Questions du sujet
1. 1. En notant $\delta_n$ l’élongation du $n^{\text{ième}}$ ressort (définie comme la différence entre sa longueur et sa longueur à vide), rappeler l’expression de l’énergie potentielle élastique qu’il emmagasine.1. 2. Donner l’expression, sous forme d’une somme discrète de l’énergie potentielle élastique emmagasinée sur une longueur d’onde, notée $E_p^\lambda$.
1. 3. Si la fonction $u(x, t)$ était constante selon $x$, cela signifierait que les molécules ont avancé en bloc, et donc qu’aucun des ressorts n’aurait été comprimé. Ainsi, dans le cas général, l’élongation de chaque ressort est localement reliée non pas à la valeur de $u$ mais à sa variation spatiale : $$\frac{\delta(x, t)}{a} = \frac{\partial u(x, t)}{\partial x}$$ Justifier alors que l’énergie potentielle élastique définie à la question précédente peut désormais s’écrire : $$E_p^\lambda = \frac{1}{2}\kappa a \int_0^\lambda \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 \mathrm{d}x$$
1. 4. Donner, sous la forme d’une intégrale, l’énergie cinétique $E_c^\lambda$ sur une longueur correspondant à une longueur d’onde.
1. 5. On admettra qu’au passage de l’onde, l’énergie mécanique est également répartie entre ses composantes cinétique $E_c^\lambda$ et potentielle $E_p^\lambda$. En déduire la relation suivante : $$\omega^2 = k^2 c^2$$ où $c$ est une constante dont on donnera l’expression et la signification physique.}
1. 6. Cette relation de dispersion (établie par une approche énergétique) peut permettre de remonter à l’équation d’onde qui régit les déformations du milieu. En effet, la dérivée temporelle d’une OPPH fait apparaître un facteur $\omega$ (ou $j\omega$ en notation complexe). Proposer alors une équation de propagation linéaire, sur une déformation $u(x, t)$ quelconque, qui corresponde à la relation de dispersion. Commenter cette équation d’onde.
1. 7. Dans le régime statique ici considéré, la compression est homogène, c’est-à-dire que tous les ressorts individuels (dans la direction $(Ox)$) se compriment d’une même longueur $\delta$. Tracer l’allure du déplacement $u(x)$.
1. 8. Exprimer en fonction des dimensions de la plaque ($e$, $l$ et $L$) le nombre de ressorts individuels comprimés.
1. 9. Montrer alors que l’énergie potentielle élastique de la plaque comprimée s’écrit : $$E_p^L = \frac{1}{2}K\frac{el}{L}\Delta L^2$$ où $K = \kappa/a$ est la raideur par unité de longueur.
1. 10. Quel est le sens physique de la grandeur $R_C$ ? Donner une relation géométrique entre $R_C$, $\theta$ et $L$.}
1. 11. On notera $r$ la distance (algébrique) qui sépare un point quelconque au sein de la plaque de la fibre neutre (voir figure 4). Par convention, $r$ sera positive dans la zone en extension, et négative dans la zone en compression. Considérons le système d’épaisseur infinitésimale $\mathrm{d}r$ compris entre $r$ et $r + \mathrm{d}r$ (en gris foncé sur la figure 4). Exprimer l’élongation de cette fibre en fonction de $r$, $L$ et $R_C$.
1. 12. En utilisant le résultat de la question 9, exprimer l’énergie potentielle élémentaire emmagasinée par cet élément.
1. 13. En déduire que l’énergie potentielle élastique de la tranche sur toute son épaisseur $e$ s’écrit : $$E_p^L = A K \frac{L l e^3}{R_c^2}$$ où $A$ est un préfacteur numérique dont on donnera l’expression. Dans la suite, si nécessaire, on pourra utiliser ce résultat sans expliciter la valeur de la constante $A$.
1. 14. On définit l’inclinaison locale de la plaque par rapport à la position au repos horizontale, notée $\alpha(x, t)$. Pour rappel, on se place dans le régime des faibles déformations. Donner alors la relation liant $\alpha(x, t)$ à $Z(x, t)$.
1. 15. Calculer alors l’énergie potentielle élastique intégrée sur une longueur d’onde, notée $E_p^\lambda$.}
1. 16. Donner l’expression de l’énergie cinétique totale sur une longueur d’onde, notée $E_c^\lambda$, en fonction des paramètres de l’OPPH.
