Questions du sujet
1. Calculer $J^2$ et $J^t$ en fonction de $I_{2n}$ et $J$. Montrer que $J$ est inversible et identifier son inverse.
2. Vérifier que $J \in \Sp_{2n}$ et que pour tout réel $\lambda$, \[K(\lambda) = \begin{pmatrix} I_n & 0_n \\ -\lambda I_n & I_n \end{pmatrix} \in \Sp_{2n}.\]}
3. Pour tout $U \in G_n$, vérifier que $L_U = \begin{pmatrix} U & 0_n \\ 0_n & {}^t U^{-1} \end{pmatrix}$ est dans $\Sp_{2n}$.}
4. Si $M \in \Sp_{2n}$, préciser les valeurs possibles de $\det(M)$.}
5. Montrer que le produit de deux éléments de $\Sp_{2n}$ est un élément de $\Sp_{2n}$.}
6. Montrer qu’un élément de $\Sp_{2n}$ est inversible et que son inverse appartient à $\Sp_{2n}$.}
7. Montrer que si $M \in \Sp_{2n}$ alors $M^t \in \Sp_{2n}$.}
8. Soit $M$ une matrice de $\mathcal{M}_{2n}$ écrite sous la forme \[M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix},\] avec $A,B,C,D \in \mathcal{M}_n$. Déterminer des relations sur $A, B, C$ et $D$ caractérisant l’appartenance de $M$ à $\Sp_{2n}$.}
9. Justifier l’inclusion suivante : $\{-I_{2n}, I_{2n}\} \subset Z$.}
10. Réciproquement, soit $M \in Z$ écrite sous la forme $M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$, avec $A,B,C,D \in \mathcal{M}_n$. En utilisant $L = \begin{pmatrix} I_n & I_n \\ 0_n & I_n \end{pmatrix}$ et sa transposée, obtenir $B = C = 0_n$ et $D = A$, $A$ étant inversible.}
11. Soit $U \in G_n$. En utilisant $L_U = \begin{pmatrix} U & 0_n \\ 0_n & {}^t U^{-1} \end{pmatrix}$, montrer que $A$ commute avec toute matrice $U \in G_n$.}
12. Conclure que $A \in \{-I_n, I_n\}$ et $Z = \{-I_{2n}, I_{2n}\}$. \newline Indication : on montrera d’abord que les matrices $I_n + E_{ij}$ commutent avec $A$, où $(E_{ij}, 1 \leq i,j \leq n)$ est la base canonique de $\mathcal{M}_n$.}
13. Montrer qu’il existe quatre matrices $Q, U, V, W$ de $\mathcal{M}_n$ telles que \[\begin{pmatrix} I_n & Q \\ 0_n & I_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} U & 0_n \\ V & W \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}.\]}
14. En utilisant la question 8, vérifier que $B D^{-1}$ est symétrique, puis que $\det(M) = \det(A^t D – C^t B) = 1$.}
15. Soient $P, Q \in \mathcal{M}_n$ telles que $P^t Q$ soit symétrique et $Q$ non inversible. On suppose qu’il existe deux réels différents $s_1, s_2$ et deux vecteurs $V_1, V_2$ non nuls dans $E_n$ tels que :\[(Q – s_1 P) V_1 = (Q – s_2 P) V_2 = 0.\] Montrer que le produit scalaire $(Q V_1 \mid Q V_2)$ est nul.}
16. On suppose dorénavant $D$ non inversible. Montrer que $\ker B \cap \ker D = \{0\}$.}
17. Soit $m$ un entier, $m \leq n$. Soient $s_1, \ldots, s_m$ des réels non nuls et deux à deux distincts et $V_1, \ldots, V_m$ des vecteurs non nuls tels que \[(D – s_i B) V_i = 0\] pour $i = 1, \ldots, m$. Montrer que pour tout $i \in \{1,\ldots,m\}$, $D V_i \neq 0$ et que la famille $(D V_i, i = 1, \ldots, m)$ forme un système libre de $E_n$.}
18. En déduire qu’il existe un réel $\lambda$ tel que $D – \lambda B$ soit inversible.}
19. Montrer alors que toute matrice de $\Sp_{2n}$ est de déterminant égal à $1$.}
FAQ
La matrice \( J \) est une matrice fondamentale en géométrie symplectique, définie par blocs. On montre que \( J^2 = -I_{2n} \), ce qui implique que \( J \) est inversible avec \( J^{-1} = -J \). C’est une propriété clé pour comprendre les transformations symplectiques. Pour voir le détail des calculs, débloque les corrigés sur Prépa Booster !
Une matrice \( M \) appartient à \( \Sp_{2n} \) si elle vérifie \( M^T J M = J \), où \( J \) est la matrice symplectique standard. Cela se traduit par des relations spécifiques entre les blocs \( A, B, C, D \) de \( M \). Par exemple, \( A^T D – C^T B = I_n \) et \( A^T C = C^T A \). Pour des exemples concrets, consulte les corrigés détaillés sur Prépa Booster !
Le déterminant d’une matrice symplectique est toujours égal à 1, car ces matrices préservent la forme symplectique, ce qui impose des contraintes fortes sur leur structure. En utilisant les propriétés des blocs et des relations symplectiques, on montre que \( \det(M) = 1 \). C’est une propriété fondamentale pour les applications en mécanique et en physique. Pour la démonstration complète, débloque les corrigés sur Prépa Booster !
Le groupe symplectique \( \Sp_{2n} \) est un groupe de matrices qui préservent la forme symplectique. Il est fermé pour le produit matriciel, l’inversion, et la transposition. Son centre \( Z \) est réduit à \( \{ -I_{2n}, I_{2n} \} \), ce qui montre sa rigidité. Pour explorer davantage ses propriétés, consulte les ressources et exercices corrigés sur Prépa Booster !
Les matrices \( L_U \) de la forme \( \begin{pmatrix} U & 0_n \\ 0_n & {}^t U^{-1} \end{pmatrix} \) sont des éléments clés de \( \Sp_{2n} \). Elles permettent de relier le groupe symplectique au groupe linéaire \( G_n \) et d’étudier les propriétés de commutation. Par exemple, elles aident à montrer que le centre \( Z \) est réduit à \( \{ -I_{2n}, I_{2n} \} \). Pour des applications concrètes, débloque les corrigés sur Prépa Booster !
Pour montrer qu’une matrice \( M \) est symplectique, il faut vérifier qu’elle satisfait \( M^T J M = J \). Cela peut se faire en utilisant des décompositions par blocs ou en exploitant des propriétés comme l’inversibilité et la symétrie. Par exemple, les matrices \( K(\lambda) \) et \( L_U \) sont symplectiques par construction. Pour des exemples détaillés, consulte les corrigés et exercices sur Prépa Booster !
Les questions sur le déterminant et l’inversibilité dans le groupe symplectique reposent sur des propriétés structurelles. Par exemple, on montre que \( \det(M) = 1 \) en utilisant les relations entre les blocs \( A, B, C, D \). L’inversibilité est garantie par la préservation de la forme symplectique. Pour maîtriser ces concepts, entraîne-toi avec les exercices corrigés sur Prépa Booster !