0$. Pour tout entier $n > 0$, on pose
\[
v_n = \sum_{k=1}^n \ln k + x \ln n - \sum_{k=0}^n \ln(x + k).
\]
Établir la convergence de la série $\sum(v_n - v_{n-1})$, et en déduire l’existence d’un réel $\Gamma(x) > 0$ vérifiant la formule d’Euler :
\[
\prod_{k=0}^n (x+k) \sim_{n \to +\infty} n^x \frac{n!}{\Gamma(x)}.
\]

15. Justifier qu’il existe une unique solution $f$ de (Ai) sur $\mathbb{R}$ vérifiant $f(0) = 1$ et $f'(0) = 0$.}

16. Expliciter une suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que pour tout réel $t$, $f(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n t^n$.

17. Démontrer que $a_{3n} \sim \frac{(2/3)^{n+1/3}}{9^n (n!)^2}$ puis que $a_{3n} \sim n^{-1/6} \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}} \frac{3^{2n}}{(2n)!}$ lorsque $n \to +\infty$.

18. En déduire une constante $C$, que l’on exprimera à l’aide de $\left(\frac{2}{3}\right)$, telle que
\[
f(t) \sim_{t \to +\infty} C t^{-1/4} \exp\left( \frac{2}{3} t^{3/2} \right).
\]}

FAQ

Série entière et rayon de convergence — que peut-on dire pour les séries
\sum_{n \ge 1} \frac{(pn)^r}{(pn)!} z^n et \sum_{n \ge 1} \frac{(pn)^r}{(pn)!} z^{pn} ?

La factorielle domine toute puissance : en appliquant le critère du rapport (ou en utilisant Stirling), on obtient pour la première série que le rapport des termes tend vers 0 quel que soit z, donc le rayon de convergence est +\infty. Pour la seconde série, la substitution w = z^p montre que c’est essentiellement la même série indexée sur n mais en variable w, donc son rayon de convergence en z est encore +\infty. Pour une démonstration complète, consulte le corrigé détaillé.

Étude du signe de ψ_x(t)=t^{1-r}(t-1)^r-x et monotonicité des suites u_n(x) autour de ⌊t_x⌋ : que retiens-tu ?

Pour x>0 fixé, ψ_x(1)=−x<0 et ψ_x(t)→+∞ quand t→+∞, donc ψ_x s’annule en un unique t_x≥1. L’inégalité u_{n+1}(x)/u_n(x) ? 1 s’exprime par une condition équivalente à ψ_x(n+1) ? 0 : ainsi les u_n croissent tant que n≤⌊t_x⌋ et décroissent pour n>⌊t_x⌋. L’argument rigoureux fait intervenir le rapport des termes et la définition de t_x ; voir le corrigé pour les détails techniques.

Comportement de ψ_x évaluée en x quand x→+∞ et conséquence sur t_x : que devient t_x−x−r ?

On développe (x−1)^r=(x)^r(1−1/x)^r et on trouve t↦x donne ψ_x(x)≈x(1−r/x)−x=−r, donc ψ_x(x)→−r lorsque x→+∞. En combinant ceci avec la définition de t_x et un argument d’approximation on en déduit que t_x−x−r→0 quand x→+∞ ; autrement dit t_x∼x+r. Le corrigé montre les détails via une définition formelle de limite.

Asymptotique local des u_n autour de ⌊x⌋ : pourquoi u_{⌊x⌋+k}(x)∼u_{⌊x⌋}(x) pour k fixé quand x→+∞ ?

Le maximum des u_n est localisé près de n≈x et les rapports successifs tendent vers 1 lorsque n−x reste borné et x→+∞ (contrôle par Stirling / développement local). D’où u_{⌊x⌋+k}(x)∼u_{⌊x⌋}(x) pour tout entier k fixé. En particulier, pour x assez grand, la somme sur n∈[⌊x⌋−n,⌊x⌋] dépasse n u_{⌊x⌋}(x). Le raisonnement est détaillé dans le corrigé.

Majorations et o-notation : pourquoi u_{⌊x⌋+k}(x)=o(x^r e^x) et M_x=o(x^r e^x) ?

Le terme maximal M_x est atteint à distance O(1) de ⌊x⌋ ; en utilisant l’estimation locale des u_n (Stirling/Euler) on montre que chaque u_{⌊x⌋+k} est négligeable devant x^r e^x quand x→+∞. En combinant avec le contrôle du nombre d’indices pertinents on obtient M_x=o(x^r e^x). Pour une preuve complète (notamment le choix précis des indices i entre ⌊r⌋−1 et ⌊r⌋+2), consulte le corrigé détaillé.

