Questions du sujet
1. 1. Représenter l’allure des lignes de champ (orientées) de l’aimant (0).1. 2. Exprimer, dans le repère $\mathcal{R}\,(O, x, y, z)$, le champ $\vec{B}_0(P(r, \theta))$ correspondant à chacun des points suivants : $P_1 = P(D, 0)$, $P_2 = P(D, \pi/2)$, $P_3 = P(D, \pi)$ et $P_4 = P(D, 3\pi/2)$.
1. 3. Exprimer la composante $\vec{B}_0(P_1) \cdot \vec{e}_z$ en fonction de $\mu_0$ et $M_v$. Estimer sa valeur et la commenter brièvement.
1. 4. En remarquant que les points $\mathrm{I}_0$ et $\mathrm{I}_1$, représentés sur la figure (3) (b), étaient initialement confondus (c’est-à-dire pour $\theta = 0$), justifier que $\theta_1 = 2\theta$.
1. 5. Établir l’inventaire des actions mécaniques qui s’exercent sur l’aimant (1). Il ne s’agit que d’un inventaire, on ne cherchera donc pas à expliciter chacune de ces actions mécaniques.}
1. 6. Justifier que l’énergie mécanique du système $\{(0), (1)\}$ (en interaction gravitationnelle avec la Terre) est conservée.
1. 7. Exprimer, en fonction de $M$ et de l’angle $\theta$, le moment magnétique $\vec{M}_1$, dans la base polaire $(\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_x)$.
1. 8. Exprimer l’énergie potentielle magnétique $E_B$ de couplage entre les dipôles $\vec{M}_0$ et $\vec{M}_1$. Nous l’écrirons sous la forme suivante : \[ E_B = \frac{1}{2} K (\sin \theta)^2 \tag{4} \] Le paramètre $K$ est une constante positive que l’on exprimera en fonction de $\mu_0$, $M_v$ et $D$.
1. 9. Lors du roulement de la bille (1) sur la bille (0) (fixe), le centre de masse $\mathrm{O}_1$ de la bille (1) décrit un arc de cercle de rayon $D$ et d’angle au centre égal à $\theta$ (se reporter à la figure (3) (b)). Ce mouvement s’accompagne, parallèlement, de la rotation de l’angle $\theta_1$ de la bille (1), déterminé en réponse à la question (4). Exprimer l’énergie cinétique $E_{c1}$ de la bille (1), somme des énergies cinétiques associées à chacune des composantes de mouvement que nous venons de présenter. On exprimera ce résultat en fonction de $m$, $D$, $J$, $\dot{\theta}$ et $\dot{\theta}_1$.
1. 10. Nous écrivons l’énergie $E_{c1}$ sous la forme suivante : \[ E_{c1} = \frac{1}{2} J’ \dot{\theta}^2 \tag{5} \] Exprimer $J’$ en fonction de la masse $m$ et du diamètre $D$.}
1. 11. Exprimer, en fonction des paramètres $m$, $g$, $D$ et de l’angle $\theta$, l’énergie potentielle gravitationnelle $E_{g1}$ de la bille (1) dans la situation représentée sur la figure (3) (b).
1. 12. Représenter, sur un graphe commun, l’allure graphique de la dépendance (qualitativement), vis-à-vis de l’angle $\theta$, de chacune des énergies potentielles $E_B$ et $E_{g1}$, pour $\theta \in [-\pi, +\pi]$ (c’est-à-dire sans tenir compte de la présence du support maintenant la bille (0)). Analyser ces résultats.
1. 13. Établir l’équation différentielle vérifiée par l’angle $\theta$. On conservera les paramètres $K$, $m$, $g$, $D$ et $J’$.
1. 14. Déterminer à quelle condition la configuration correspondant à $\theta = 0$ est stable (ou métastable). On fera porter cette condition sur le paramètre $S$ défini par le rapport suivant : \[ S = \frac{K}{mgD} \tag{6} \] On proposera une interprétation physique de ce rapport.
1. 15. Pour les valeurs des paramètres adoptées nous obtenons $S \sim 100$. Conclure quant à l’état de stabilité de la configuration correspondant à $\theta = 0$.}
1. 16. Exprimer, en tenant compte de la valeur du paramètre $S$, la pulsation $\omega_1$ des oscillations de la bille (1) autour de la configuration correspondant à $\theta = 0$, dans l’approximation linéaire. On exprimera cette pulsation en fonction de $S$, $g$ et $D$. Estimer la valeur de la fréquence $f_1$ correspondante.
