Questions du sujet
1. Montrer que la matrice $D = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ est quasi-nilpotente vue comme matrice de $M_2(\mathbb{R})$. Est-elle quasi-nilpotente vue comme matrice de $M_2(\mathbb{C})$ ?
2. Montrer que la matrice $B = \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix}$ est quasi-nilpotente vue comme matrice de $M_2(\mathbb{C})$.
3. Montrer que $S_n(K)$, $A_n(K)$ et $T^{++}_n(K)$ sont des sous-espaces vectoriels de $M_n(K)$. Montrer que la dimension de $S_n(K)$ est $n(n + 1)/2$.
4. Montrer que $T^{++}_n(K)$ est quasi-nilpotent dans $M_n(K)$. Vérifier que $\dim T^{++}_n(K) = \frac{n(n-1)}{2}$.
5. Soit $A \in A_n(\mathbb{R})$. Montrer que pour tout $X \in M_{n,1}(\mathbb{R})$, ${}^tXAX = 0$. En déduire que $A_n(\mathbb{R})$ est quasi-nilpotent dans $M_n(\mathbb{R})$.}
6. Montrer qu’il n’existe pas de matrice inversible $P \in GL_n(\mathbb{R})$ telle que : $A_n(\mathbb{R}) = \{PMP^{-1} \mid M \in T^{++}_n(\mathbb{R})\}$.\\
\textit{Indication : on pourra commencer par étudier le cas $n=2$, en utilisant par exemple la matrice $D$ introduite à la question 1.}
7. Déterminer l’ensemble des matrices de $S_n(\mathbb{R})$ qui sont quasi-nilpotentes dans $M_n(\mathbb{R})$. Le résultat obtenu tient-il si l’on remplace $\mathbb{R}$ par $\mathbb{C}$ ?
8. Soit $V$ un sous-espace vectoriel de $M_n(\mathbb{R})$, quasi-nilpotent dans $M_n(\mathbb{R})$. Déduire de la question précédente que : $\dim V \leq \frac{n(n-1)}{2}$.
9. Justifier que le lemme des colonnes est vrai dans le cas $n=1$.
10. Montrer que l’ensemble $K(V_0) = \{K(M) \mid M \in V_0\}$ est un sous-espace vectoriel quasi-nilpotent de $M_{n-1}(K)$.}
11. En déduire qu’il existe un entier $j \in \llbracket 1, n-1 \rrbracket$ tel que $E_{n,j} \in V$.
12. Vérifier que $u_\sigma$ est inversible et préciser son inverse.
13. Vérifier que $P_\sigma$ est la matrice de $u_\sigma$ dans la base canonique de $K^n$. Montrer que $P_\sigma$ est inversible et préciser les coefficients de son inverse.
14. Pour $M \in M_n(K)$, préciser les coefficients de $P^{-1}_\sigma M P_\sigma$ en fonction de ceux de $M$ et de $\sigma$. \\
On pourra utiliser un changement de base.
15. Montrer que l’ensemble $V_\sigma = \{P^{-1}_\sigma M P_\sigma \mid M \in V\}$ est un sous-espace vectoriel quasi-nilpotent de $M_n(K)$ et que $C_j(V_\sigma) \neq \{0\}$ pour tout $j \in \llbracket 1, n \rrbracket$.}
16. En déduire que pour tout $j \in \llbracket 1, n \rrbracket$ on peut choisir un $f(j) \in \llbracket 1, n \rrbracket \setminus \{j\}$ tel que $E_{j,f(j)} \in V$. On obtient ainsi une fonction $f : \llbracket 1, n \rrbracket \rightarrow \llbracket 1, n \rrbracket$.
17. En considérant les images successives de $1$, montrer qu’il existe une suite finie $(j_1, \ldots, j_p)$ d’éléments deux à deux distincts de $\llbracket 1, n \rrbracket$ telle que $\forall k \in \llbracket 1, p-1\rrbracket$, $f(j_k) = j_{k+1}$ et $f(j_p) = j_1$.
18. Écrire un algorithme qui permette d’identifier une telle suite connaissant les valeurs de $f$.