Contrôle de S_{r,1}(z x) pour z sur le cercle unité non égal à 1 : comment utilises-tu D_n et M_x ?

Avec D_n=\sum_{k=0}^{n-1} z^k on fait une sommation d’Abel : S_{r,1}(z x)=\sum_{n≥1} z^n u_n(x)=\sum_{n≥1} D_n( u_{n-1}(x)-u_n(x) ). Sur le cercle unité |D_n|≤2/|1−z|, ce qui donne |S_{r,1}(z x)|≤(4 M_x)/|1−z| pour x grand. Puisque M_x=o(x^r e^x), on en déduit S_{r,1}(z x)=o(x^r e^x) quand x→+∞. Voir le corrigé pour la sommation d’Abel complète.

Lien entre S_{r,p} et S_{r,1} via les racines p-ièmes de l’unité : que démontres-tu ?

Si ξ=exp(2iπ/p), les p valeurs ξ^k parcourent les racines de l’unité et on montre \sum_{k=0}^{p-1} S_{r,1}(ξ^k x)=p S_{r,p}(x) par séparation des classes modulo p dans la somme. D’où H_{r,p} est équivalent à H_{r,1} : la propriété asymptotique pour p découle de celle pour 1 et réciproquement.

Concentration pour X_x : pourquoi P(|X_x−x|>x^{2/3})→0 quand x→+∞ ?

C’est un phénomène de concentration autour de l’espérance (typique d’une loi de Poisson ou proche) : on applique des inégalités de type Tchebychev ou des estimations de queues (Chernoff) pour montrer que les probabilités de déviation de l’ordre x^{2/3} sont négligeables. Le résultat découle aussi des contrôles précédents sur les séries et moments ; détails techniques dans le corrigé.

Espérances de A_x et B_x définies avec Z_x : quelles sont leurs limites quand x→+∞ ?

Les indicatrices contrôlent deux zones : « très à gauche » et « proche de 1 ». Grâce à la concentration précédente, la masse s’accumule dans la fenêtre |Z_x−1|≤x^{−1/3}, donc E(A_x)→0 tandis que E(B_x)→1 (après normalisation par Z_x^r qui tend vers 1 en moyenne). Les espérances sont finies pour x>1 ; voir le corrigé pour le calcul rigoureux et l’échange limite/espérance.

Définition et espérance de Y_{N,x} : comment relier x^N P(X_x>x+x^{2/3}−N) à E(Y_{N,x}) et quelle est la conséquence asymptotique ?

Par définition Y_{N,x}=1_{\{X_x>x+x^{2/3}\}}\prod_{k=0}^{N-1}(X_x-k). Si l’on multiplie par la loi de probabilité on obtient l’égalité x^N P(X_x>x+x^{2/3}−N)=E(Y_{N,x}). Grâce à la question 8 (probabilité de grandes déviations→0) on en déduit E(Y_{N,x})=o(x^N) quand x→+∞. Les manipulations exactes sont dans le corrigé.

Représentation polynomiale et conséquences sur les moments : comment exprimer 1_{\{X_x>x+x^{2/3}\}} X_x^N en fonction des Y_{k,x} et quelle limite obtient-on pour E[1_{\{Z_x>1+x^{−1/3}\}} Z_x^N] ?

On écrit X_x^N comme combinaison linéaire finie des polynômes ∏_{j=0}^{k-1}(X_x−j) ; il existe donc a_1,...,a_N tels que 1_{\{X_x>x+x^{2/3}\}} X_x^N=\sum_{k=1}^N a_k Y_{k,x}. En prenant les espérances et en utilisant que chaque E(Y_{k,x})=o(x^k) on obtient E[1_{\{Z_x>1+x^{−1/3}\}} Z_x^N]→0 quand x→+∞. Détails algébriques et justification sont dans le corrigé.

Conclusion finale sur E(Z_x^r) : pourquoi E[1_{\{Z_x>1+x^{−1/3}\}} Z_x^r]→0 et E(Z_x^r)→1 ? Qu’en est-il de H_{r,1} ?

La contribution de la queue droite est nulle asymptotiquement (question 11) et la partie centrale donne une contribution qui tend vers 1 (question 9). La portion gauche tend vers 0 aussi : on en déduit E(Z_x^r)→1 quand x→+∞. Cela établit l’énoncé H_{r,1} ; via la question 7 on obtient ensuite H_{r,p}. Le corrigé rassemble toutes les étapes et les limites d’espérance.

Relation entre S_{r,p}(x) et S_{r-p,p}(x) et implication sur l’implication (H_{r,p})⇒(H_{r-p,p}) : quelle manipulation utilises-tu ?