1. 17. Préciser quelle restriction à la généralité de cette étude introduit l’hypothèse $\mathrm{H}_\alpha$. On réfléchira, en particulier, à la situation où l’édifice oscille autour de la verticale. La réponse attendue est brève, il s’agit simplement d’indiquer quelle situation ne peut être décrite, sous cette hypothèse.
1. 18. Indiquer l’argument qui justifie l’hypothèse $\mathrm{H}_{\mathrm{ppv}}$.
1. 19. Exprimer l’énergie potentielle magnétique $E_{BN}$ de l’édifice en fonction de $N$, $K$ et $\alpha$. On notera que cette énergie peut également s’écrire sous la forme suivante : \[ E_{BN} = \frac{1}{2} \kappa_B \left(\frac{1}{R}\right)^2 \quad \text{où } \kappa_B = \kappa_B(N, K, D) \ge 0 \tag{7} \] Ce résultat n’est pas à établir.
1. 20. Exprimer, en fonction de $D$ et $\alpha$, la variation d’altitude $\Delta z_1$ de la bille (1), depuis sa situation de référence. Rappelons que l’on se place systématiquement sous l’hypothèse $\mathrm{HDL}$.}
1. 21. Exprimer, en fonction de $D$ et $\alpha$, la variation d’altitude $\Delta z_2$ de la bille (2), depuis sa situation de référence.
1. 22. En généralisant les deux résultats précédents, exprimer, en fonction de $D$, $\alpha$ et $n$, la variation d’altitude $\Delta z_n$ de la bille ($n$), depuis sa situation de référence.
1. 23. En déduire l’expression, en fonction de $m$, $g$, $D$, $N$ et $\alpha$, de l’énergie potentielle de pesanteur $E_{gN}$ de l’ensemble de l’édifice formé de $N$ billes reposant sur la bille (0). On utilisera l’approximation (grossière) suivante : \[ \sum_{i=1}^{I} i^\beta \sim \int_0^I x^\beta \mathrm{d}x \tag{8} \]
1. 24. Établir la condition de stabilité de l’édifice dans sa configuration de référence, rectiligne verticale. On fera porter cette condition sur $N$ et le paramètre $S$ introduit dans la question (14) et défini par la relation (6). Commenter brièvement ce résultat vis-à-vis de l’approximation adoptée, définie par la relation (8).
1. 25. Estimer la valeur du nombre critique d’aimants, $N_c$, correspondant à la hauteur maximale d’un édifice vertical stable.}
1. 26. Indiquer à quelle condition l’approximation linéaire associée à la loi de \textsc{Hooke} se justifie.
1. 27. Établir l’expression de l’énergie potentielle d’origine élastique $E_{Y,b}$ emmagasinée par le barreau au cours de l’évolution de sa longueur de $a$ à $a’ = a + u$ (selon les notations de la figure (5)). On exprimera ce résultat en fonction des paramètres $Y$, $S$, $a$ et de l’allongement $u$.
1. 28. En adaptant le calcul effectué en réponse à la question (27), exprimer l’énergie élastique $E_Y$ emmagasinée par la lame dans l’état caractérisé par le rayon de courbure $R$. On exprimera ce résultat en fonction des paramètres $Y$, $b$, $e$, $L$ et de l’angle $\theta$ (défini sur la figure (7)). On notera que cette énergie peut s’écrire sous une forme analogue à celle de l’équation (7), la constante positive $\kappa_Y$ (fonction de $Y$, $b$, $e$ et $L$) se substituant ici à $\kappa_B$. Ce résultat n’est pas à établir.
1. 29. Indiquer comment se traduit, dans le cadre de la flexion, la condition de linéarité donnée en réponse à la question (26). On fera porter cette condition sur $e$ et $|R|$.
1. 30. Exprimer, en fonction des paramètres $\rho$, $g$, $b$, $e$, $L$ et de l’angle $\theta$, l’énergie potentielle d’origine gravitationnelle $E_g$ de la lame, dans l’état caractérisé par le rayon de courbure $R$. Rappelons que, dans le cadre des hypothèses que nous nous sommes fixé, $|\theta| \ll 1$.}
1. 31. Déduire des calculs qui précèdent que la longueur critique $L_c$ de la lame, au-delà de laquelle sa configuration de référence devient instable, peut s’exprimer sous la forme suivante : \[ \frac{L_c}{e} = F(Y, \rho, g, e) \tag{10} \] On définira la fonction $F$. Justifier l’absence de la largeur $b$ dans cette relation.
1. 32. Aurions-nous pu accéder à la fonction $F$ à partir d’une analyse dimensionnelle ? Cette question, en particulier, attend une argumentation claire et rigoureuse.
