Questions du sujet
1. 1 . La matrice A est-elle semi-simple ?
2. 2 . Démontrer que B est semi-simple et en déduire l’existence d’une matrice Q de M_2(\mathbb{R})
inversible et de deux réels a et b à déterminer tels que :
B = Q \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} Q^{-1}.
\\
\textit{Indication : on pourra, pour un vecteur propre V de B, introduire les vecteurs W_1 = \mathrm{Re}(V )
et W_2 = \mathrm{Im}(V ).}
3. 3 . Démontrer que M est semi-simple et semblable dans M_2(\mathbb{R}) à la matrice :
\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}.
4. 4 . Démontrer que M est semi-simple si et seulement si l’une des conditions suivantes est
satisfaite :
\begin{enumerate}[i)]
\item M est diagonalisable dans M_2(\mathbb{R});
\item \chi_M admet deux racines complexes conjuguées de partie imaginaire non nulle.
\end{enumerate}
5. 5 . Soit N une matrice de M_n(\mathbb{R}) semblable à une matrice presque diagonale. Démontrer
que N est semi-simple.}
6. 6 . Soit N une matrice de M_n(\mathbb{R}). Donner la forme factorisée de \chi_N dans \mathbb{C}[X], en précisant
dans les notations, les racines réelles et les racines complexes conjuguées. En déduire que
si N est semi-simple alors elle est semblable dans M_n(\mathbb{R}) à une matrice presque diagonale.
7. 7 . Démontrer qu’il existe k \in \llbracket 1 ; n \rrbracket tel que v_k \notin F et qu’alors F et la droite vectorielle
engendrée par v_k sont en somme directe.
On note alors
A = \left\{ H\ \text{sous-espace vectoriel de } E\ \text{tel que}\ u(H) \subset H\ \text{et}\ F \cap H = \{ 0_E \} \right\}
\\
\text{et}
\\
L = \left\{ p \in \mathbb{N}^* \ |\ \exists H \in A : p = \dim(H)\right\}.
8. 8 . Démontrer que L admet un plus grand élément que l’on nommera r.
9. 9 . Démontrer que F admet un supplémentaire G dans E, stable par u.
10. 10 . On suppose que tout sous-espace vectoriel de E possède un supplémentaire dans E, stable
par u. Démontrer que u est diagonalisable. En déduire une caractérisation des matrices
diagonalisables de M_n(\mathbb{C}).
\\
\textit{Indication : on pourra raisonner par l’absurde et introduire un sous-espace vectoriel, dont
on justifiera l’existence, de dimension n-1 et contenant la somme des sous-espaces
propres de u.}}
11. 11 . Soit \alpha \in \mathbb{R}. Démontrer que si \alpha est une racine d’un polynôme P de \mathbb{R}[X], à coefficients
strictement positifs, alors \alpha < 0.
12. 12 . Démontrer que tout diviseur d’un polynôme de Hurwitz est un polynôme de Hurwitz.
13. 13 . Soit P un polynôme de Hurwitz de \mathbb{R}[X] irréductible et à coefficient dominant positif.
Démontrer que tous les coefficients de P sont strictement positifs.
14. 14 . On suppose n = 2 et P \in \mathbb{R}_2[X]. Si les coefficients de Q sont strictement positifs, P est-il
alors un polynôme de Hurwitz ?
15. 15 . Soient A et B deux polynômes de \mathbb{R}[X] dont tous les coefficents sont strictement positifs.
Démontrer que les coefficients du produit AB sont également strictement positifs.}
16. 16 . Démontrer que si P et Q sont dans \mathbb{R}[X], alors on a l’équivalence : P est un polynôme
de Hurwitz si et seulement si les coefficients de P et Q sont strictement positifs.
17. 17 . Démontrer que les coordonnées d’une solution X de (S) sont combinaisons linéaires des
coordonnées d’une solution Y de (S^*).
18. 18 . Démontrer que X est solution de (S) si et seulement si z est solution d’une équation
différentielle linéaire d’ordre 1 à déterminer. En déduire une expresssion, en fonction de t,
des coordonnées des solutions de (S).
Résoudre le système X' = BX où B est la matrice de la question 2).
19. 19 . Soit M \in M_2(\mathbb{R}) semi-simple. Donner une condition nécessaire et suffisante, portant sur
les parties réelles et imaginaires des valeurs propres de M, pour que toute solution de (S)
ait chacune de ses coordonnées qui tende vers 0 en +\infty.
20. 20 . Démontrer que A3 est vraie avec k = 1 pour toute solution \Phi de (S^*).
\\
\textit{Indication : on pourra introduire la fonction t\mapsto e^{2\beta t}\|\Phi(t)\|^2}.
}
21. 21 . On suppose que M \in M_n(\mathbb{R}) est semi-simple. Démontrer que les assertions A1, A2 et A3
sont équivalentes.
\\
\textit{Indication : on pourra commencer par A3 implique A2.}}