En factorisant le premier terme de la série on écrit S_{r,p}(x)=x^p\sum_{n≥0} (p(n+1))^r/(p(n+1))! x^{np} = x^p S_{r-p,p}(x) × facteur asymptotique mineur ; le lemme de comparaison asymptotique des séries entières donne S_{r,p}(x)∼ x^p S_{r-p,p}(x). Ainsi si H_{r,p} tient pour un r, on l’obtient aussi pour r−p en itérant l’argument, ce qui permet une récurrence sur r. Voir le corrigé pour la justification rigoureuse du lemme de comparaison.

Formule d’Euler pour Γ(x) à partir de la suite v_n : comment démontrer l’existence de Γ(x) et l’asymptotique ∏_{k=0}^n(x+k)∼ n^x n!/Γ(x) ?

On définit v_n=\sum_{k=1}^n \ln k + x\ln n − \sum_{k=0}^n \ln(x+k) et on montre que la suite des différences v_n−v_{n-1} est sommable, donc v_n converge. Posant Γ(x)=\lim_{n→∞} n^x n!/∏_{k=0}^n(x+k) on obtient la formule d’Euler souhaitée. Le calcul détaillé utilise des développements en séries et une comparaison terme à terme ; voir le corrigé pour la démonstration complète.

Existence et unicité de la solution réelle de (Ai) avec f(0)=1 et f'(0)=0 : que faut-il retenir ?

L’équation (Ai) (équation d’Airy ou variante polaire selon l’énoncé) admet une solution entière déterminée par les conditions initiales en 0 ; l’unicité découle du théorème d’existence et d’unicité pour ODE linéaires à coefficients analytiques. Il existe donc une unique série de puissance f satisfaisant f(0)=1 et f'(0)=0 sur ℝ. Les détails formels et la construction par série sont dans le corrigé.

Comment expliciter la suite (a_n) telle que f(t)=\sum_{n≥0} a_n t^n pour la solution de (Ai) ?

Tu obtiens les coefficients a_n en injectant la série formelle dans l’équation différentielle et en identifiant les coefficients de t^n : cela donne une relation de récurrence reliant a_{n+3} à a_n (typique de l’équation d’Airy). On peut ainsi exprimer a_{3n}, a_{3n+1}, a_{3n+2} en fonction des premiers termes. Pour la formule explicite et la démonstration, reporte-toi au corrigé.

Asymptotique des coefficients a_{3n} : quelles formules principales apparaissent quand n→+∞ ?

En utilisant la relation de récurrence et des méthodes d’approximation (stirling, méthodes d’intégrales de type Laplace sur les coefficients), on montre d’abord a_{3n}∼(2/3)^{n+1/3}/(9^n (n!)^2). Une autre formule équivalente s’obtient par transformation donnant a_{3n}∼ n^{−1/6} (2/3)^{\sqrt{\pi}/2} 3^{2n}/(2n)! ; ces développements mènent à l’asymptotique de la fonction f. Les étapes techniques sont exposées dans le corrigé.

Asymptotique finale de f(t) quand t→+∞ : quelle est la forme principale et la constante C ?

La méthode de la somme dominante sur les coefficients donne l’asymptotique classique de la solution croissante : f(t)∼ C t^{−1/4} exp( (2/3) t^{3/2} ) quand t→+∞. La constante C s’exprime en termes de (2/3) et des facteurs issus des estimations précédentes ; la valeur explicite se trouve en suivant la normalisation issue des coefficients a_{3n} (voir le corrigé pour l’expression exacte de C en fonction de (2/3)).

Voir le corrigé

Corrigé : Mines Maths 2 MP 2019

Questions du sujet

1. Montrer que la matrice $H_n$ est symétrique réelle et définie positive. On pourra s’aider du calcul de l’intégrale $\int_0^1 \left(X_e(t)\right)^2 dt$.

2. On note $V$ le sous-espace propre de $H_n$ associé à la plus grande valeur propre $\Omega_n$ de $H_n$. Montrer que $X \in V$ si et seulement si $^tX H_n X = \Omega_n \|X\|^2$.

3. Soit $X_0 = \begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_{n-1}\end{pmatrix}$ un vecteur non nul de $V$. On note $|X_0| = \begin{pmatrix} |x_0| \\ |x_1| \\ \vdots \\ |x_{n-1}|\end{pmatrix}$. Établir l’inégalité $^tX_0 H_n X_0 \leq ^t|X_0|H_n |X_0|$ et en déduire que $|X_0| \in V$.

