Questions du sujet
1. Déterminer les coefficients de Fourier de $H_r$ et $H_r$ en fonction de $r$ et des $a_k$.} 2. En fonction du signe de $n$, en déduire les différentes expressions de \[ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \Re h\left( r e^{i\theta} \right) e^{-in\theta} d\theta. \]} 3. Montrer que \[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \Re h\left( r e^{i\theta} \right) d\theta. \]} 4. On pose $a_n = |a_n| e^{i\varphi_n}$, et on choisit $\tau \in\, ]0, 1[$. Montrer que \[ \sum_{n\in\mathbb{N}} |a_n| \tau^n r^n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} \Re h\left( r e^{i\theta} \right) \left( \frac{1}{2} + \sum_{n \geq 1} \tau^n \cos(n\theta + \varphi_n) \right) d\theta. \]} 5. On choisit maintenant $\tau \in\, ]0, 1/3]$. Déterminer le signe de $\frac{1}{2} + \sum_{n\geq 1} \tau^n \cos(n\theta + \varphi_n)$. Montrer que \[ \sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n| \tau^n r^n \leq \max_{-\pi \leq \theta \leq \pi} \left| \Re\left( h\left( r e^{i\theta} \right)\right) \right|. \]} 6. En admettant que $h$ vérifie les hypothèses (H1), (H2) et (H3), montrer que \[ \sum_{n \in \mathbb{N}} |a_n|\,|z|^n \leq 1, \] dès que $|z| \leq 1/3$. } 7. À l’aide du résultat de la question 6 montrer que \[ \sum_{n\in\mathbb{N}} |b_n|\,|z|^n \leq 1, \quad \forall |z| < 1/3. \] La valeur $|z| = 1/3$ constitue le rayon de Bohr de la série $\sum_{n\in\mathbb{N}} b_n z^n$. } 8. On considère maintenant le cas particulier de la fonction $f_\lambda$ donnée par \[ f_\lambda(z) = \frac{z-\lambda}{1 - \lambda z}, \] où $\lambda \in \mathbb{R}_+$. Sous quelles conditions relatives à $\lambda$, la fonction $f_\lambda$ vérifie-t-elle les hypothèses (H1) et (H4) ? } 9. En admettant que $\lambda$ vérifie ces conditions, on note $b_n(\lambda)$ les coefficients du développement en série entière de $f_\lambda : f_\lambda(z) = \sum_{n\in\mathbb{N}} b_n(\lambda) z^n$. Déterminer en fonction de $\lambda$ les valeurs de $|z|$ telles que \[ \sum_{n\in\mathbb{N}} |b_n(\lambda)|\,|z|^n \leq 1. \] } 10. Démontrer que si $|z| \in ]1/3, 1[$, alors il existe $\lambda \in\, ]0, 1[$ tel que \[ \sum_{n\in\mathbb{N}} |b_n(\lambda)|\,|z|^n > 1. \] } 11. En déduire que la constante $1/3$ obtenue à la question 7 ne peut être améliorée sans hypothèse supplémentaire sur $f$. } 12. Montrer que si $f$ et $g$ vérifient (H1), où \[ f(z) = \sum_{n\in\mathbb{N}} b_n z^n \quad \text{et} \quad g(z) = \sum_{n\in\mathbb{N}} c_n z^n, \] alors $\forall r \in\, ]0, 1[$, \[ \sum_{n\in\mathbb{N}} b_n c_n r^{2n} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f\left( r e^{i\theta} \right) g\left( r e^{i\theta} \right) d\theta. \] } 13. On pose \[ |||f||| = \left( \sup_{0 \leq r < 1} \sum_{n\in\mathbb{N}} |b_n|^2 r^{2n} \right)^{1/2} \] (sous réserve que cette dernière quantité soit finie). En s’aidant de la question 12, montrer que $|||f||| \leq 1$. } 14. On note $V_n$ l’espace vectoriel des fonctions de la variable complexe $z$ de la forme \[ \psi(z) = \alpha + \beta z^n \] où $\alpha$ et $\beta$ appartiennent à $\mathbb{R}$. On note $P_n,\ n \geq 1$, l’application qui à $g = \sum_{n\in\mathbb{N}} c_n