19. Démontrer que $1$ est valeur propre de la matrice $N = \sum_{k=1}^p E_{j_k, f(j_k)}$, et conclure.
20. Montrer que : $\dim V \leq \dim K(W) + (n-1)$. (On suppose jusqu’à la question 21 incluse que $C_n(V) = \{0\}$.)}
21. En déduire que : $\dim V \leq \frac{n(n-1)}{2}$.
22. Démontrer que : $\dim V \leq \frac{n(n-1)}{2}$.}
FAQ
Une matrice est quasi-nilpotente si son spectre est réduit à {0}. Pour la matrice D donnée, tu peux montrer que son polynôme caractéristique est X² + 1, qui n’a pas de racines réelles, donc D est quasi-nilpotente dans M₂(ℝ). En revanche, dans M₂(ℂ), elle a des valeurs propres ±i, donc elle n’est pas quasi-nilpotente. Pour approfondir, n’hésite pas à consulter les corrigés détaillés sur Prépa Booster !
Pour montrer qu’un sous-espace vectoriel V de Mₙ(K) est quasi-nilpotent, il faut vérifier que toute matrice M ∈ V a un spectre réduit à {0}. Par exemple, pour T⁺⁺ₙ(K), les matrices strictement triangulaires supérieures, tu peux montrer que leurs valeurs propres sont toutes nulles. C’est un résultat classique en algèbre linéaire, et tu peux le retrouver dans les corrigés des concours comme Mines-Ponts.
La dimension de Sₙ(K), l’espace des matrices symétriques, est n(n+1)/2. Pour Aₙ(K), l’espace des matrices antisymétriques, elle est n(n-1)/2. Enfin, T⁺⁺ₙ(K), l’espace des matrices strictement triangulaires supérieures, a aussi une dimension de n(n-1)/2. Ces résultats sont fondamentaux en algèbre linéaire et souvent utilisés dans les problèmes de réduction.
Aₙ(ℝ), l’espace des matrices antisymétriques réelles, est quasi-nilpotent car pour toute matrice A ∈ Aₙ(ℝ), on a ^tXAX = 0 pour tout X ∈ Mₙ₌₁(ℝ). Cela implique que toutes les valeurs propres de A sont nulles, car si λ était une valeur propre non nulle, il existerait un vecteur propre X associé, et ^tXAX = λ||X||² ≠ 0, ce qui est contradictoire.
Pour aborder un problème de concours comme celui de Mines-Ponts, il faut d’abord bien lire l’énoncé et repérer les questions clés. Ensuite, tu peux commencer par les questions qui te semblent les plus accessibles pour gagner en confiance. N’hésite pas à utiliser des exemples simples (comme n=2) pour comprendre les concepts avant de généraliser. Enfin, pour t’entraîner efficacement, tu peux consulter les corrigés détaillés et les exercices supplémentaires disponibles sur Prépa Booster.
Les matrices symétriques vérifient ^tA = A, tandis que les matrices antisymétriques vérifient ^tA = -A. Les premières ont des propriétés spectrales intéressantes (valeurs propres réelles, diagonalisabilité), tandis que les secondes, comme vu dans le sujet, sont souvent quasi-nilpotentes. Ces notions sont essentielles en algèbre linéaire et en géométrie.
Le lemme des colonnes est un outil puissant pour étudier les sous-espaces vectoriels de matrices. Dans ce sujet, il est utilisé pour montrer l’existence de matrices élémentaires E_{i,j} dans un sous-espace quasi-nilpotent. L’idée est de raisonner par récurrence et d’utiliser des opérations sur les colonnes pour simplifier la matrice. C’est une technique classique en algèbre linéaire avancée.
Les épreuves de mathématiques en CPGE scientifique, comme celles du concours Mines-Ponts, testent ta capacité à résoudre des problèmes complexes en temps limité. Elles évaluent ta maîtrise des concepts fondamentaux, ta rigueur et ta créativité. Pour réussir, il est crucial de bien comprendre les notions clés et de s’entraîner régulièrement sur des sujets variés. Les corrigés détaillés et les exercices supplémentaires peuvent t’aider à progresser efficacement.