4. Montrer que $H_n|X_0|$, puis que $X_0$, n’a aucune coordonnée nulle.

5. En déduire la dimension du sous-espace propre $V$.}

6. Soit $X = \begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_{n-1}\end{pmatrix}$ un vecteur de $\mathbb{R}^n$ et $P$ un polynôme à coefficients réels. En s’aidant du calcul de l’intégrale $\int_0^{2\pi} P(e^{i\mu})e^{i\mu} d\mu$, montrer l’inégalité $\left| \int_{-1}^1 P(t)dt \right| \leq \int_0^{2\pi} |P(e^{i\mu})| d\mu$, puis l’inégalité $^tX H_nX \leq \int_0^{2\pi} |X_e(e^{i\mu})|^2 d\mu$.

7. En déduire que $^tX H_nX \leq \pi \|X\|^2$.

8. Montrer que la suite $(\Omega_n)_{n\geq 1}$ est croissante et convergente.

9. Dans la suite du problème, pour tout entier $n > 0$ et tout réel $x$, on pose $K_n(x) = \sum_{k=0}^{n-1} x^k$. Soit $E$ l’espace vectoriel des fonctions à valeurs réelles, continues et intégrables sur $[0, 1[$ et $T_n : E \rightarrow E$ l’application définie par $T_n(f)(x) = \int_0^1 K_n(t x)f(t)dt$. Montrer que $T_n$ est un endomorphisme de $E$, dont $0$ est valeur propre. (On rappelle que $\lambda \in \mathbb{C}$ est valeur propre de $T_n$ s’il existe $f \in E$ non nulle telle que $T_n(f) = \lambda f$.)

10. Pour tout $X \in \mathbb{R}^n$, calculer $T_n(X_e)$. En déduire que $T_n$ et $H_n$ ont les mêmes valeurs propres non nulles.}

11. On note $A$ l’ensemble des fonctions $\varphi \in E$ à valeurs strictement positives sur $]0,1[$ telles que $\frac{1}{\varphi}$ admette un prolongement continu sur $[0,1]$. On rappelle que $\Omega_n$ est la plus grande valeur propre de $H_n$. En utilisant un vecteur propre associé à $\Omega_n$, montrer que
\[
\Omega_n \leq \inf_{\varphi \in A} \sup_{x \in ]0,1[} \frac{1}{\varphi(x)} \int_0^1 K_n(tx)\varphi(t)dt
\]
En utilisant la partie A, montrer que l’on a égalité dans l’inégalité précédente.

12. Soit $\varphi \in A$ et $n \in \mathbb{N}$. Dans la suite du problème, on pose, pour tout $x \in ]0,1[$ :
\[
r_n(x) = \frac{1}{\varphi(x)}\int_0^1 K_n(tx)\varphi(t)dt, \qquad
J_n(x) = \int_0^1 t^n \varphi(t)\frac{1}{1-tx}dt, \qquad
\mathcal{C}_n(x) = x^n \frac{J_n(x)}{\varphi(x)}.
\]
La fonction Gamma d’Euler est définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par la formule
\[
\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} dt.
\]
On admet, et on pourra utiliser sans démonstration, les formules suivantes :
\[
\Gamma(x+1) = x \Gamma(x)\ \text{pour tout } x > 0.
\]
\[
\Gamma(n) = (n -1)! \text{ pour tout entier } n > 0.
\]
\[
\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)} = \int_0^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1} dt \text{ pour tous réels } \alpha > 0, \beta > 0.
\]
Montrer que $J_n$ est dérivable sur $]0, 1[$ et que l’on a l’égalité
\[
x J_n'(x) = \int_0^1 t^n \varphi(t) \frac{1}{(1-tx)^2}dt - J_n(x).
\]
On suppose dorénavant que $\varphi \in A$ est de classe $C^1$ sur $[0,1[$ et que $(1-t)\varphi(t) \rightarrow 0$ lorsque $t \rightarrow 1^-$.

13. Montrer que
\[
n J_n(x) = c + n J_{n-1}(x) + (x-1)\int_0^1 t^n \varphi(t)\frac{1}{(1-tx)^2}dt + \int_0^1 t^n (1-t)\varphi'(t) \frac{1}{1-tx}dt
\]
où $c$ est un coefficient à déterminer et où $\varphi'$ désigne la dérivée de $\varphi$. (On pourra traiter à part le cas $n=0$, où l’on considère que $n J_{n-1}(x) = 0$ et où l’on montrera que $c = \varphi(0)$.)

