Questions du sujet
1. Soit $A \in \mathcal{M}_N(\mathbb{R})$. Montrer que $A$ vérifie (M2) si et seulement si $AU = U$. En déduire que si $A$ et $B$ sont deux noyaux de Markov alors $AB$ est encore un noyau de Markov.
2. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $K^n$ est un noyau de Markov.
3. Soit $t \in \mathbb{R}$ et $(i, j) \in \llbracket 1 ; N \rrbracket^2$, justifier que la série $\sum_{n \geq 0} \frac{t^n K^n[i, j]}{n!}$ converge. On notera $H_t \in \mathcal{M}_N(\mathbb{R})$ la matrice définie par}
\[
\forall (i, j) \in \llbracket 1 ; N \rrbracket^2,\, H_t[i, j] = e^{-t} + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n K^n[i, j]}{n!}
\
4. Montrer que pour tout réel $t \in \mathbb{R}_+$, $H_t$ est un noyau de Markov.
5. Montrer que pour $(t, s) \in \mathbb{R}_+^2$, $H_{t+s} = H_t H_s$. On pourra faire apparaître un produit de Cauchy.}
6. Justifier que $K$ est un noyau de Markov.
7. Soit $n \in \mathbb{N}$. Soit $j \in \llbracket 1 ; N \rrbracket$ montrer que $\mathbb{P}(Z_n = j) = K^n[1, j]$. On pourra procéder par récurrence.
8. Soit $t \in \mathbb{R}_+$. On suppose que le nombre d’impulsions après un temps $t$ est donné par une variable aléatoire $Y_t$ suivant la loi de Poisson de paramètre $t$. Pour tout $j \in \llbracket 1 ; N \rrbracket$ on note $A_{t,j}$ l’événement « le système est dans l’état $j$ après un temps $t$ ». Justifier que $\mathbb{P}(A_{t,j}) = H_t[1, j]$.
9. Énoncer le théorème spectral pour l’endomorphisme $u$. Que peut-on dire des valeurs propres de $u$ ?
10. Montrer que pour tout $x \in E$, $q_u(x – p(x)) \geq \lambda_2 \|x – p(x)\|^2$.}
11. Montrer que $\pi K = \pi$.
12. Montrer que $(X, Y) \mapsto \langle X, Y \rangle$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_{N,1}(\mathbb{R})$.
13. On considère l’endomorphisme de $E$ défini par $u : X \mapsto (I_N – K)X$. Montrer que $\ker(u) = \operatorname{Vect}(U)$ et que $u$ est un endomorphisme autoadjoint de $E$.
14. Montrer que pour tout $X \in E$,}
\[
q_u(X) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N (X[i] – X[j])^2 K[i, j] \pi[i]
\]
Que dire des valeurs propres de $u$
15. Justifier que $\psi_X$ est dérivable et que pour tout $t$ dans $\mathbb{R}$,\\
$\psi_X'(t) = -(I_N – K) H_t X$}
16. En déduire que $\varphi_X$ est dérivable et exprimer $\varphi_X'(t)$ à l’aide de $q_u$.
17. Soit $t \in \mathbb{R}_+$. Montrer que $p(H_t X) = p(X)$.
18. On pose $Y = X – p(X)$. On note $\lambda$ la plus petite valeur propre non nulle de $u$. Montrer que pour tout réel $t \in \mathbb{R}_+$, $\varphi_Y'(t) \leq -2\lambda \varphi_Y(t)$.\\
En déduire que $\forall t \in \mathbb{R}_+,\, \|H_t X – p(X)\|^2 \leq e^{-2\lambda t}\|X – p(X)\|^2$.
19. Soit $i \in \llbracket 1 ; N \rrbracket$ et $t \in \mathbb{R}_+$. Montrer que $\|H_t E_i – \pi[i] U\| \leq e^{-\lambda t} \sqrt{\pi[i]}$.
20. Montrer que pour tout $(i, j) \in \llbracket 1 ; N \rrbracket^2$ et tout $t \in \mathbb{R}_+$,\\
$H_t[i, j] – \pi[j] = \sum_{k=1}^N (H_{t/2}[i, k] – \pi[k])(H_{t/2}[k, j] – \pi[j])$\\
On pourra utiliser la question 5.}
21. En déduire que pour tout $(i, j) \in \llbracket 1 ; N \rrbracket^2$ et tout $t \in \mathbb{R}_+$,\\
$|H_t[i, j] – \pi[j]| \leq e^{-\lambda t} \sqrt{\frac{\pi[j]}{\pi[i]}}$\\
Déterminer $\lim_{t \to +\infty} H_t[i, j]$.}