Questions du sujet
1. Soit $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue. Démontrer que la restriction $g$ de la fonction $f$ à l’intervalle $]a, b[$ appartient à l’ensemble $D_{a,b}$.
2. En posant pour tout entier $k > 1$, $a_k = \frac{1}{k} – \frac{1}{2k+1}$ et $b_k = \frac{1}{k} + \frac{1}{2k+1}$, montrer que l’on peut choisir un entier $k_0 > 1$ tel que : $\forall k > k_0, \ b_{k+1} < a_k$. En déduire que la fonction $f :\ ]0, 1[ \to \mathbb{R}$ définie par :
\[
f : t \mapsto
\begin{cases}
k^2 \cdot 2^{k+1} \cdot (t - a_k), & \text{si il existe un entier $k > k_0$ tel que } t \in \left]a_k, a_k + \frac{1}{2k+1}\right] \\
k^2 \cdot 2^{k+1} \cdot (b_k – t), & \text{si il existe un entier $k > k_0$ tel que } t \in \left]a_k + \frac{1}{2k+1}, b_k\right] \\
0, & \text{sinon}
\end{cases}
\]
est une fonction bien définie et continue sur $]0, 1[$, intégrable sur $]0, 1[$ et que cette fonction $f$ n’appartient pas à l’ensemble $D_{0,1}$.
3. Montrer que la fonction $\psi : t \mapsto \frac{1}{\sqrt{t}}$ est intégrable sur $]0, 1[$, puis montrer que la fonction $\psi$ appartient à $D_{0,1}$.
4. On note $\tilde{h}$ la restriction de la fonction $h$ à l’intervalle $\left]0, \frac{1}{2}\right[$. Vérifier que la fonction $\tilde{h}$ est décroissante sur $\left]0, \frac{1}{2}\right[$, puis montrer que la fonction $\tilde{h}$ appartient à $D_{0, \frac{1}{2}}$.
5. Montrer que la fonction $h$ est intégrable sur $]0, 1[$ et que : \[
\int_{0}^{1} h(t) dt = 2 \int_{0}^{1/2} \tilde{h}(t) dt.
\]}
6. Prouver alors que : \[
\lim_{n \to +\infty} 2 \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2n} h\left( \frac{k}{2n} \right) =
\int_{0}^1 h(t) dt.
\]
7. Montrer que :
\[
\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{2n+1} h\left( \frac{k}{2n+1} \right) = \int_{0}^{\frac{1}{2}} h(t) dt.
\]
En déduire que :
\[
\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{2n+1} h\left( \frac{k}{2n+1} \right) = \int_{0}^{1} h(t) dt.
\]
8. Déduire des questions précédentes que la fonction $h$ appartient à $D_{0,1}$.
9. Montrer que : \[
\int_0^1 h(t) dt = \pi.
\]
10. Montrer que lorsque $n$ tend vers $+\infty$, on a un équivalent de la forme : \[
\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} \underset{n \to +\infty}{\sim} \lambda \sqrt{n},
\]
où la constante $\lambda$ est à préciser.
}
11. En déduire la limite :
\[
\lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{i(n-i)}}.
\]
12. On considère une suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ de nombres réels strictement supérieurs à $-1$, convergente de limite nulle.
Montrer que :
\[
\lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^{n-1} \frac{|a_i|}{\sqrt{i(n-i)}} = 0.
\]
13. En déduire que :
\[
\lim_{n \to +\infty} \sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{i(n-i)}} \left( \frac{(1 + a_i)(1 + a_{n-i})}{1 + a_n} – 1 \right) = 0.
\]
14. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, la variable aléatoire $\frac{1 + X_n}{2}$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $\frac{1}{2}$.
15. Calculer la probabilité $\mathbb{P}(A_i)$, pour tout entier $i$ entre $1$ et $n$.}
16. Soit $\ell \in \mathbb{Z}$ un entier et $n > 1$ un autre entier. En distinguant le cas où l’entier $\ell-n$ est pair ou impair, calculer $\mathbb{P}(S_n = \ell)$.
17. Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ et $(b_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ deux suites de nombres réels non nuls telles que $a_n = o(b_n)$ au voisinage de $+\infty$ et la série $\sum_n |b_n|$ est divergente. Alors :
\[
\sum_{k=1}^n a_k = o \left( \sum_{k=1}^n |b_k| \right)
\]
au voisinage de $+\infty$.
Soit $(c_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ et $(d_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ deux suites de nombres réels strictement positifs telles que $c_n \underset{n \to +\infty}{\sim} d_n$ et la série $\sum_n c_n$ diverge.
En utilisant le résultat admis dans l’énoncé, montrer que la série $\sum_n d_n$ est divergente et que :
\[
\sum_{k=1}^n c_k \underset{n \to +\infty}{\sim} \sum_{k=1}^n d_k.
\]
18. Montrer que la variable aléatoire $N_n$ admet une espérance finie et que son espérance $\mathbb{E}(N_n)$ est égale à :
\[
\mathbb{E}(N_n) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2i} \binom{2i}{i}.
\]
[indication : on pourra exprimer la variable $N_n$ à l’aide de fonctions indicatrices associées aux événements $A_i$.]
19. En déduire l’équivalent :
\[
\mathbb{E}(N_n) \underset{n \to +\infty}{\sim} 2 \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{n}}.
\]
20. Dans une urne contenant $n$ boules blanches et $n$ boules noires, on procède à des tirages de boules sans remise, jusqu’à vider complètement l’urne. Les tirages sont équiprobables à chaque pioche.\\
Pour tout entier $k$ entre $1$ et $2n$, on dit que l’entier $k$ est un indice d’égalité si dans l’expérience de pioche précédemment décrite, il reste autant de boules noires que de boules blanches dans l’urne après avoir pioché les $k$ premières boules sans remise. On remarque que l’entier $2n$ est toujours un indice d’égalité.\\
On note $M_n$, la variable aléatoire comptant le nombre aléatoire d’indices d’égalité $k$ entre $1$ et $2n$.\\
En utilisant par exemple les événements $B_i$ : « l’entier $i$ est un indice d’égalité », montrer que la variable $M_n$ admet une espérance finie égale à :
\[
\mathbb{E}(M_n) = \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{2i} \binom{2i}{i} \frac{1}{2n-2i} \binom{2n-2i}{n-i} \frac{1}{2n} \binom{2n}{n}.
\]}
21. En déduire l’équivalent :
\[
\mathbb{E}(M_n) \underset{n \to +\infty}{\sim} \sqrt{\pi n}.
\]}