Questions du sujet
1. D\’emontrer que la suite des matrices $(U_n)_{n\in\mathbb N}$, o\`u $U_n$ est la matrice $U$ \’elev\’ee \`a la puissance $n$, (avec la convention habituelle $U_0 = I$), appartient \`a l’espace vectoriel $E$. 2. Etablir la relation qui, pour tout entier naturel $n$, lie les matrices $U_{n+2}$, $U_{n+1}$ et $U_n$. 3. Comparer, pour tout entier $p$ compris entre $0$ et $2$ ($0 \leq p \leq 2$) les matrices $U_p$ et $U^p$. D\’emontrer qu’il existe, pour tout entier naturel $n$, une relation simple entre les matrices $U_n$ et $U^n$. 4. D\’eduire des deux r\’esultats pr\’ec\’edents les relations suivantes : pour tout entier naturel $n$, $\det U_n = (-1)^n$, $(g_n)^2 – 5 (f_n)^2 = 4 (-1)^n$. 5. \’Etant donn\’es deux entiers naturels $p$ et $q$, exprimer les termes $f_{p+q}$ et $g_{p+q}$ des suites $F$ et $G$ en fonction des termes $f_p, g_p, f_q$ et $g_q$ de ces m\^emes suites.} 6. D\’eterminer l’inverse de la matrice $U_n$ en fonction des matrices $I$ et $J$. Exprimer les coefficients des matrices $I$ et $J$ \`a l’aide des r\’eels $f_n$ et $g_n$. 7. D\’emontrer que le polyn\^ome $P_n(X)$ est divisible par le polyn\^ome $X^2 – X – 1$, o\`u pour tout entier $n \geq 2$, $P_n(X) = X^n – f_n X – f_{n-1}$. 8. Quel est le polyn\^ome caract\’eristique de la matrice $U$ ? 9. Calculer la valeur de la matrice $C_n = U^n – f_n U – f_{n-1} I$. 10. D\’eterminer le polyn\^ome caract\’eristique de la matrice $U_n$. En d\’eduire la relation suivante : $U^{2n} – g_n U^n + (-1)^n I = 0$.} 11. Soient $Q$ et $R$ les polyn\^omes obtenus en effectuant la division euclidienne du polyn\^ome $X^{2n} – g_n X^n + (-1)^n$ par le polyn\^ome $X^2 – X – 1$ : \[X^{2n} – g_n X^n + (-1)^n = Q(X) (X^2 – X – 1) + R(X).\] Pr\’eciser les degr\’es des polyn\^omes $Q$ et $R$. D\’emontrer, en utilisant par exemple les r\’esultats de la question pr\’ec\’edente, que le polyn\^ome $X^{2n} – g_n X^n + (-1)^n$ est divisible par $X^2 – X – 1$. 12. Le but de cette question est de calculer, pour tout entier $n \geq 2$, des expressions plus simples des deux expressions suivantes : \\ $\alpha_n = f_0 + f_2 + \cdots + f_{2n} = \sum_{k=0}^n f_{2k}$ \\ $\beta_n = g_0 + g_2 + \cdots + g_{2n} = \sum_{k=0}^n g_{2k}$ \\ D\’eterminer les expressions de $\alpha_n$ et de $\beta_n$ en fonction respectivement de $f_{2n+1}$ et de $g_{2n+1}$ en consid\’erant par exemple la matrice $S_n$ d\’efinie par la relation suivante : $S_n = U_0 + U_2 + \cdots + U_{2n} = \sum_{k=0}^n U_{2k}$ 13. Soit $T$ la suite $(t_n)_{n \in \mathbb N}$ d\’efinie par les relations suivantes :\\ $t_0 = 1, \ t_1 = 4$, pour tout entier naturel $n$, $t_{n+2} = 4 t_{n+1} + t_n$.\\ D\’etermination des \’el\’ements $t_n$ de la suite $T$ \`a l’aide des r\’eels $f_n$ et $g_n$. 14. D\’emontrer que le polyn\^ome $X^6 – 4 X^3 – 1$ est divisible par le polyn\^ome $X^2 – X – 1$. 15. En d\’eduire que la matrice $U$ v\’erifie, pour tout entier naturel $p$, la relation suivante : $U^{6+p} = 4 U^{3+p} + U^p$.} 16. D\’eduire de la relation pr\’ec\’edente que les termes des suites $F$ et $G$ v\’erifient, pour tout entier naturel $p$, les relations suivantes : $f_{6+p} = 4 f_{3+p} + f_p$, $g_{6+p} = 4 g_{3+p} + g_p$. 17. D\’eduire des r\’esultats pr\’ec\’edents l’expression du terme g\’en\’eral $t_n$ de la suite $T$, d\’efinie par les relations suivantes : $t_0 = 1, \ t_1 = 4$, pour tout entier naturel $n$, $t_{n+2} = 4 t_{n+1} + t_n$, en fonction de termes des suites $F$ et $G$. 18. Pour tout entier naturel $n$, soit $A_n$ la matrice d\’efinie par la relation suivante : $A_n = x^n U_n$. Et $\Sigma_n(x)$ la somme des $n+1$ premi\`eres matrices $A_k$ : $\Sigma_n(x) = \sum_{k=0}^n x^k U_k$.\\ D\’eterminer pour quelles valeurs du r\’eel $x$ la matrice $I – x U$ est inversible et d\’eterminer son inverse sous la forme d’une combinaison lin\’eaire des matrices $I$ et $U$. 19. Il est admis qu’une suite de matrices $(A_n)_{n\in \mathbb N}$ de l’espace vectoriel $E$ tend vers $0$, lorsque l’entier $n$ cro\^it vers l’infini, si et seulement si tous les termes de la matrice $A_n$ tendent vers $0$.\\ D\’eterminer une condition n\’ecessaire et suffisante sur le r\’eel $x$ pour que la suite de matrices $(x^n U_n)_{n\in \mathbb N}$ tende vers $0$ lorsque l’entier $n$ cro\^it vers l’infini. 20. En d\’eduire, lorsque la condition obtenue sur le r\’eel $x$ est r\’ealis\’ee, la limite de la suite de matrices $(\Sigma_n(x))_{n\in \mathbb N}$.} 21. A partir des r\’esultats pr\’ec\’edents, d\’eterminer un minorant $\rho$ des rayons de convergence des deux s\’eries enti\`eres de termes g\’en\’eraux $(f_n x^n)_{n\in \mathbb N}$ et $(g_n x^n)_{n\in \mathbb N}$ et les sommes $A(x)$ et $B(x)$ de ces deux s\’eries :\\ $A(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f_n x^n$ ; $B(x) = \sum_{n=0}^{\infty} g_n x^n$.}FAQ