14. Déduire des deux questions précédentes que
\[
x(1-x) J_n'(x) = c + (n+1)(x-1)J_n(x) + n \int_0^1 t^{n-1} \varphi(t)dt + \int_0^1 t^n (1-t)\varphi'(t)\frac{1}{1-tx}dt.
\]

15. Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. Résoudre l’équation différentielle $(1-t)y' = -\alpha y$ sur l’intervalle $[0,1[$. À quelles conditions une solution $y(t)$ de cette équation différentielle vérifie-t-elle les hypothèses faites sur $\varphi$? \\ On suppose désormais ces conditions réalisées et que la fonction $\varphi$ est la solution de cette équation différentielle telle que $\varphi(0) = 1$.}

16. Montrer que la fonction $\mathcal{C}_n$ est dérivable sur $]0, 1[$ et que l’on a :
\[
\mathcal{C}_n'(x) = -(\alpha+1)\frac{\mathcal{C}_n(x)}{x} + c_n \frac{x^{n-1}}{(1-x)^{1+\alpha}}
\]
où l’on donnera l’expression de la constante $c_n$ en fonction de $n$ et de $\alpha$.

17. En déduire que pour tout $x \in ]0, 1[$,
\[
\mathcal{C}_n(x) = c_n x^{1+\alpha} \int_0^x \frac{t^{n+\alpha}}{(1-t)^{1+\alpha}} dt.
\]

18. En déduire que pour $n \geq 1$,
\[
\Omega_n \leq \inf_{\beta \in ]0, 1[} \sup_{x \in ]0,1[} \frac{1}{x^{1-\beta}}\int_0^x \frac{(1-\mu_n t^n)}{t^{\beta}(1-t)^{1-\beta}} dt
\]
où l’on a posé $\mu_n = \frac{n!}{(1-\beta)(2-\beta)\dots(n-\beta)}$.
\\ Un calcul montre, et on l’admet, que l’inégalité précédente implique l’inégalité :
\[
\Omega_n \leq \inf_{\beta \in ]0, 1[} \mu_n^{(1-\beta)/n} n \int_0^{\mu_n^{-1/n}} \frac{dt}{t^{\beta}(1-t)^{1-\beta}}.
\]

19. En déduire que $\Omega_n \leq 2!_n \arcsin\left(\frac{1}{!_n}\right)$, où l’on a posé $!_n = 2\left(\frac{(n!)^2}{(2n)!}\right)^{1/2n}$.

20. Donner un équivalent de $!_n - 1$, puis un équivalent de $\pi^{-2} !_n \arcsin \frac{1}{!_n}$ lorsque $n \to +\infty$.}

FAQ

Comment montrer qu'une matrice est symétrique réelle et définie positive ?

Pour montrer qu'une matrice $ H_n $ est symétrique réelle, tu vérifies que $ H_n = {}^t H_n $. Pour la partie définie positive, tu peux utiliser le calcul d'une intégrale comme $ \int_0^1 (X_e(t))^2 dt $ et montrer que $ {}^t X H_n X > 0 $ pour tout vecteur $ X $ non nul. C'est une technique classique en algèbre linéaire, surtout en CPGE MP.

Quelle est la caractérisation d'un vecteur propre associé à la plus grande valeur propre ?

Un vecteur $ X $ appartient au sous-espace propre $ V $ associé à la plus grande valeur propre $ \Omega_n $ de $ H_n $ si et seulement si $ {}^t X H_n X = \Omega_n \|X\|^2 $. C'est une propriété fondamentale des valeurs propres extrémales, souvent utilisée en optimisation et en analyse spectrale.

Comment établir une inégalité entre $ {}^t X_0 H_n X_0 $ et $ {}^t |X_0| H_n |X_0| $ ?

Pour établir l'inégalité $ {}^t X_0 H_n X_0 \leq {}^t |X_0| H_n |X_0| $, tu peux utiliser le fait que $ H_n $ est définie positive et que les coefficients de $ X_0 $ sont majorés par leurs valeurs absolues. Cela permet de déduire que $ |X_0| $ est aussi un vecteur propre de $ V $.

Pourquoi un vecteur propre $ X_0 $ n'a-t-il aucune coordonnée nulle ?

Si $ X_0 $ est un vecteur propre associé à $ \Omega_n $, alors $ H_n |X_0| $ est aussi un vecteur propre. Comme $ H_n $ est définie positive, ses vecteurs propres n'ont pas de coordonnées nulles, sinon cela contredirait la définition de la positivité.

Comment déterminer la dimension d'un sous-espace propre ?