1. 17. On admettra que lors de la propagation de l’onde, les moyennes temporelles des énergies potentielles élastique et cinétique sont égales. Etablir alors la relation de dispersion : $$12\,\omega^2 = e^2 c^2 k^4$$
1. 18. Donner l’expression de $c$ en fonction de la raideur $K$ et de la masse volumique du matériau $\rho$. Calculer sa valeur numérique et commenter. On prendra $K = 70\text{ GPa}$ et $\rho = 2500\text{ kg/m}^3$, valeurs typiques pour le verre.
1. 19. Montrer que la vitesse de groupe vaut le double de la vitesse de phase. Comment ces vitesses varient-elles avec la fréquence de l’OPPH ? Quelles conséquences cela a-t-il sur la propagation d’un paquet d’ondes ?
1. 20. En reprenant la méthode de la question 6, proposer une équation de propagation linéaire pour l’équation d’onde. Commenter chacun des termes de cette équation.}
1. 21. A cause des conditions aux limites (ici périodiques), le nombre d’onde correspondant à un mode propre est quantifié. Citer un système d’un autre domaine de la physique dans lequel une telle condition existe.
1. 22. Dans le cas de la flûte, exprimer cette condition de quantification sur le nombre d’onde $k$.
1. 23. La figure 5 correspond au second mode propre. Représenter sur un schéma similaire le premier mode propre et décrire le mouvement du verre correspondant.
1. 24. Lorsque l’on cherche à faire chanter une flûte avec le doigt mouillé, le second mode propre est naturellement sélectionné. Donner l’expression de la fréquence (temporelle) de ce mode.
1. 25. Faire l’application numérique et discuter du résultat obtenu (pour rappel : $K = 70\text{ GPa}$, $\rho = 2500\text{ kg/m}^3$).}
1. 26. Lors d’un séisme, les ondes de compression longitudinales (ondes P) se propagent à une vitesse de $6\text{ km/s}$. Cette valeur est-elle cohérente avec les résultats précédents ?
1. 27. On lit souvent dans la littérature que les ondes transverses S (que l’on assimilera abusivement ici aux ondes de flexion étudiées) se propagent à une vitesse de $4\text{ km/s}$. Pour que cette affirmation ait un sens, s’agit-il de la vitesse de phase ou de groupe ? Justifier.
1. 28. D’après ces données, calculer la longueur d’onde des ondes S.
1. 29. La figure 6 montre le diagramme temps-fréquence d’un enregistrement acoustique à une certaine distance de l’impact. Deux pierres ont été lancées. L’origine des temps est arbitraire. Commentez cette figure.
1. 30. Expliquer comment, sur le principe, ces données pourraient permettre de calculer l’épaisseur de la couche de glace.}
1. 31. Expliquer pourquoi le son perçu sera différent pour des observateurs situés à une distance de $50\text{ m}$ ou $500\text{ m}$ de l’impact.
1. 32. On adoptera le modèle scalaire de la lumière et l’on notera $s_1$ l’amplitude du rayon de référence à son arrivée sur la photodiode, donné sous sa forme réelle : $s_1 = a_1 \cos(\phi_1)$, où $\phi_1$ est le déphasage induit le long du trajet optique ($OS_0S_1M_1S_1S_3P$). De même, le rayon sonde est noté : $s_2 = a_2 \cos(\phi_2)$. En notant $a_0$ l’amplitude du laser à la source, exprimer les amplitudes $a_1$ et $a_2$. Pourquoi ne pas avoir simplement placé un miroir, judicieusement orienté, à la place de la séparatrice ($S_1$) ?
1. 33. Exprimer les déphasages $\phi_1$ et $\phi_2$ en fonction des distances en jeu et du temps.
1. 34. A quelle condition sur la distance $D$ peut-on obtenir des interférences ? Proposer un ordre de grandeur. Dans la suite, pour simplifier, on prendra $D = d$.
1. 35. Montrer, en détaillant le raisonnement, que la tension produite par la photodiode s’écrit : $$U(t) = U_0 \left(1 + \cos\left(4\pi \frac{z(t) – \epsilon}{\lambda_l}\right)\right)$$ où $U_0$ est une constante dépendant des caractéristiques de la photodiode et de l’intensité de la source laser, que l’on ne cherchera pas à exprimer. On rappelle que : $2\cos a \cos b = \cos(a + b) + \cos(a – b)$.}
1. 36. On se place dans le cas (très restrictif) des très faibles déformations : $a_z \ll \lambda_l$. En se plaçant au contact optique ($\epsilon = 0$), représenter l’allure de la tension $U(t)$ mesurée sur un oscilloscope pendant une période de vibration. Commenter.
