Questions du sujet
1. 1 . La matrice A est-elle semi-simple ?
2. 2 . Démontrer que B est semi-simple et en déduire l’existence d’une matrice Q de M$_2(\mathbb{R})$ inversible et de deux réels $a$ et $b$ à déterminer tels que :
$$
B = Q\begin{pmatrix}
a & b \\
-b & a
\end{pmatrix}Q^{-1}.
$$
\emph{Indication : on pourra, pour un vecteur propre $V$ de $B$, introduire les vecteurs $W_1 = \mathrm{Re}(V)$ et $W_2 = \mathrm{Im}(V)$.}
3. 3 . Démontrer que $M$ est semi-simple et semblable dans $M_2(\mathbb{R})$ à la matrice :
$$
\begin{pmatrix}
a & b \\
-b & a
\end{pmatrix}
$$
sous l’hypothèse que $M$ admet deux valeurs propres complexes $\mu = a + ib$ et $\overline{\mu} = a – ib$ avec $a \in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R}^*$.
4. 4 . Démontrer que $M$ est semi-simple si et seulement si l’une des conditions suivantes est satisfaite :\\
i) $M$ est diagonalisable dans $M_2(\mathbb{R})$ ;\\
ii) $\chi_M$ admet deux racines complexes conjuguées de partie imaginaire non nulle.
5. 5 . Soit $N$ une matrice de $M_n(\mathbb{R})$ semblable à une matrice presque diagonale. Démontrer que $N$ est semi-simple.}
6. 6 . Soit $N$ une matrice de $M_n(\mathbb{R})$. Donner la forme factorisée de $\chi_N$ dans $\mathbb{C}[X]$, en précisant dans les notations, les racines réelles et les racines complexes conjuguées. En déduire que si $N$ est semi-simple alors elle est semblable dans $M_n(\mathbb{R})$ à une matrice presque diagonale.
7. 7 . Démontrer qu’il existe $k \in \llbracket 1 ; n \rrbracket$ tel que $v_k \notin F$ et qu’alors $F$ et la droite vectorielle engendrée par $v_k$ sont en somme directe.
8. 8 . Démontrer que $L$ admet un plus grand élément que l’on nommera $r$.
9. 9 . Démontrer que $F$ admet un supplémentaire $G$ dans $E$, stable par $u$.
10. 10 . On suppose que tout sous-espace vectoriel de $E$ possède un supplémentaire dans $E$, stable par $u$. Démontrer que $u$ est diagonalisable. En déduire une caractérisation des matrices diagonalisables de $M_n(\mathbb{C})$.\\
\emph{Indication : on pourra raisonner par l’absurde et introduire un sous-espace vectoriel, dont on justifiera l’existence, de dimension $n-1$ et contenant la somme des sous-espaces propres de $u$.}}
11. 11 . Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. Démontrer que si $\alpha$ est une racine d’un polynôme $P$ de $\mathbb{R}[X]$, à coefficients strictement positifs, alors $\alpha < 0$. 12. 12 . Démontrer que tout diviseur d’un polynôme de Hurwitz est un polynôme de Hurwitz. 13. 13 . Soit $P$ un polynôme de Hurwitz de $\mathbb{R}[X]$ irréductible et à coefficient dominant positif. Démontrer que tous les coefficients de $P$ sont strictement positifs. 14. 14 . On suppose $n = 2$ et $P \in \mathbb{R}_2[X]$. Si les coefficients de $Q$ sont strictement positifs, $P$ est-il alors un polynôme de Hurwitz ? 15. 15 . Soient $A$ et $B$ deux polynômes de $\mathbb{R}[X]$ dont tous les coefficients sont strictement positifs. Démontrer que les coefficients du produit $AB$ sont également strictement positifs.} 16. 16 . Démontrer que si $P$ et $Q$ sont dans $\mathbb{R}[X]$, alors on a l’équivalence : $P$ est un polynôme de Hurwitz si et seulement si les coefficients de $P$ et $Q$ sont strictement positifs. 17. 17 . Démontrer que les coordonnées d’une solution $X$ de $(S)$ sont combinaisons linéaires des coordonnées d’une solution $Y$ de $(S^*)$. 18. 18 . Démontrer que $X$ est solution de $(S)$ si et seulement si $z$ est solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1 à déterminer. En déduire une expression, en fonction de $t$, des coordonnées des solutions de $(S)$.\\ Résoudre le système $X' = BX$ où $B$ est la matrice de la question 2). 19. 19 . Soit $M \in M_2(\mathbb{R})$ semi-simple. Donner une condition nécessaire et suffisante, portant sur les parties réelles et imaginaires des valeurs propres de $M$, pour que toute solution de $(S)$ ait chacune de ses coordonnées qui tende vers 0 en $+\infty$. 20. 20 . Démontrer que $A_3$ est vraie avec $k = 1$ pour toute solution $\Phi$ de $(S^*)$.\\ \emph{Indication : on pourra introduire la fonction $t \mapsto e^{2\beta t}\|\Phi(t)\|^2$.}} 21. 21 . On suppose que $M \in M_n(\mathbb{R})$ est semi-simple. Démontrer que les assertions $A_1$, $A_2$ et $A_3$ sont équivalentes.\\ \emph{Indication : on pourra commencer par $A_3$ implique $A_2$.}}