La dimension du sous-espace propre $ V $ peut être déduite en analysant les propriétés des vecteurs propres. Par exemple, si tous les vecteurs propres associés à $ \Omega_n $ sont non nuls et sans coordonnées nulles, alors $ V $ est de dimension 1. C'est une conséquence directe de l'analyse spectrale des matrices symétriques.

Comment utiliser une intégrale complexe pour majorer une forme quadratique ?

En utilisant l'intégrale $ \int_0^{2\pi} P(e^{i\mu}) e^{i\mu} d\mu $, tu peux établir des inégalités comme $ \left| \int_{-1}^1 P(t) dt \right| \leq \int_0^{2\pi} |P(e^{i\mu})| d\mu $. Cela permet de majorer $ {}^t X H_n X $ par $ \pi \|X\|^2 $, une technique puissante en analyse harmonique.

Comment montrer qu'une suite de valeurs propres est croissante et convergente ?

Pour montrer que $ (\Omega_n) $ est croissante, tu peux comparer $ H_n $ et $ H_{n+1} $ et utiliser le théorème de Cauchy sur l'interlacement des valeurs propres. La convergence découle souvent de la borne supérieure établie précédemment, comme $ \Omega_n \leq \pi $.

Comment relier un endomorphisme $ T_n $ à une matrice $ H_n $ ?

L'endomorphisme $ T_n $ est défini par $ T_n(f)(x) = \int_0^1 K_n(tx) f(t) dt $. En calculant $ T_n(X_e) $, tu peux montrer que $ T_n $ et $ H_n $ partagent les mêmes valeurs propres non nulles, car $ H_n $ représente la matrice de $ T_n $ dans une base appropriée.

Comment utiliser un vecteur propre pour majorer une valeur propre ?

En utilisant un vecteur propre associé à $ \Omega_n $, tu peux établir une majoration comme $ \Omega_n \leq \inf_{\varphi \in A} \sup_{x \in ]0,1[} \frac{1}{\varphi(x)} \int_0^1 K_n(tx) \varphi(t) dt $. C'est une technique courante en analyse fonctionnelle pour encadrer les valeurs propres.

Comment résoudre une équation différentielle du type $ (1-t) y' = -\alpha y $ ?

L'équation différentielle $ (1-t) y' = -\alpha y $ se résout en séparant les variables. La solution générale est $ y(t) = C (1-t)^\alpha $, où $ C $ est une constante. Pour que $ y $ soit dans $ A $, il faut que $ \alpha > 0 $ et que $ y $ soit strictement positive sur $ ]0,1[ $.

Comment obtenir un équivalent de $ !_n - 1 $ lorsque $ n \to +\infty $ ?

Pour trouver un équivalent de $ !_n - 1 $, tu peux utiliser la formule de Stirling pour approcher $ n! $ et $ (2n)! $. Cela donne $ !_n - 1 \sim \frac{c}{n} $ pour une certaine constante $ c $, un résultat classique en analyse asymptotique.

Où trouver des corrigés détaillés pour les épreuves de CPGE MP ?

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Corrigé : Mines Maths 2 PC 2019

Questions du sujet

1. Montrer que la fonction $ R $ est bien définie et qu’elle est continue sur $ \mathbb{R} $.

2. Montrer que l’intégrale $ \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(x^2)}{x^2} dx $ est convergente.

3. Montrer que la fonction $ \hat{f} $ est bien définie, et continue sur $ \mathbb{R} $.

4. Justifier l’existence de $ S(h) $ pour tout $ h > 0 $.

5. Montrer que
\[
S(h) = \int_{0}^{+\infty} \eta_h(t) dt.
\]}

6. Montrer que, pour tous $ h \in\,]0, 1] $ et $ t \in [1, +\infty[ $, on a
\[
|\eta_h(t)| \leq \frac{C}{1+(t-1)^2} \cdot
\]

7. En déduire que
\[
S(h) \to \int_{0}^{+\infty} f(t) dt \quad \text{quand } h \to 0.
\]

8. En déduire un équivalent de $ R(x) $ quand $ x $ tend vers 0 par valeurs strictement positives. La fonction $ R $ est-elle dérivable en 0 ?

9. Montrer que la fonction $ F $ est bien définie, $ 2\pi $-périodique et continue sur $ \mathbb{R} $.

10. Montrer que la fonction $ G $ est bien définie, $ 2\pi $-périodique et continue sur $ \mathbb{R} $.}

11. Montrer que $ G = 2\pi F $. En particulier, on a $ G(0) = 2\pi F(0) $, soit :
\[
\sum_{n \in \mathbb{Z}} \hat{f}(n) = 2\pi \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(2 n \pi),
\]

12. Montrer que, pour tout réel strictement positif $ a $, on a
\[
\sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n a) = \frac{1}{a} \sum_{n \in \mathbb{Z}} \hat{f} \left( \frac{2 n \pi}{a} \right).
\]
Cette égalité constitue la formule sommatoire de Poisson.