1. 33. La figure (8) représente une expérience réalisée avec une bande de papier découpée dans une feuille A4 ($21\text{ cm} \times 29{,}7\text{ cm}$, épaisseur $e \simeq 0{,}01\text{ cm}$), selon sa longueur. La longueur de la bande située au dessus de son point de maintien excède très légèrement la longueur critique $L_c$. Après avoir donné une estimation de la masse volumique du papier, déterminer l’ordre de grandeur de la valeur de son module de \textsc{Young} $Y$.
1. 34. Établir, en fonction de $z$, $\theta$ et $L$, l’expression de la fonction $\delta = \delta(z)$. On notera que l’angle $\theta$ est orienté, sur la figure (7).
1. 35. Exprimer, en fonction des paramètres $\rho$, $b$, $e$, $L$ et de la vitesse angulaire $\dot{\theta}$, l’énergie cinétique $E_{ct}$ de la lame en ne considérant que l’effet de la translation décrite par le déplacement $\delta = \delta(z)$.}
1. 36. Comme dans le cas de l’édifice de billes magnétiques (se reporter à la question (9)), le déplacement $\delta = \delta(z)$ de la tranche élémentaire ($b \times e \times \mathrm{d}z$) de la lame située à l’altitude $z$ s’accompagne d’une rotation. L’énergie cinétique de rotation correspondante s’exprime selon la relation suivante : \[ E_{cr} = \frac{\rho b e^3 L}{72} \dot{\theta}^2 \tag{11} \] Indiquer à quelle condition il se justifie de ne considérer que la composante $E_{ct}$ de l’énergie cinétique. Dans la suite, nous considérerons que cette condition est satisfaite.
1. 37. Exprimer la pulsation $\omega$ des oscillations de la lame autour de sa situation de référence. On exprimera ce résultat en fonction des paramètres $g$, $L$ et du rapport $q = L/L_c$ où $L_c$ est la longueur critique introduite dans la question (31). Analyser ce résultat.
1. 38. Nous nous plaçons dans le cas où $L > L_c$. Indiquer, sur la base des calculs précédents, comment accéder au temps caractéristique $\tau$ de déstabilisation de la lame. Exprimer $\tau$ en fonction des paramètres $g$, $L$ et du rapport $q = L/L_c$. Analyser ce résultat.
1. 39. Définir l’ensemble des valeurs que peut prendre le paramètre $k$ pour décrire effectivement des modes vibratoires de flexion de la coque cylindrique. Préciser la nature, propagative ou stationnaire, de l’onde décrite par l’équation (12). Représenter, en superposition de la situation de référence (représentée sur la figure (9) (b)), l’aspect de la déformation du verre pour le mode $k = 2$, dans le cas où $\varepsilon(t) > 0$ puis dans celui où $\varepsilon(t) < 0$.
1. 40. Nous associons l’origine de l’énergie élastique à la configuration du verre non déformé. Indiquer alors, sur la base d’une argumentation, quelle est la forme de la fonction $F$ à retenir parmi les deux propositions (a) et (b) suivantes : \[ \text{(a) } F(R) = \frac{1}{R^2} – \frac{1}{a_0^2} \quad ; \quad \text{(b) } F(R) = \left(\frac{1}{R} – \frac{1}{a_0}\right)^2 \tag{14} \]}
1. 41. Le rayon de courbure local $R = R(\theta)$ d’une courbe plane, décrite en coordonnées polaires par l’équation $r = r(\theta)$, s’exprime par la relation suivante : \[ R = \frac{(r^2 + {r’}^2)^{3/2}}{r^2 + 2{r’}^2 – r r”} \quad \text{où } r’ = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta} \text{ et } r” = \frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}\theta^2} \tag{15} \] Déterminer, au premier ordre par rapport à l’amplitude $\varepsilon$, la fonction rayon de courbure $R = R(\theta, \varepsilon(t))$ correspondant à l’équation polaire (12).
1. 42. Exprimer, en fonction des paramètres $Y$, $b$, $e$, $a_0$ et $k$, l’énergie potentielle élastique $E_Y$ emmagasinée par le verre, au second ordre par rapport à l’amplitude $\varepsilon$.
1. 43. Exprimer, en fonction des paramètres $\rho$, $b$, $e$, $a_0$ et de la dérivée temporelle $\dot{\varepsilon}$, l’énergie cinétique $E_c$ de l’ensemble de la coque vibrante.
1. 44. Déduire des résultats qui précèdent l’expression de la pulsation $\omega_k$ des oscillations associée au mode $k$.