1. 37. Comment faut-il agir sur la vis micrométrique pour que la mesure de la vibration soit la plus sensible possible ? Avec quelle précision faut-il effectuer ce réglage ?
1. 38. Dans ce cas optimisé, tracer l’allure de $U(t)$.
1. 39. Dans le cas où l’amplitude des vibrations est largement plus grande que la longueur d’onde du laser, représenter sur une période de vibration le signal électrique $U(t)$.
1. 40. Comment faudrait-il procéder pour en déduire l’amplitude de vibration $a_z$ sur un oscilloscope ?}
1. 41. La figure 8 montre une succession de fronts d’onde (à la même phase) de période $T$, se déplaçant à une célérité $c_0$ en direction d’un miroir avançant à une vitesse $v$. A l’instant $t = 0$ représenté, un front d’onde atteint le miroir. A $t = T$, le front d’onde suivant a avancé d’une distance correspondant à la longueur d’onde mais le miroir s’est déplacé. L’impact entre ce front et le miroir se produit donc à un instant différent $T’$ (avec $T’ > T$ si $v > 0$). Exprimer la période $T’$ en fonction de $T$ et du rapport $v/c_0$ (on se placera dans le cas non-relativiste où $v \ll c_0$).
1. 42. Le miroir agit ainsi comme une source mobile qui émet une onde en direction de ($S_2$) avec une période $T’$. On note à nouveau $t = 0$ l’instant auquel un front d’onde est émis. A $t = T’$, ce front d’onde a parcouru une distance $c_0 T’$ en direction de ($S_2$) alors que le miroir a avancé d’une distance $v T’$. En déduire la longueur d’onde $\lambda”$ de l’onde ainsi réémise. Donner alors la période $T”$ associée en fonction de $T’$ et du rapport $v/c_0$.
1. 43. Montrer alors que le décalage en fréquence Doppler $f_D$ défini comme la différence entre les fréquences des signaux réfléchi et incident est donné par : $$f_D = -2 f_l \frac{v}{c_0}$$
1. 44. Calculer la valeur numérique de la fréquence du rayon laser à sa source. En déduire l’amplitude des variations du décalage Doppler.
1. 45. Exprimer à nouveau les déphasages $\phi_1$ et $\phi_2$. Développer puis linéariser l’expression de l’intensité lumineuse sur la photodiode à un instant donné. Pour rappel, on considère désormais que $D = d$.}
1. 46. Afin d’établir la formule de Fresnel, il faut classiquement moyenner cette intensité sur le temps. Sur quelle durée typique cette intégration doit-elle être réalisée ? Expliquer alors pourquoi les deux rayons produisent néanmoins une intensité lumineuse variable dans le temps.
1. 47. Montrer alors que la tension peut s’écrire sous la forme : $$U(t) = U_0 \Big( 1 + \cos\big[ 2\pi f_D(t) (t – \tau) \big] \Big)$$ où $\tau$ est une constante dont on donnera l’expression.
1. 48. Calculer la valeur numérique de $\tau$ et commenter.
1. 49. Expliquer pourquoi il n’est pas possible de distinguer le sens de déplacement de la plaque.
1. 50. Donner alors l’expression de $U(t)$ et expliquer pourquoi ce décalage permet de lever l’indétermination sur le sens de déplacement de la plaque.}
1. 51. Avec le réseau de Bragg, le vibromètre repose ainsi sur le principe de modulation de fréquence. Justifier ce terme.
1. 52. Représenter schématiquement le signal $U(t)$ en faisant apparaître de façon exagérée cette modulation.
1. 53. Afin de mesurer la vitesse des vibrations, on réalise le montage électrocinétique présenté sur la figure 9. Montrer que les tensions d’entrée $U(t)$ et de sortie $U_s(t)$ vérifient : $$\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t} = \frac{U_s}{RC} + \frac{\mathrm{d}U_s}{\mathrm{d}t}$$
1. 54. On cherche à utiliser ce circuit en régime dérivateur, c’est-à-dire tel que la tension de sortie soit directement proportionnelle à la dérivée temporelle de la tension d’entrée. Proposer des valeurs pour $R$ et $C$ afin de se placer dans ce régime.