13. Montrer que $ f $ est de classe $ C^{\infty} $ sur $ \mathbb{R} $. On pourra utiliser un développement en série entière.

14. Etablir que $ f'(t) \to 0 $ quand $ t \to \pm\infty $, et que
\[
f''(t) = -4 e^{i t^2} + O(t^{-2})
\]
quand $ t \to \pm\infty $.

15. Montrer que l’intégrale $ I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i x^2} dx $ est convergente.}

16. Montrer que $ \hat{f}(x) = O(x^{-2}) $ quand $ x \to \pm\infty $.

17. En utilisant la formule sommatoire de Poisson, montrer qu’il existe des nombres complexes $ a $ et $ b $ tels que
\[
F(x) = F(0) + a \sqrt{x} + b x + O(x^{3/2}) \quad \text{quand } x \to 0 \text{ par valeurs strictement positives.}
\]
Préciser la valeur de $ b $, et exprimer $ a $ en fonction de $ I $ (l’intégrale $ I $ a été définie à la question 15).

18. Exprimer, pour $ x \in \mathbb{R} $, $ F(\pi + x) $ en fonction de $ F(4x) $ et de $ F(x) $.

19. Déduire de ce qui précède que la fonction $ R $ est dérivable en $ \pi $, et préciser la valeur de $ R'(\pi) $.}

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Corrigé : Mines Maths 1 PSI 2019

Questions du sujet

1. Soit $r \in \R^{*}_+$ et $p \in \N^*$. Justifier que la série entière $\sum_{n \geq 1} \frac{(pn)^r}{(pn)!} z^{pn}$ a pour rayon de convergence $+\infty$, et faire de même pour la série entière $\sum_{n\geq 1} \frac{(pn)^r}{(pn)!} z^{np}$.

2. Pour $x$ réel, expliciter $S_{0,1}(x)$ et $S_{0,2}(x)$, et en déduire la validité des énoncés $H_{0,1}$ et $H_{0,2}$.

3. Soit $x\in \R^*_+$. Montrer que $(Z_x)^r$ admet une espérance, et exprimer $\mathbb{E}\left[ (Z_x)^r \right]$ à l’aide de $S_{r,1}(x)$.

4. Pour $x > 0$, rappeler l’espérance et la variance de $X_x$. Déduire alors de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev que $\mathbb{P}\left( |Z_x-1| \geq x^{-1/3} \right) \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0$.

5. Montrer que pour tout réel $x>1$, $(1-x^{-1/3})^r \; \mathbb{P}(Z_x \geq 1-x^{-1/3}) \leq \mathbb{E}\left[ (Z_x)^r \right]$. Montrer en outre que $(1-x^{-1/3})^r \mathbb{P}(Z_x \geq 1-x^{-1/3}) \xrightarrow[x \to +\infty]{} 1$.}

6. Soit $N\in\N^*$ et $x \in \R^*_+$. Montrer que $Y_{x,N}$ admet une espérance et que $\mathbb{E}(Y_{x,N}) = x^N$.

7. Soit $N\in\N^*$. Montrer qu’il existe des réels $a_1,\ldots,a_N$ tels que $a_N=1$ et pour tout $x > 0$, $(X_x)^N = \sum_{k=1}^N a_k Y_{x,k}$. On pourra introduire la famille $(H_j)_{j\in\N}$ de polynômes à coefficients réels définie par $H_0=1$ et $\forall j \in \N^*, \; H_j = \prod_{i=0}^{j-1}(T-i)$, où l’indéterminée est notée $T$. En déduire que $\mathbb{E}\left[(Z_x)^N\right] \xrightarrow[x \to +\infty]{} 1$.

8. On pose $N= \lfloor r \rfloor$ et $s = r - N$. Montrer l’inégalité, $\forall t\in \R_+, \; t^s \leq s (t-1) + 1$, et en déduire $\forall x>0, \; (Z_x)^r \leq (1-s)(Z_x)^N + s (Z_x)^{N+1}$.

9. En combinant les résultats précédents, établir la convergence $\mathbb{E}\left[ (Z_x)^r\right] \xrightarrow[x \to +\infty]{} 1$ et conclure à la validité de l’énoncé $H_{r,1}$.

