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Questions du sujet

Questions du sujet

1. Établir l'expression de la différence de marche $\delta$ entre les ondes réfléchies par deux motifs successifs du réseau.

2. Justifier sans calcul que l'onde rétrodiffusée sera particulièrement intense dans les directions telles que
\[ \exists p \in \mathbb{Z}, L(\sin \theta + \sin i) = p \lambda \]
Par analogie avec la cristallographie, et selon l'usage adopté en océanographie, cette relation sera dans la suite appelée loi de Bragg.}

3. L'air étant assimilé au vide, démontrer l'équation de propagation à laquelle $\overrightarrow{E_{\mathrm{i}}}$ obéit et en déduire la relation entre $k_{\mathrm{i}}, q_{\mathrm{i}}$ et $\omega$.

4. En comparant les ordres de grandeur de plusieurs grandeurs pertinentes, analyser l'acceptabilité de cette simplification pour les ondes de la bande HF.

5. Trouver le coefficient de réflexion $r_{0}$ et exprimer $k_{0}$ en fonction de $k_{\mathrm{i}}$. Justifier enfin l'égalité $q_{0} = q_{\mathrm{i}}$.}

6. Détailler l'expression du vecteur $\overrightarrow{OM}$ pour un point de l'interface air-eau. Montrer que la présence de cette frontière se traduit par la relation
\[ -2 j q_{\mathrm{i}} h(x) e^{j k_{\mathrm{i}} x} + r_{1} e^{j k_{r} x} = 0 \]

7. Exprimer $r_{1}$ en fonction de $q_{\mathrm{i}}$ et $h_{0}$, et $k_{r}$ en fonction de $k_{\mathrm{i}}$ et $k_{v}$. Indiquer quel intérêt la mesure de $r_{1}$ présente en ce qui concerne l'étude de l'état de la mer.

8. À partir du résultat de la question précédente, retrouver la loi de Bragg (1) rencontrée dans la question Q2, pour un ordre $p$ à préciser.}

9. Expliquer sous quelles hypothèses et/ou approximations cette égalité se déduit de la relation (1).

10. Pour un radar émettant à $12,3 \, \mathrm{MHz}$, trouver numériquement la longueur d'onde des vagues sélectionnées.

11. Proposer en notation réelle deux expressions de $h(x, t)$ correspondant aux deux sens de propagation des vagues et donner la relation entre $U, \omega_{v}$ et $k_{v}$.}

12. Trouver, d'une part, l'expression de $\omega_{r}$ en fonction de $\omega$ et $\omega_{v}$ et, d'autre part, celle de $k_{r}$ en fonction de $k_{i}$ et $k_{v}$.

13. En utilisant les deux relations établies dans la question précédente, montrer que $f_{r}$ est donnée par l'un des deux cas de la relation (6). Fournir ensuite l'expression de $f_{r}$ pour une onde s'approchant du rivage.

14. En utilisant la loi de Bragg, montrer que $f_{r} - f = \pm f_{B}$ et exprimer la fréquence de Bragg $f_{B}$ en fonction de $g$ et $\lambda$.}

15. Dans le référentiel $\mathcal{R}$, exprimer d'une part la vitesse des vagues s'approchant du rivage et d'autre part celle des vagues qui s'en éloignent (on distinguera sans ambiguïté les deux cas). Montrer qu'en présence de courants de surface,
\[ f_{r} - f = \pm f_{B} + f_{D} \]
et donner l'expression du décalage Doppler $f_{D}$ en fonction de $v_{x}$ et de $c$.

16. À l'aide de ces deux graphiques, proposer une valeur expérimentale pour $f_{B}$. Discuter, à l'aide d'un critère quantitatif, la compatibilité de la valeur obtenue avec l'expression établie en Q14. Dans chacun des deux cas, trouver la vitesse $v_{x}$ du courant. Préciser si les courants circulent en s'approchant ou en s'éloignant de la côte.

17. Calculer numériquement $v_{E}$ et $v_{N}$. Analyser la cohérence des valeurs obtenues avec les informations fournies par la carte de la figure 4 sur la norme et l'orientation du vecteur vitesse.}

18. Exprimer à un facteur près le signal intermédiaire $v_{i}$, puis justifier que son spectre fait apparaître les fréquences $f_{2} + f_{1}$ et $|f_{2} - f_{1}|$. Indiquer le type de filtrage qui permet d'obtenir, à la sortie du filtre, un signal $v_{d}$ de fréquence $|f_{2} - f_{1}|$.

19. Proposer pour $\mathcal{F}$ un schéma électrique de filtre passif convenable, sans préciser pour l'instant les valeurs des composants. Un filtre d'ordre 1 est acceptable mais le jury valorisera davantage un filtre d'ordre 2, plus efficace.

20. Exprimer la fonction de transfert du montage de la question précédente. Pour $f_{1} \approx f_{2} \approx 40 \, \mathrm{kHz}$, proposer des valeurs réalistes pour les composants du filtre $\mathcal{F}$.}

21. Dans l'hypothèse d'un filtrage idéal, exprimer le signal $v_{dQ}$ et expliquer comment son observation conjointe à celle de $v_{d}$ permet d'obtenir le signe de $f_{2} - f_{1}$.

