Relation entre deux sommes de suites décroissantes
a) Pour $n \in \mathbb{N}^*$, établir une relation simple entre $S_n = \sum_{k=1}^{n} u_k$ et $T_n = \sum_{k=1}^{n} k \left(u_k...
Mathématiques
Étude de séries définies à partir d’une suite positive
Soit $\left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle strictement positive telle que la série de terme général $u_n$ converge. Étudier la...
Nature d’une série liée à un rapport
On suppose que la série de terme général $a_n > 0$ est divergente. Soit, pour tout entier $n$, $S_n =...
Étude d’une suite et convergence d’une série numérique
Soit $\left(u_n\right){n \in \mathbb{N}} \in\left(\mathbb{R}{+}\right)^{\mathbb{N}}$ définie par : $u_0=0$ et $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\sqrt{\frac{1+u_n}{2}}$. On pose, pour $n \in...
Calcul d’une somme avec des coefficients binomiaux
Calculer la somme \(\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{(-1)^{k}}{k+1}\). ENSEA algèbre linéaireSignaler une erreur
Nombre de sous-ensembles entre deux ensembles
Soient \(A\) et \(B\) deux parties d’un ensemble \(E\). Déterminer le nombre de parties \(X \subset E\) telles que \(A...
Calcul d’une somme impliquant la fonction partie entière
Calculer la somme suivante : \[\sum_{k=0}^{n^{2}} \lfloor \sqrt{k} \rfloor.\] Indispensables algèbre linéaireSignaler une erreur
Application de l’inégalité triangulaire avec des nombres complexes
On se donne 4 points A, B, C, D du plan dont les affixes respectives sont a, b, c, d....
Montrer la bijectivité d’une application complexe
Soit \(\Phi : \mathbb{C}^{+} \to \mathbb{D}\), avec \(\Phi(z) = \frac{z – i}{z + i}\). On souhaite montrer que \(\Phi\) est...
Résolution d’une équation complexe
Soit \(z_{0}\) un nombre complexe fixé.\ a. Soit \(\theta \in]-\pi ; \pi\left[\right.\), déterminer en fonction de \(\theta\) le module et...