z^n$ vérifiant (H1) et dont les coefficients $c_n$ sont réels, fait correspondre la fonction $g_n \in V_n$ définie par \[ g_n(z) = c_0 + c_n z^n. \] On note $A_f$ l’application qui à $\psi \in V_n$ fait correspondre la fonction $f\psi$ ; on rappelle que le produit de Cauchy de deux séries entières de rayon de convergence supérieur ou égal à $1$ est une série entière de rayon de convergence supérieur ou égal à $1$. Démontrer que pour tout $\psi \in V_n$, $|||A_f(\psi)||| \leq |||\psi|||$ et en déduire que $|||P_n \circ A_f(\psi)||| \leq |||\psi|||$. } 15. On note $S$ la bijection de $V_n$ dans $\mathbb{R}^2$, qui à $\psi$ définie par $\psi(z) = \alpha + \beta z^n$ fait correspondre le vecteur $\Psi = \begin{pmatrix}\alpha \\ \beta\end{pmatrix}$. Déterminer la matrice $D$ de l’application linéaire qui à $\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}$ fait correspondre $S \circ P_n \circ A_f(\psi)$ où $\psi = S^{-1} \begin{pmatrix}\alpha \\ \beta\end{pmatrix} = \alpha + \beta z^n$. } 16. On munit $\mathbb{R}^2$ de la norme euclidienne : $\|\Psi\| = \sqrt{|\alpha|^2 + |\beta|^2}$, dérivant du produit scalaire $(\Psi \mid \Theta ) = \alpha\gamma + \beta\delta$, où $\Psi = \begin{pmatrix}\alpha \\ \beta\end{pmatrix}$ et $\Theta = \begin{pmatrix}\gamma \\ \delta\end{pmatrix}$. Montrer que pour tout $\Psi$, et pour tout $\Theta \in \mathbb{R}^2$, $(\Psi \mid D \Theta ) = ( ^t D \Psi \mid \Theta )$. } 17. On dit que la matrice $A$ est positive si et seulement si $(A\Psi |\Psi) \geq 0$ pour tout $\Psi \in \mathbb{R}^2$. On note $I$ la matrice identité. Déduire de la question 14 que $A = I - {}^t D D$ est positive. En déduire que $b_0^2 \leq 1$ et que les valeurs propres de $A$ sont positives ou nulles. } 18. En déduire que $|b_n| \leq 1-b_0^2$. On pourra s’aider du calcul du déterminant de $A$. } 19. Pour $0 \leq r < 1$, on pose \[ M(r) = \sup_{0 \leq t \leq 1} \left( t + \frac{1-t}{2} \frac{r}{1-r} \right). \] Montrer que \[ \forall |z| < 1, \quad \sum_{n\in\mathbb{N}} |b_n z^n| \leq M(|z|). \] } 20. Déterminer $M(r)$ pour $r \in [0, 1[$. } 21. On pose \[ m(r) = \min \left[\, M(r), \left( \frac{1-r}{2} \right)^{-1/2} \right]. \] Montrer que $\forall \epsilon \in\, ]0, 1[$, \[ \sum_{n\in\mathbb{N}} |b_n z^n| \leq \left( \sum_{n\in\mathbb{N}} b_n^2 |1-\epsilon|^{2n} \right)^{1/2} \left( \frac{1 - |z|}{2} / |1-\epsilon|^2 \right)^{-1/2}. \] En déduire à l’aide de la question 13 que \[ \forall |z| < 1, \quad \sum_{n\in\mathbb{N}} |b_n|\,|z|^n \leq m(|z|). \] }FAQ
Les coefficients de Fourier de \( H_r \) s’expriment en fonction de \( r \) et des coefficients \( a_k \) de la série. Pour les déterminer, tu dois utiliser la formule classique des coefficients de Fourier pour une fonction périodique, en tenant compte de la partie réelle de \( h \) évaluée sur le cercle de rayon \( r \).
Cette intégrale représente les coefficients de Fourier complexes de la partie réelle de \( h \). Selon le signe de \( n \), tu obtiendras soit le coefficient \( a_n \), soit son conjugué \( \overline{a_{-n}} \). C’est une conséquence directe de la symétrie des coefficients de Fourier pour les fonctions réelles.