Le sujet de mathématiques PSI Mines-Ponts 2004 aborde principalement des notions d’algèbre linéaire, comme les suites de matrices, l’étude des espaces vectoriels de matrices, les polynômes caractéristiques, et la diagonalisation. Tu y retrouveras également de la récurrence, des relations de récurrence de type Fibonacci, la divisibilité polynomiale, et des techniques classiques comme le calcul de déterminant ou l’inversibilité. L’étude des suites récurrentes, de leurs liens avec les puissances de matrices, et les applications à des séries entières sont aussi mises en avant.
Les suites récurrentes comme la suite de Fibonacci ou ses variantes permettent d’introduire des méthodes de résolution puissantes qui mêlent algèbre et analyse, avec la possibilité d’utiliser matrices, polynômes, récurrence et parfois arithmétique dans un même exercice. Ce sont aussi des objets classiques qui permettent d’illustrer la puissance de l’algèbre linéaire pour résoudre des problèmes apparemment purement numériques. C’est idéal en concours pour tester la capacité à connecter plusieurs notions et à modéliser.
Le polynôme caractéristique d’une matrice est un outil central : il permet d’obtenir directement les valeurs propres de la matrice, d’étudier sa diagonalisation, de retrouver certaines identités remarquables (comme l’annulation de la matrice par son polynôme minimal), et de simplifier des puissances de matrices. Dans le contexte du sujet Mines-Ponts PSI 2004, il permet aussi de relier les suites issues de la récurrence à des propriétés algébriques fondamentales. N’hésite pas à débloquer les corrigés sur Prépa Booster pour accéder à la démarche explicitée !
Très souvent, on utilise des matrices pour encoder des récurrences linéaires (comme celles de Fibonacci) car cela permet de généraliser et de calculer rapidement le terme général grâce à la diagonalisation ou à la trigonalisation. Les puissances de matrices interviennent alors naturellement, chaque puissance correspondant à une itération de la récurrence. Cela permet aussi d’utiliser les propriétés des matrices (polynôme caractéristique, déterminant, etc.) pour résoudre les récurrences numériquement ou formellement.
La divisibilité polynomiale intervient lorsqu’on souhaite établir l’annulation d’un polynôme pour une famille de matrices, ou montrer qu’une certaine identité algébrique se vérifie pour tous les entiers. Dans le cadre du sujet Mines-Ponts PSI 2004, c’est souvent pour montrer que les suites définies respectent une relation caractéristique liée à la structure de la matrice et à son polynôme minimal. C’est un excellent prétexte pour manipuler la division euclidienne des polynômes, une notion clé en CPGE.
Pour aborder de telles questions, il faut systématiquement regarder la norme (ou les valeurs absolues) des termes des matrices, en étudiant la croissance ou la décroissance de suites associées. Très souvent, ça revient à une étude du module d’un paramètre qui multiplie la matrice (comme un x dans x^n U_n). Si ce module est inférieur à 1 (ou à une valeur liée au rayon spectral de la matrice), alors la suite converge vers 0. Pour bien maîtriser cette analyse, gagne du temps en consultant notre corrigé détaillé une fois que tu as débloqué les corrigés sur Prépa Booster !
Ce type de sujet requiert une bonne préparation méthodologique : il faut bien revoir les bases sur les suites de matrices, la diagonalisation, et les suites récurrentes, ainsi que la manipulation des polynômes. Garde en tête que toute question sur une suite ou une matrice renferme une exploitation du polynôme caractéristique, et exploite rapidement la structure récurrente des suites. N’hésite pas non plus à bien détailler tes rédactions, à faire la distinction entre démonstrations et calculs directs, et à varier les méthodes (récurrence, calculs matriciels, etc.).