Questions du sujet
1. Décrire ce que représentent les équations (2) et (4).
2. Dans le nuage moléculaire que l’on considère, l’hydrogène est principalement sous forme de dihydrogène. Calculer la masse molaire moyenne $\mu$ correspondante. La comparer à la masse molaire moyenne $\mu_\odot$ à l’intérieur d’une étoile où l’hydrogène est cette fois principalement sous forme atomique.
3. En supposant les perturbations du premier ordre devant les valeurs à l’équilibre, justifier que la linéarisation du système précédent mène aux équations
$$
\frac{\partial\vec{v}_1}{\partial t} = -\frac{1}{\rho_0}\vec{\nabla}(P_1) – \vec{\nabla} (\Phi_1)
$$
$$
\frac{\partial\rho_1}{\partial t} + \rho_0 \vec{\nabla} \cdot \vec{v}_1 = 0
$$
$$
\Delta\Phi_1 = 4 \pi G \rho_1
$$
$$
P_1 = \frac{R}{\mu}\rho_1 T = v_s^2 \rho_1
$$
4. On suppose à présent que la perturbation correspond à une onde plane se propageant suivant l’axe (Ox), c’est-à-dire qu’en notation complexe, les perturbations $\rho_1, P_1, \Phi_1$ et $\vec{v}_1$ sont proportionnelles à $e^{j(\omega t – kx)}$. \\
Justifier que la vitesse s’écrive dans ces conditions $\vec{v} = v_1 e^{j(\omega t – kx)} \vec{e}_x$. \\
De quelle nature est cette onde plane ?
5. Algébriser le système différentiel.}
6. En déduire la relation de dispersion liant $\omega$ à $k$ pour l’onde considérée.
7. Montrer alors qu’il existe une longueur d’onde (dite de Jeans) $\lambda_J = \sqrt{\dfrac{\pi v_s^2}{G \rho_0}}$ telle que le système considéré soit instable à toute perturbation qui vérifie $\lambda > \lambda_J$.
8. En déduire une estimation de la taille initiale du nuage de gaz ayant mené à la formation du Soleil. La comparer à la taille actuelle du système solaire (environ 100 UA où $1~UA = 1,5 \times 10^{11}~m$ est l’Unité Astronomique). Exprimer aussi le résultat en années lumière.
9. Vis à vis des forces mises en jeu qui s’équilibrent et par un argument d’analyse dimensionnelle, déterminer une estimation de la pression $P_C$ au centre de l’étoile. \\ Calculer l’ordre de grandeur dans le cas du Soleil.
10. En considérant l’étoile comme une sphère homogène constituée d’un gaz parfait, estimer la température $T_C$ au centre de l’étoile. \\ Calculer l’ordre de grandeur dans le cas du Soleil.}
11. Rappeler les analogies entre champ électrostatique et champ gravitationnel. \\ Établir alors le théorème de Gauss gravitationnel par analogie avec le cas électrostatique.
12. En déduire l’expression vectorielle du champ gravitationnel $\vec{G}$ à une distance $r$ du centre de l’étoile. \\ On notera $m(r)$ la masse de l’étoile interne à une sphère de rayon $r$ concentrique à l’étoile.
13. En considérant un petit élément de volume $dV$ de matière stellaire à l’équilibre, établir la loi fondamentale de l’hydrostatique. On notera $\rho(r)$ la masse volumique du fluide stellaire à une distance $r$ du centre de l’étoile.
14. En déduire l’équation différentielle liant $P(r)$, $G(r) = \vec{G} \cdot \vec{e}_r$ et $\rho(r)$.
15. Que peut-on supposer de la pression à la surface de l’étoile, c’est-à-dire en $r = R$ ?}
16. Déterminer la pression et la température au centre de l’étoile dans le cadre de ce modèle en fonction de $G$, $M$ et $R$.
17. Un modèle numérique du Soleil donne la courbe suivante. Cela valide-t-il les résultats précédents ? \\ Commenter.
18. Déterminer la vitesse du satellite sur son orbite en considérant qu’il n’est soumis qu’à la seule force gravitationnelle exercée par $M$. En déduire l’expression de l’énergie mécanique du mobile en fonction uniquement de $G$, $M$, $m$ et $r$.
19. Comment se comparent l’énergie cinétique du mobile et son énergie potentielle de gravitation ?
20. Expliquer ce qui arrive à la fois au rayon de l’orbite et à la vitesse du satellite sur son orbite.}
21. Comment ce phénomène peut-il illustrer la notion de capacité thermique négative ?
22. Considérons une coquille sphérique de masse $dm$ et d’épaisseur $dr$. Justifier que l’énergie potentielle gravitationnelle propre de l’étoile puisse s’écrire $E_g = -\int_0^M \frac{Gm}{r} dm$.
23. Donner, en la justifiant rapidement, l’expression de l’énergie interne massique $u$ associée à un gaz parfait monoatomique, d’abord en fonction de la masse molaire $\mu$ du gaz, de la constante $R$ des gaz parfaits et de la température, puis en faisant intervenir la pression $P$ et la masse volumique $\rho$. Pourquoi peut-on supposer le gaz parfait monoatomique ?