C’est la définition même du coefficient de Fourier d’ordre 0, qui correspond à la valeur moyenne de la fonction sur une période. Ici, \( a_0 \) représente la composante continue de la partie réelle de \( h \) sur le cercle de rayon \( r \).
Cette égalité s’obtient en injectant le développement en série de Fourier de \( \Re h \) dans l’intégrale, puis en utilisant l’orthogonalité des fonctions trigonométriques. Le paramètre \( \tau \) permet de contrôler la convergence de la série et d’exploiter les propriétés de la transformée de Fourier.
Pour \( \tau \leq 1/3 \), la série \( \sum_{n\geq 1} \tau^n \cos(n\theta + \varphi_n) \) est dominée par une série géométrique convergente dont la somme est majorée par \( \frac{\tau}{1-\tau} \). Comme \( \frac{\tau}{1-\tau} \leq \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2} \), le terme constant \( \frac{1}{2} \) domine la somme, assurant ainsi la positivité de l’expression.
Les hypothèses (H1), (H2) et (H3) garantissent que \( h \) est une fonction analytique bornée dans le disque unité, avec des propriétés de régularité suffisantes. En utilisant les résultats des questions précédentes, notamment l’inégalité intégrale et la positivité de l’expression trigonométrique, on peut majorer la somme des coefficients \( |a_n| \) par la norme infinie de \( \Re h \), qui est bornée par 1.
Le rayon de Bohr d’une série entière \( \sum b_n z^n \) est le plus grand rayon \( R \) tel que la somme \( \sum |b_n| |z|^n \) soit bornée pour \( |z| \leq R \). Dans ce problème, on montre que \( R = 1/3 \) est le rayon de Bohr pour la série considérée, ce qui signifie que la somme des modules des coefficients reste contrôlée jusqu’à ce rayon.
Pour vérifier (H1), tu dois montrer que \( f_\lambda \) est analytique dans le disque unité et que sa partie réelle est positive. Pour (H4), il faut vérifier que \( f_\lambda \) est bornée et que ses coefficients de Taylor sont bien contrôlés. En particulier, \( \lambda \) doit être choisi dans \( [0, 1[ \) pour garantir ces propriétés.
En utilisant le développement en série de \( f_\lambda \), tu peux exprimer explicitement les coefficients \( b_n(\lambda) \) et montrer que leur somme pondérée par \( |z|^n \) reste bornée par 1 pour \( |z| \leq \frac{1 – \lambda}{1 + \lambda} \). Cela découle des propriétés de contraction des fonctions de type Möbius.
La question 10 montre que pour \( |z| \) dans \( ]1/3, 1[ \), il existe des fonctions \( f_\lambda \) telles que la somme des modules des coefficients dépasse 1. Cela prouve que \( 1/3 \) est la meilleure borne possible sans ajouter de contraintes sur \( f \).
La norme \( |||f||| \) est une norme hilbertienne pondérée qui mesure la taille de \( f \) en tenant compte de la décroissance des coefficients \( b_n \) avec \( r \). Elle est définie comme la borne supérieure des sommes \( \sum |b_n|^2 r^{2n} \), ce qui en fait une généralisation de la norme \( L^2 \) pour les séries entières.
L’application \( P_n \) est une projection qui extrait les composantes d’ordre 0 et \( n \) d’une fonction \( g \). Elle permet de simplifier l’analyse en se concentrant sur les termes dominants de la série, ce qui est crucial pour étudier les propriétés spectrales des opérateurs associés.
La matrice \( A = I – {}^t D D \) est positive car elle est construite à partir d’une norme hilbertienne, ce qui garantit que \( (A \Psi | \Psi) \geq 0 \) pour tout vecteur \( \Psi \). Cela reflète le fait que \( P_n \circ A_f \) est une contraction, préservant les propriétés de positivité.
Cette inégalité montre que les coefficients \( b_n \) sont contrôlés par la valeur au centre \( b_0 \), ce qui est typique des fonctions analytiques bornées dans le disque unité. C’est un résultat clé en analyse complexe, lié aux inégalités de type Schwarz-Pick.
La fonction \( M(r) \) est définie comme le supremum d’une expression linéaire en \( t \), et elle permet de majorer la somme \( \sum |b_n| |z|^n \) pour \( |z| < 1 \). Elle joue un rôle crucial dans l'estimation des coefficients des séries entières près du bord du disque unité.
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