Équivalent d’une suite définie par une relation de récurrence.

Montrer que l’ensemble des parties finies de $\mathbb{N}$ est dénombrable.

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Soient deux réels $\alpha$ et $\beta$.
a. À quelle condition la série $\sum _{n⩾1}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^{\alpha }}$ converge ? Si c’est le cas, quel est le signe de $\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k-1}}{k^{\alpha }}$ ?
b. À quelle condition la série $\sum _{n⩾1}\frac{1}{n^{\beta }}$ converge ? Si c’est le cas, montrer que $\sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^{\beta }}\sim \frac{1}{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{(\beta -1)n^{\beta -1}}$.
c. Sous ces conditions, quand la série de terme général $w_n=\frac{\sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^{\beta }}}{\sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k-1}}{k^{\alpha }}}$ converge-t-elle ?

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Soit $E=\{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\mid f\text{ est continue et }\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)\text{ existe et est finie}\}$.
Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme $T$ défini sur $E$ par :
$$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},T(f)(x)=f(x+1).$$

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Soit $f:{\mathbb{C}}_n[X]\to {\mathbb{C}}_n[X]$ définie par
$$f(P)=(X^2+X)P(1)+(X^2–X)P(-1),$$
où $f$ est un endomorphisme de ${\mathbb{C}}_n[X]$.

1. Déterminer le noyau et l’image de $f$.
2. Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de $f$. L’endomorphisme $f$ est-il diagonalisable ?

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Soit

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