24. En définissant l’énergie interne totale sous la forme $U = \int_0^M u~dm$, et à partir de la loi fondamentale de l’hydrostatique s’écrivant dans ce contexte $dP/dr = -\rho(r)\frac{Gm(r)}{r^2}$, montrer que l’on peut écrire $E_g + \zeta U = 0$ avec $\zeta$ une constante à déterminer.
25. Que peut-on en déduire concernant le rayon $R$ de l’étoile et sa température moyenne ? Pourquoi parle-t-on de « capacité thermique négative » ?}
26. Expliquer en quoi cette notion de « capacité thermique négative » permet de garantir la stabilité globale de l’étoile.
27. Expliquer aussi pourquoi les étoiles plus massives ont tendance à consommer leur « carburant » plus vite que des étoiles plus légères telles que le Soleil.
28. Le libre parcours moyen $\ell$ d’un photon dans l’intérieur solaire est donné par la formule $\ell = \frac{1}{\kappa \rho}$ où $\kappa$ correspond au coefficient moyen d’absorption par unité de masse (il vaut typiquement de l’ordre de $\kappa = 1,0$~cm$^2$·g$^{-1}$ pour la matière stellaire) et $\rho$ la masse volumique à l’endroit considéré. Calculer la valeur de $\ell$ pour le Soleil en utilisant pour $\rho$ sa valeur moyenne.
29. En interpolant ces résultats, déterminer le nombre moyen d’étapes nécessaires pour qu’un photon créé au centre du Soleil puisse en sortir.
30. En supposant instantané le phénomène d’absorption/réémission, en déduire une estimation du temps nécessaire pour qu’un photon produit au centre du Soleil puisse effectivement en sortir (on l’exprimera en unité « parlante »). Commenter.}
31. En fait, le phénomène d’absorption/réémission prend de l’ordre de $10^{-9}$s. Est-ce effectivement négligeable dans le calcul ?
32. Quelle est la valeur du coefficient $\gamma$ pour une étoile (on rappelle que la matière stellaire est un gaz monoatomique) ? On le supposera constant partout dans l’étoile par la suite.
33. D’où provient l’équation (5) ?
34. À partir de l’équation (6), montrer que l’on a la relation $r_0 \frac{\partial \varepsilon_r}{\partial r_0} + 3 \varepsilon_r + \varepsilon_\rho = 0$.
35. En déduire une relation entre $\varepsilon_P$ et $\varepsilon_\rho$ en supposant que les oscillations sont adiabatiques et quasistatiques.}
36. Décrire (avec des mots) à quoi ressemble une telle solution avec $\varepsilon_r = \text{Cste}$.
37. Qu’est-ce que cela implique comme valeur pour $A$ dans l’équation différentielle trouvée précédente ?
38. En déduire la pulsation $\omega_0$ correspondante. Application numérique de la période correspondante pour le Soleil.
39. Pourquoi parle-t-on de relation « période–masse volumique » pour les étoiles pulsantes ?
40. Si l’on cherche à présent une solution sous la forme $\varepsilon_r = 1 + b\xi^2$, on trouve $b = -\frac{7}{5}$ et $A = 14$. Que peut-on en déduire concernant la pulsation $\omega_1$ d’oscillation comparée à $\omega_0$ ?}
41. Le lien « période–masse volumique » est-il retrouvé sur cet exemple numérique ?
42. Pourquoi une telle étoile est-elle nommée « étoile variable cataclysmique » ?
43. La figure suivante est tirée d’un article de 1930 par Cecilia Payne: la relation « période–masse volumique » est-elle conforme à la théorie énoncée précédemment ?
44. L’article précédent ne précise pas dans quelles unités sont respectivement prises les périodes et les masses volumiques moyennes (c’est mal !). Quelles sont les unités probables de ces deux quantités ?
45. Écrire les équations de Maxwell dans un plasma. Énoncer les approximations usuelles dans un tel milieu.}
46. Quelle est alors l’équation de propagation vérifiée par le champ électrique ?
47. On introduit la « pulsation plasma » $\omega_p = \sqrt{\frac{n e^2}{m_e \varepsilon_0}}$ où $n$ est la densité volumique d’électron, $e$ la charge élémentaire et $m_e$ la masse d’un électron. \\
Démontrer la condition de propagation des ondes électromagnétiques dans le plasma.
48. Expliquer en quoi la présence d’hélium peut augmenter l’opacité du matériau stellaire. En particulier, que se passe-t-il si l’hypothèse d’ionisation unique n’est plus vérifiée ?
49. Que deviennent les ondes électromagnétiques qui ne peuvent se propager ? Quelle influence thermodynamique sur la coquille sphérique considérée ?
50. Expliquer en quoi ce phénomène peut tendre à faire naître une oscillation qui sera auto-entretenue (voire divergente) si sa pulsation est proche de la pulsation propre de l’étoile.}