1. 55. Tracer alors l’allure du signal de sortie $U_s(t)$.}
1. 56. Expliquer comment en déduire l’amplitude des vibrations.}
FAQ
Pour ce sujet, tu dois maîtriser la propagation des ondes mécaniques dans les milieux élastiques, savoir établir des relations de dispersion, manipuler les équations d’onde et comprendre la distinction entre vitesse de phase et vitesse de groupe. Il faut également être à l’aise avec l’énergie mécanique (potentielle et cinétique) associée aux ondes, ainsi qu’avec la modélisation de systèmes discrets (chaînes de masses-ressorts) et leur passage à la limite continue.
La relation de dispersion relie la pulsation ω au nombre d’onde k. Elle te permet de comprendre comment la vitesse de propagation dépend de la fréquence, ce qui est fondamental pour analyser la forme d’une onde qui se propage, les phénomènes de dispersion, et la manière dont un paquet d’ondes va s’étaler ou rester cohérent en fonction du milieu. C’est un outil clé pour décrypter et modéliser le comportement des ondes dans de nombreux contextes physiques.
Tu utilises la limite où le nombre de ressorts tend vers l’infini tout en gardant une longueur totale finie. Les élongations individuelles deviennent alors une fonction continue u(x,t) et les sommes se remplacent par des intégrales. Les différences finies (différences entre déplacements voisins) se traduisent par des dérivées spatiales. Ce passage te permet d’utiliser la physique des milieux continus pour modéliser une corde, une plaque ou un autre support d’ondes mécaniques.
La vitesse de phase correspond à la vitesse à laquelle chaque crête d’onde se déplace (v = ω/k), tandis que la vitesse de groupe est la vitesse à laquelle l’enveloppe d’un paquet d’ondes — c’est-à-dire l’information ou l’énergie — se propage. Les deux coïncident seulement pour des milieux non dispersifs. Cette distinction est essentielle pour comprendre la transmission de signaux et la déformation d’un paquet d’ondes lors de la propagation.
L’énergie mécanique d’une onde — somme des énergies cinétique et potentielle élastique — sert à décrire quantitativement la dynamique du système, son évolution, et la répartition de l’énergie au sein du milieu. Elle intervient pour relier l’amplitude de l’onde aux autres grandeurs physiques et pour établir des relations fondamentales comme la relation de dispersion ou les équations de propagation.
Les conditions aux limites imposent des restrictions géométriques qui conduisent à la quantification des fréquences ou des énergies permises (ex : modes propres, niveaux d’énergie). C’est une idée centrale aussi bien en mécanique classique (cordes vibrantes, lames, flûtes) qu’en mécanique quantique (puits de potentiel, particule dans une boîte, atomes). La quantification permet d’expliquer le spectre des solutions possibles dans un système donné.
Tu dois savoir que l’interférence résulte de la superposition de deux ondes cohérentes ; la modulation (notamment en fréquence) signifie que certaines caractéristiques de l’onde porteuse varient dans le temps, ce qui permet de mesurer des déplacements fins comme des vibrations par effet Doppler. Dans ce sujet, on croise la mesure optique de vibrations via un montage interférométrique, d’où l’importance de maîtriser ces notions.
En sismologie, on distingue des ondes longitudinales (P) et transverses (S) dont la vitesse de propagation dépend des propriétés mécaniques du milieu (module d’élasticité, densité). Analyser les temps d’arrivée et les vitesses de ces ondes permet de sonder la structure des couches géologiques. Les calculs réalisés sur des matériaux modèles, comme dans le sujet, fournissent des ordres de grandeur comparables aux mesures sismologiques.
Maîtriser l’équation d’onde, c’est savoir identifier la forme des solutions (sinusoïdales, paquets d’ondes) en fonction des conditions initiales et aux limites. Cela te permet de relier les aspects énergétiques, géométriques et temporels d’un système et de justifier la forme des modes propres dans des contextes très variés, des chaînes de ressorts aux résonateurs optiques en passant par les plaques vibrantes. C’est un outil universel.
En débloquant le corrigé, tu accéderas à la correction complète, aux méthodes détaillées étape par étape, à des exercices corrigés dans l’esprit du concours, et à ton dashboard personnalisé pour suivre ta progression. De quoi te préparer efficacement, gagner du temps et combler rapidement tes zones d’ombre sur les notions clefs du programme.