Mines Maths 2 PSI 2014

Questions du sujet

1. Soit $f \in C^0_\#$, démontrer que la suite des $c_n(f)$ où $n \in \mathbb{Z}$, est bornée.}

2. Soit $f \in C^\infty_\#$, donner l’expression de $c_n(f^{(k)})$ en fonction de $c_n(f)$. En déduire que pour tout $k \in \mathbb{N}$, il existe $C_k>0$ tel que, pour tout entier relatif non nul $n$, $|c_n(f)| \leq \dfrac{C_k}{|n|^k}$.}

3. Soit $(d_n)_{n \in \mathbb{Z}}$, une suite d’éléments de $\mathbb{C}$, telle que la série $\sum_{n \in \mathbb{Z}} d_n$ converge absolument. Montrer que pour tout $x$ réel la série $\sum_{n \in \mathbb{Z}} d_n e_n(x)$ converge et que sa somme $h(x)$ appartient à $C^0_\#$. Justifier que, pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $d_n = c_n(h)$.\\
Réciproquement, on suppose pour cette question que quel que soit l’entier $k$, il existe $C_k > 0$ et $N_k \geq 1$ tels que $|d_n| \leq \dfrac{C_k}{|n|^k}$ pour tout $|n| \geq N_k$.}

4. Démontrer que pour tout $\ell$ entier, la série $\sum_{n \in \mathbb{Z}} d_n e_n^{(\ell)}$ converge normalement ; en déduire que $h(x) = \sum_{n\in \mathbb{Z}} d_n e_n(x)$ appartient à $C^\infty_\#$.
\\
Un opérateur différentiel sur $C^\infty_\#$ est une application linéaire $B$ de $C^\infty_\#$ dans lui-même de la forme suivante :
\[
Bf = \sum_{k=0}^{+\infty} b_k f^{(k)},
\]
où les réels $b_k$ sont tous nuls sauf un nombre fini. On appelle ordre de $B$ l’entier $K$ défini par $K=\max\{k \in \mathbb{N}\ |\ b_k \neq 0\}$.}

5. Démontrer qu’une application linéaire $B$ de $C^\infty_\#$ dans lui-même est un opérateur différentiel d’ordre $K$ si et seulement si il existe un polynôme $P_K$ d’ordre $K$ tel que, pour tout entier relatif $n$, et pour tout $f \in C^\infty_\#$,
\[
c_n(Bf) = P_K(n) c_n(f).
\]}

6. Soit $\rho : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$, strictement croissante, telle qu’il existe $\ell \in \mathbb{N}^+$ avec $\forall y \geq 1,\, y \leq \rho(y) \leq y^\ell$.\\
Soit $f \in C^\infty_\#$, démontrer que la série $\sum_{n\in\mathbb{Z}} \rho(|n|) c_n(f) e_n$ converge normalement et que sa somme appartient à $C^\infty_\#$.}

7. Soit $f \in C^0_\#$, démontrer que pour tout $t>0$, la série $\sum_{n\in\mathbb{Z}} e^{-t\rho(|n|)}c_n(f) e_n$ converge normalement et que sa somme appartient à $C^\infty_\#$.}

8. Montrer que pour $x$ réel fixé et $f \in C^0_\#$, la fonction $t \mapsto Q_t f(x)$ est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}_+^*$.}

9. Démontrer que, pour $f \in C^0_\#$ et $t>0$,
\[
\frac{\partial}{\partial t} Q_t f(x) = -A(Q_t f)(x) \quad \forall x \in \mathbb{R}.
\]}

10. Soit $\alpha \in \mathbb{C}$, $\alpha \notin \mathbb{R}_-$. Montrer que pour tout $g \in C^\infty_\#$ il existe un et un seul élément, noté $u$, appartenant à $C^\infty_\#$ qui soit solution de l’équation $(A + \alpha I)u = g$.}

11. Montrer que pour $\Re \alpha>0$ et $g \in C^\infty_\#$, et pour tout $x$ réel,
\[
(A+\alpha I)^{-1} g(x) = \int_0^{+\infty} e^{-\alpha t} Q_t g(x) dt.
\]}

12. Déterminer les valeurs propres de $A$, c’est-à-dire les $\lambda$ complexes tels qu’il existe $g \neq 0$ vérifiant $Ag = \lambda g$.}

13. On s’intéresse à deux occurences particulières de la fonction $\rho$ : $\rho_1(y) = y$ et $\rho_2(y)=y^2$. On pose
\[
A_1 f = \sum_{n\in\mathbb{Z}} |n| c_n(f) e_n \quad \text{et} \quad A_2 f = \sum_{n\in\mathbb{Z}} n^2 c_n(f) e_n,
\]
ainsi que
\[
Q^1_t f = \sum_{n\in\mathbb{Z}} e^{-t|n|} c_n(f) e_n, \quad Q^2_t f = \sum_{n\in\mathbb{Z}} e^{-t n^2} c_n(f) e_n.
\]
Démontrer que si $f \in C^\infty_\#$,
\[
A_1 \circ A_1 (f)=A_2(f).
\]}

14. Démontrer que $A_2$ est un opérateur différentiel et en donner l’expression. En est-il de même pour $A_1$ ?}

15. En référence aux résultats des questions 13 et 9, justifier le titre du document.
\\
Si $g$ est une fonction continue et intégrable sur $\mathbb{R}$, on pose
\[
\mathcal{F}(g)(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i\omega x} g(x) dx, \quad \text{où}~\omega \in \mathbb{R};
\]
c’est la transformée de Fourier de $f$. On admettra les formules suivantes
\[
\mathcal{F}\left(\frac{1}{1+x^2}\right)(\omega) = \sqrt{\frac{\pi}{2}} e^{-|\omega|},\quad
\mathcal{F}\left(e^{-x^2/2}\right)(\omega) = e^{-\omega^2/2}.
\]}

16. Déterminer le réel $\alpha$ tel que, pour tout $f \in C^\infty_\#$, pour tout $y$ réel et tout $t \in \mathbb{R}_+^*$,
\[
Q_t^1 f (y) = \alpha \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t}{t^2 + x^2} f(y-x) dx.
\]}

17. En s’aidant du théorème de Weierstrass trigonométrique, montrer que pour tout $y$ réel et tout $t$ réel strictement positif
\[
Q_t^1 f (y) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t}{t^2 + x^2} f(y-x) dx.
\]}

18. En utilisant l’expression de $Q_t^1 f$ sous forme de série, montrer que
\[
\lim_{t \to 0,\, t>0} \int_{0}^{2\pi} |f(y) – Q_t^1 f(y)| dy = 0.
\]}

19. En utilisant l’expression intégrale de $Q_t^1 f$ obtenue à la question 17, montrer que pour tout $y$ réel,
\[
f(y) = \lim_{t \to 0,\, t>0} Q_t^1 f(y).
\]}

20. Pour $f \in C^0_\#$, on pose $Q^1_0 f = f$ et
\[
E(t) = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} |Q_t^1 f(x)|^2 dx, \quad t \geq 0.
\]
Montrer que $E$ est une fonction décroissante de $t$ et déterminer sa limite en $t = +\infty$.}