Questions du sujet
1. Soient $t_1$ et $t_2$ appartenant à $\mathcal{S}_n$, démontrer que $t_1+t_2 \in \mathcal{S}_n$. 2. Montrer que $t(\cdot): \mathbb{R}^n \setminus\{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ atteint les valeurs $\min(t)$ et $\max(t)$. 3. Démontrer que l’on a $\min(t) = \min_{x\in \mathbb{R}^n, x\neq 0} t(x)$ et $\max(t) = \max_{x\in \mathbb{R}^n, x\neq 0} t(x)$.\\ (On pourra faire appel à une base de vecteurs propres de $t$ à cet effet.) 4. Montrer que $t\in \mathcal{S}_n^+$ (resp. $t\in \mathcal{S}_n^{+*}$) si et seulement si $\sigma(t) \subset \mathbb{R}^+$ (resp. $\sigma(t) \subset \mathbb{R}^{+*}$). 5. Montrer qu’il existe une et une seule application linéaire $u$ telle que \[ u(x) = f(\lambda)x, \ \forall \lambda\in \sigma(t),\ \forall x \in \ker (t – \lambda i) \] et que $u\in \mathcal{S}_n$.\\ On notera $u=f(t)$ l’endomorphisme symétrique ainsi défini, ce qui conduit à considérer $f$ comme une application de $\mathcal{S}_n$ dans lui-même.} 6. Soit $f$ la restriction à $I$ d’une fonction polynômiale à coefficients réels ; on note $f(x) = \sum_{k=0}^d a_k x^k$, avec $a_k\in \mathbb{R}$ pour tout $k$ vérifiant $0 \leq k \leq d$. Démontrer que l’endomorphisme symétrique $f(t)$ est égal à $a_0 i + \sum_{k=1}^d a_k t^k$, où $t^k = \underbrace{t \circ t \circ \cdots \circ t}_{k\text{ fois}}$. 7. Y-a-t-il des fonctions $f:I\to\mathbb{R}$ telles que $f(t)$ ne soit pas égal à un polynôme de $t$ ? 8. Déterminer les valeurs et les vecteurs propres de $f(t)$ en fonction de ceux de $t$. 9. Pour des fonctions $f$ et $g$ définies sur l’intervalle $I$, démontrer que $f\circ g (t) = f(t) \circ g(t)$. 10. On considère $s\in \mathcal{S}_n^{+*}$ et la fonction $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$. Montrer que $f(s) = s^{-1}$, où $s^{-1}$ note l’inverse de l’endomorphisme $s$.} 11. On considère $s\in \mathcal{S}_n^+$. Lorsque $f(x) = \sqrt{x}$ on note $\sqrt{s}$ l’endomorphisme $f(s)$. Montrer que l’endomorphisme $\sqrt{s}$ est bien défini et que $(\sqrt{s})^2 = s$. En admettant que toutes les valeurs propres de $s$ sont simples, combien y-a-t-il de solutions $c$ dans $\mathcal{S}_n^+$, puis dans $\mathcal{S}_n$, à l’équation $c^2 = s$ ? 12. Démontrer que la relation $\geq$ définit une relation d’ordre dans $\mathcal{S}_n$ ; est-elle totale ? 13. Soit $u\in \mathcal{S}_n$, démontrer que si $t_2 \geq t_1$, alors $u\circ t_2\circ u \geq u\circ t_1\circ u$. 14. Soit $f$ un intervalle de $\mathbb{R}$, on dit que la fonction $f : I \to \mathbb{R}$ définit un opérateur croissant si pour tout $t_1$ et tout $t_2$, endomorphismes symétriques vérifiant $\sigma(t_1) \subset I$, $\sigma(t_2) \subset I$, alors \[ t_2 \geq t_1 \implies f(t_2) \geq f(t_1). \] Démontrer que l’application $f: \mathbb{R}^+\to \mathbb{R}$ donnée par $f(x) = x^2$ ne définit pas un opérateur croissant.\\ (On pourra considérer à cet effet les endomorphismes $t_1$ et $t_2$ de matrices respectives $m_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $m_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ dans la base canonique.) 