22. Exprimer $f(t)$ et tracer schématiquement le graphe de ses variations sur deux périodes.

23. Donner l'expression de $\tau$. Pour $d = 10 \, \mathrm{km}$, vérifier qu'il est très inférieur à $T_{m}$, puis représenter sur un même graphique les variations de $f(t)$ et $f_{r}(t)$. Les deux courbes seront légendées et tracées en deux couleurs distinctes. Pour ce graphique seulement, on prendra $\tau = T_{m} / 10$.}

24. Exprimer la fréquence $f_{d}$ du signal démodulé $v_{d}$. Montrer que sa mesure permet d'accéder à la distance $d$ de la cible, qu'on exprimera en fonction de $c, B$ et $T_{m}$.

25. Expliquer en quoi consiste le phénomène de «repllement du spectre» et comment s'en prémunir.

26. Commenter ces deux spectres et analyser leur capacité à révéler les composantes spectrales de $v(t)$. Exprimer en fonction de $N_{e}$ et $T_{e}$ la précision en fréquence $\delta f$ (identique à la résolution spectrale), et donner sa valeur numérique dans chacun des deux cas.}

27. Indiquer jusqu'à quelle fréquence maximale on peut obtenir le spectre pour en déduire $f_{r} - f$. En déduire la valeur maximale de $f_{D}$ atteignable et la vitesse $v_{x}$ maximale associée. On rappelle que ces grandeurs ont été reliées l'une à l'autre dans la question Q15.

28. Pour $N = 4096$, fournir la résolution spectrale de la mesure de $f - f_{r}$. En déduire la résolution $\Delta v_{x}$ sur la vitesse $v_{x}$.

29. Exprimer la valeur maximale $f_{d \text{max}}$ de $f_{d}$ que l'on peut déduire de l'analyse de ce spectre. Pour une portée de radar $d_{\text{max}}$ égale à 50 km, proposer une valeur de $M$ compatible. On rappelle que $d$ et $f_{d}$ ont été reliées l'une à l'autre dans la question Q24.}

30. Indiquer quelle est la résolution spectrale sur la mesure de $f_{d}$. En déduire la résolution en distance $\Delta d$. Pour information, la société Helzel Messtechnik indique que l'utilisateur peut paramétrer le radar et choisir des résolutions de $0,3 \, \mathrm{km}$, $0,6 \, \mathrm{km}$ et $1,2 \, \mathrm{km}$.

31. Établir le diagramme de prédominance des différentes formes acidobasiques du dioxyde de carbone dissout en fonction du pH. En déduire l'espèce prédominante au pH de l'eau de mer (pH = 8,1).

32. Calculer la constante thermodynamique d'équilibre de la réaction (11).}

33. Déterminer si c'est le cas de l'eau de mer dont la composition est décrite dans le tableau 1.

34. Calculer le pH d'apparition du précipité $\mathrm{Mg(OH)}_{2}(\mathrm{s})$ lorsqu'on ajoute des ions hydroxyde $\mathrm{HO}^{-}$ à l'eau de mer étudiée.

35. Calculer le potentiel d'oxydoréduction à $T = 298 \, \mathrm{K}$ du couple $\mathrm{O}_{2}(\mathrm{g}) / \mathrm{H}_{2}\mathrm{O}(\mathrm{liq})$ au pH de l'eau de mer (pH = 8,1) à l'équilibre avec l'air.}

36. Calculer de même le potentiel d'oxydoréduction du couple $\mathrm{H}^{+}(\mathrm{aq}) / \mathrm{H}_{2}(\mathrm{g})$ au pH de l'eau de mer à l'équilibre pour une pression partielle de dihydrogène de 1 bar.

37. Pour chacun des domaines de potentiel ci-dessous, écrire la (les) réaction(s) électrochimique(s) observée(s) et expliquer l'allure de la courbe dans le domaine correspondant :
(a) $-1,00 \, \mathrm{V} < U < -0,45 \, \mathrm{V}$; (b) $U < -1,00 \, \mathrm{V}$. 38. Indiquer sur un graphique comment serait modifiée la courbe si elle était tracée avec une eau de mer contenant une plus faible concentration de dioxygène dissout.} 39. Expliquer ces observations. 40. Montrer que deux réactions sont envisageables à l'anode. 41. Faire un schéma de la cellule d'électrolyse en fonctionnement en indiquant le sens de circulation du courant et la ou les réaction(s) aux électrodes.} 42. Donner un schéma de Lewis de l'ion carbonate $\mathrm{CO}_{3}^{2-}$. On rappelle que le carbone et l'oxygène sont situés respectivement dans la quatrième et la sixième colonne de la deuxième période du tableau périodique des éléments. 43. Justifier qualitativement la géométrie plane de l'ion carbonate. 44. Préciser la nature des interactions à l'origine de la cohésion de l'aragonite. 45. Vérifier, en déterminant la masse volumique de l'aragonite, qu'elle est moins stable que la calcite à basse pression.}

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