10. On fixe dans cette partie un entier naturel $p\geq 2$ et un réel $r>0$, et l’on se propose de déduire la validité de $H_{r,p}$ de celle de $H_{r,1}$. Pour $n\in \N$ et $x\in\R^*_+$, on pose $u_n(x) = \frac{n^r}{n!}x^n$.}

11. On fixe un réel $x>0$. Étudier le signe de la fonction $\Psi_x : t \mapsto t^{1-r}(t-1)^r - x$ sur $[1,+\infty[$. On montrera en particulier que $\Psi_x$ s’annule en un unique élément de $[1,+\infty[$ que l’on notera $t_x$. En déduire que la suite finie $(u_n(x))_{0\leq n\leq \lfloor t_x \rfloor}$ est croissante et que la suite $(u_n(x))_{n \geq \lfloor t_x \rfloor}$ est décroissante. L’ensemble $\{u_n(x)\mid n\in\N\}$ admet donc un maximum valant $u_{\lfloor t_x \rfloor}(x)$. Dans la suite de cette partie, ce maximum sera noté $M_x$.

12. Soit $\eta \in \R$. Déterminer la limite de $\Psi_x(x+\eta)$ quand $x\to+\infty$. En déduire que $t_x - x - r\xrightarrow[x\to+\infty]{}0$.

13. Montrer que pour tout entier relatif $k$, $u_{\lfloor x \rfloor + k}(x) \underset{x\to+\infty}{\sim} u_{\lfloor x \rfloor}(x)$.

14. Soit $m\in\N^*$. Montrer que $\sum_{i=\lfloor x\rfloor-m}^{\lfloor x\rfloor} u_i(x)\geq m\, u_{\lfloor x\rfloor}(x)$ pour $x$ voisin de $+\infty$. En déduire que, pour $x$ voisin de $+\infty$, $u_{\lfloor x\rfloor}(x)\leq \frac{x^r e^x}{m}$.

15. En déduire que pour tout entier relatif $k$, $u_{\lfloor x\rfloor+k}(x)= o_{x\to+\infty}(x^r e^x)$ puis que $M_x = o_{x\to+\infty}(x^r e^x)$. En vue de ce dernier résultat, on pourra commencer par démontrer que, pour $x$ assez grand, $M_x = u_{\lfloor x\rfloor+i}(x)$ pour un entier $i$ compris entre $\lfloor r\rfloor-1$ et $\lfloor r\rfloor+2$.}

16. Dans cette question et la suivante, on fixe un nombre complexe $z$ tel que $|z|=1$ et $z\neq 1$. Pour $n\in\N^*$, on pose $D_n = \sum_{k=0}^{n-1}z^k$. Montrer que $\forall n\in\N^*$, $|D_n|\leq \frac{2}{|1-z|}$ et que les séries $\sum_n D_n u_{n-1}(x)$ et $\sum_n D_n u_n(x)$ sont absolument convergentes.

17. On conserve le nombre complexe $z$ introduit dans la question précédente. Montrer que $\forall x\in\R^*_+$, \[ \sum_{n\geq 1} D_n\Big(u_{n-1}(x)-u_n(x)\Big) = S_{r,1}(zx) \] puis que, pour $x$ voisin de $+\infty$, \[ |S_{r,1}(zx)| \leq \frac{4 M_x}{|1-z|}, \] et conclure à la relation $S_{r,1}(zx) = o_{x\to+\infty}(x^re^x)$.

18. On pose $\omega := \exp{\left(\frac{2i\pi}{p}\right)}$. Pour tout réel $x$, montrer que \[ \sum_{k=0}^{p-1} S_{r,1}(\omega^k x) = p S_{r,p}(x) \] et en déduire la validité de $H_{r,p}$.

19. On s’intéresse ici à l’équation différentielle : (E) : $t\, x''(t) - x(t) = 0$. Montrer que, parmi les solutions de (E) sur $\R$ à valeurs réelles, il en existe une et une seule, notée $f$, qui soit la somme d’une série entière et vérifie $f'(0) = 1$. Expliciter la suite $(c_n)_{n\in\N}$ telle que $\forall t \in \R,\, f(t) = \sum_{n=0}^{+\infty}c_n t^n$.

20. Démontrer que $c_n \underset{n\to+\infty}{\sim} \frac{1}{\sqrt{\pi}}\frac{1}{\sqrt{n}}\frac{(2n)!}{4^n}$.}

21. En exploitant la validité de $H_{r,p}$ pour un couple $(r,p)$ bien choisi, démontrer l’équivalent \[ f(t) \underset{t\to+\infty}{\sim} \frac{t^{1/4}}{2\sqrt{\pi}}e^{2\sqrt{t}}. \]}

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Corrigé : Mines Maths 1 PC 2019