Questions du sujet
1. Montrer que si $A$ est positive, alors pour toute matrice réelle $M \in \mathcal{M}_{n,p}$, la matrice $M^t A M$ est symétrique positive. 2. Montrer que toutes les puissances entières d’une matrice symétrique positive $A$ sont positives. 3. Montrer que $A \in \mathcal{S}_n$ est positive, respectivement définie positive, si et seulement si les valeurs propres de $A$ sont toutes positives, respectivement strictement positives. 4. Si $A$ est définie positive, montrer qu’il existe une matrice $C$, symétrique définie positive telle que $C^2 = A$. 5. Si $A$ et $C$ sont symétriques définies positives et $C^2 = A$, montrer que, pour toute valeur propre $\lambda$ de $A$, on a~:\\ $\ker(A-\lambda I_n) = \ker(C-\sqrt{\lambda} I_n)$.} 6. En déduire que si $A$ est définie positive, il existe une unique matrice symétrique définie positive $C$ telle que $C^2 = A$ et que dans toute base orthonormale de vecteurs propres de $A$, la matrice $C$ est diagonale.\\ On notera désormais $C = A^{1/2}$. 7. On suppose $A$ définie positive. Montrer que $A$ est inversible et qu’il existe une unique matrice, notée $A^{-1/2}$, symétrique définie positive telle que $A^{-1/2}A^{-1/2} = A^{-1}$. 8. Prouver que $(A^{1/2})^{-1} = A^{-1/2}$. 9. Montrer que l’ordre de Löwner est une relation d’ordre sur $\mathcal{S}_n$. 10. Soit $B \in \mathcal{S}_n$ avec $A \preceq B$. Montrer que pour toute matrice réelle $C \in \mathcal{M}_{n,p}$, la relation $C^t A C \preceq C^t B C$ est vérifiée.} 11. Montrer que si $I_n \preceq A$ alors $A$ est inversible et $A^{-1} \preceq I_n$. 12. En déduire que si $0_n \prec A \preceq B$ alors $B$ est inversible et $B^{-1} \preceq A^{-1}$. 13. Donner un système de conditions nécessaires et suffisantes portant sur les réels $a$, $b$ et $c$ pour que la matrice $D = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}$ soit positive. 14. On considère les deux matrices suivantes~:\\ $D = \begin{pmatrix} a & b \\ b & 1 \end{pmatrix}$\\ et $B = \begin{pmatrix} 2a & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.\\ Montrer qu’il existe des réels $a$ et $b$ de sorte que $0_n \preceq D \preceq B$ mais que $D^2 \npreceq B^2$. 15. On considère $f$ une fonction de $\mathbb{R}^+$ dans $\mathbb{R}$ et l’on note $R = P f(\Delta) P^{-1}$.\\ Soit $X \in \mathcal{M}_{n,1}$ et $\lambda$ un réel positif tels que $M X = \lambda X$. Calculer $R X$.} 16. Montrer que, pour toutes matrices $P$ et $Q$ inversibles et toutes matrices diagonales $\Delta_P$ et $\Delta_Q$ de $\mathcal{M}_n$ telles que $M = P \Delta_P P^{-1} = Q \Delta_Q Q^{-1}$, on a~:\\ $P f(\Delta_P) P^{-1} = Q f(\Delta_Q) Q^{-1}$. 17. Pour $r \in \mathbb{R}$, on pose $\varphi_r(s) = s^{-r-1}$. Pour quelles valeurs de $r$ a-t-on $\varphi_r \in E$~? Exprimer alors, pour tout $t > 0$, $L_{\varphi_r}(t)$ en fonction de $L_{\varphi_r}(1)$. 18. Soit $s \geq 0$. On pose pour tout $t \geq 0$, $f_s(t) = 1 – \frac{1}{1+st}$. Exprimer $f_s(A)$ lorsque $A$ est une matrice symétrique positive. 19. Montrer que $f_s$ est matriciellement croissante sur $\mathbb{R}^+$. 20. Pour toute matrice $A \in \mathcal{S}_n$ positive et toute matrice colonne $X \in \mathcal{M}_{n,1}$, établir l’identité~: \\ $(L_\varphi(A)X | X) = \int_{0}^{+\infty} \varphi(s)(f_s(A) X | X) \;ds$.} 21. Montrer que, pour toute $\varphi \in E$, l’application $L_\varphi$ est matriciellement croissante sur $\mathbb{R}^+$. 22. Soient $A$ et $B$ deux matrices symétriques telles que $0 \preceq A \preceq B$. Compte tenu des questions précédentes, pour quelles valeurs du réel positif $r$, pouvez-vous montrer que $A^r \preceq B^r$~?}FAQ
Dans ce sujet, tu retrouves l’essentiel sur les matrices symétriques définies positives : critères via les valeurs propres, produit avec une matrice réelle, racine carrée, puissances, et lien avec l’inversibilité. Ces notions sont au programme en PSI pour aborder la théorie spectrale des matrices ainsi que les ordres sur l’ensemble des matrices symétriques. Tu verras que maîtriser ces propriétés est crucial pour les oraux comme pour les écrits.
L’ordre de Löwner, noté \(A \preceq B\), compare deux matrices symétriques réelles : on dit que \(A\) est plus petit que \(B\) si \(B-A\) est symétrique positive. Cet ordre intervient énormément en calcul matriciel et en analyse, car il permet de définir des inégalités matricielles, d’étudier la croissance des fonctions de matrices (comme les puissances ou les fonctions spectrales) et d’établir des liens avec la positivité. C’est un classique en concours, surtout lorsque tu dois justifier des inégalités pour des matrices.
Travailler sur les fonctions de matrices (exposant réel, racine carrée, fonction de la matrice diagonalisable) te prépare à aborder des grands thèmes de l’algèbre linéaire et de l’analyse fonctionnelle : résolution d’équations différentielles matricielles, dynamique linéaire, et physique mathématique. Dans cette épreuve Mines-Ponts 2006, tu explores comment appliquer une fonction à une matrice via sa diagonalisation, un outil fondamental pour manipuler des transformations complexes et comprendre la notion de croissance matricielle. Débloque les corrigés Prépa Booster pour retrouver l’ensemble des astuces et explications détaillées sur ces techniques !
Pour qu’une matrice \(D = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix}\) soit symétrique positive, il faut que \(a > 0\), que le déterminant \(ac – b^2 > 0\), et donc que \(c > 0\). Ces critères te permettent très rapidement de tester la positivité sur \(2 \times 2\), ce qui tombe souvent dans les calculs rapides de QCM ou des questions de début de problème.
Les valeurs propres constituent un langage universel pour comprendre le comportement d’une matrice : stabilité, caractère positif, diagonalisabilité, etc. Dans ce sujet PSI 2006, étudier les valeurs propres permet de déterminer la positivité, la croissance des fonctions de matrices, et de construire explicitement des racines ou des inverses. Savoir aussi exploiter une base orthonormée de vecteurs propres optimise tes calculs et structure ta copie.
Pour optimiser ta préparation, commence par cibler les grandes notions comme la positivité matricielle, les ordres dans \(\mathcal{S}_n\), et les fonctions de matrices. Entraîne-toi sur les sujets récents et les annales corrigées, analyse bien les notations (\(f(A)\), \(A^{1/2}\), \(A^{-1/2}\)), et compare toujours ta rédaction avec celle des corrigés. Mets à profit l’espace personnalisé de Prépa Booster pour suivre ta progression et débloquer toutes les astuces sur les exercices type concours.