1. 45. La figure (10) représente le signal temporel électrique $s = s(t)$ délivré par un microphone soumis au son émis par un verre de forme générale cylindrique présentant les caractéristiques suivantes : $b \sim 6\text{ cm}$, $e = 1{,}4\text{ mm}$, $a_0 = 26\text{ mm}$ et $\rho = 3000\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}$. Estimer le module de \textsc{Young} $Y$ du verre en considérant que le mode (majoritairement) excité est celui de plus basse fréquence. Indiquer, sur la base d’une argumentation, si le modèle géométrique simple du verre qui a été choisi conduit à une sous-estimation ou une surestimation de la valeur du module de \textsc{Young}.}
FAQ
Au fil de ce sujet, tu travailles principalement sur le magnétisme (champ magnétique, dipôles, énergie potentielle entre dipôles), la mécanique (énergies cinétiques et potentielles, stabilité, dynamique de systèmes liés, oscillations), l’élasticité (loi de Hooke, énergie de flexion, instabilité élastique) et la physique des ondes vibratoires (modes propres, propagation dans une coque cylindrique). Ces notions sont fondamentales pour réussir les écrits de physique de la filière MP au concours XENS.
Le moment magnétique caractérise l’intensité et l’orientation du dipôle magnétique associé à un objet. Quand plusieurs dipôles interagissent, l’énergie potentielle magnétique dépend de leurs moments et de leur position relative. Cette interaction se modélise via des expressions comme $E_B = \frac{1}{2}K\sin^2\theta$, fréquence en sujets de concours pour l’analyse des configurations stables et instables. Mémorise bien ces modèles : ils reviennent souvent dans les exercices corrigés de niveau CPGE MP !
La stabilité d’une colonne d’aimants, ou de tout édifice vertical, met en jeu une compétition entre énergie magnétique et pesanteur. Cette dualité conduit naturellement à des critères de stabilité traduits par un paramètre adimensionnel, ici $S=K/(mgD)$. Analyser ces conditions, interpréter ce rapport S, ou estimer un nombre critique d’aimants, figure parmi les incontournables des sujets MP concours XENS. Pour bien t’entraîner sur ce type de questions, pense à débloquer les corrigés sur PrépaBooster : tu y trouves cette mécanique détaillée étape par étape.
Il s’agit d’associer énergie potentielle élastique et courbure de la lame. L’énergie stockée lors de la flexion se relie à la géométrie de la déformation, au module de Young et aux dimensions de la lame. Retenir la forme quadratique $E_Y \propto \int (1/R)^2 dz$ (où R est le rayon de courbure local) permet de réinvestir facilement cet outil dans tout exercice de stabilité ou d’oscillations de bâton, règle ou coque mince. Profite des corrigés sur PrépaBooster pour voir des applications variées de cette notion !
L’analyse dimensionnelle fait partie des outils indispensables pour vérifier la cohérence d’une formule ou anticiper la forme fonctionnelle d’une relation physique (par exemple, pour exprimer la longueur critique d’une lame). Mais attention : elle ne donne jamais les constantes numériques ni les éventuelles dépendances en paramètres sans dimension (angles, rapports, etc.). Elle est un outil de vérification et de cadrage, mais pas une garantie d’exhaustivité !
Pour qu’un système soit assimilé à un oscillateur harmonique, il faut qu’autour de l’équilibre, l’énergie potentielle totale soit quadratique en la variable perturbée (souvent, $E_{pot} \sim \frac{1}{2}k x^2$). Cela autorise une approximation linéaire du type $\omega = \sqrt{k/m_{eq}}$, avec $k$ la raideur efficace et $m_{eq}$ la masse équivalente. Ce type de linéarisation sous-tend une bonne partie des oscillations petites perturbations, très courantes à l’écrit et à l’oral.
Il faut toujours commencer par identifier les différentes formes d’énergie et les paramètres qui les relient. Pose-toi la question : “Quelles énergies varient au cours du mouvement ?” Ensuite, établis si la conservation de l’énergie est applicable, écris-la, puis extrais-en les équations différentielles associées. C’est sur ce genre de sujets transversaux que le tableau de bord personnalisé de PrépaBooster est particulièrement utile pour t’entraîner et repérer tes axes de progression.
Lis bien chaque question pour repérer les hypothèses (type H_α ou HDL) et justifie toujours tes formules ! Mets en avant le schéma, soigne la rédaction (phrases courtes, claires), et explique les transitions entre chaque résultat. Un raisonnement guidé avec des croquis, des estimations et des commentaires sur la validité des modèles est toujours valorisé par les correcteurs. En t’exerçant avec les corrigés détaillés sur PrépaBooster, tu peux t’inspirer de bonnes pratiques de rédaction pour grappiller les points !