15. Soient $t_1$ et $t_2 \in \mathcal{S}_n^{+*}$ tels que $t_2 \geq t_1$ ; en s’aidant de la question 13 avec $u = t_2^{-1/2}$, montrer que les valeurs propres de $u \circ t_1 \circ u$ sont inférieures ou égales à $1$. En déduire que $u^{-1} \circ t_1^{-1} \circ u^{-1} \geq i$, puis que l’application $f: \mathbb{R}^{+*} \to \mathbb{R}$ donnée par $f(x) = x^{-1}$ définit un opérateur croissant.} 16. Soient $t_1$ et $t_2\in \mathcal{S}_n^+$, tels que $t_2\geq t_1$. Démontrer que les valeurs propres de $t_2^{1/2} – t_1^{1/2}$ sont positives. En déduire que l’application $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ donnée par $f(x) = \sqrt{x}$ définit un opérateur croissant. 17. On va montrer que pour tout $r\in\,]0,1[$, la fonction $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x^r$ définit un opérateur croissant. Pour $x\in \mathbb{R}^+$, on note $g_r: \mathbb{R}^{+*} \to \mathbb{R}$ la fonction donnée par $g_r(x) = \frac{1}{x^r + x^{1-r}}$.\\ Démontrer que $g_r$ définit un opérateur croissant. (On pourra à cet effet s’aider de la question 15.) 18. Soient $\varphi$ une application $]0, +\infty[ \to \mathcal{L}_n$ et $\mathcal{B}$ une base de $\mathbb{R}^n$. On note $\Phi(\lambda)$ la matrice de l’endomorphisme $\varphi(\lambda)$ dans la base $\mathcal{B}$ et $(\Phi(\lambda))_{1\leq i,j \leq n}$ les applications coordonnées de $\Phi(\lambda)$.\\ On dira que $\varphi$ est continue et intégrable sur $]0, +\infty[$ si les fonctions coordonnées $\lambda \mapsto \Phi(\lambda)_{i,j}$ le sont. Par définition on notera $\int_0^{+\infty} \varphi(\lambda)\mathrm{d}\lambda$ l’endomorphisme dont la matrice dans la base $\mathcal{B}$ a pour coefficients les $\int_0^{+\infty} \Phi(\lambda)_{i,j}\mathrm{d}\lambda$.\\ Cette matrice sera notée $\int_0^{+\infty} \Phi(\lambda)\mathrm{d}\lambda$.\\ Montrer que cette définition est indépendante du choix de la base $\mathcal{B}$. 19. On considère $s\in \mathcal{S}_n^{+*}$ et $r\in\,]0,1[$.\\ Montrer que la fonction $\varphi$ à valeurs dans $\mathcal{L}_n$ définie par $\varphi(\lambda) = (s+\lambda i)^{-1}$ est continue et intégrable sur $]0, +\infty[$. (On pourra trouver utile de faire appel à une base orthonormée adaptée à $s$.) 20. On admet que \[ x^r = \frac{\sin r\pi}{\pi} \int_0^{+\infty} \lambda^{r-1} (x+\lambda)^{-1}\,d\lambda. \] Montrer que \[ s^r = \frac{\sin r\pi}{\pi} \int_0^{+\infty} \lambda^{r-1} (s+\lambda i)^{-1}\,d\lambda. \] } 21. En déduire que la fonction $f(x)=x^r$ définit un opérateur croissant.}FAQ
Pour ce concours, tu dois parfaitement maîtriser les propriétés des matrices symétriques, les endomorphismes autoadjoints sur ℝⁿ, la notion de spectre (ensemble des valeurs propres), les propriétés de diagonalisabilité, ainsi que le lien entre l’orthogonalité et les bases de vecteurs propres. Tu seras amené à manipuler des polynômes d’endomorphismes, comprendre comment construire et interpréter des fonctions de matrices (comme f(t)), et savoir dialoguer entre écriture matricielle et écriture opérateur. Un gros focus est aussi mis sur les matrices définies positives et les ordres associés.
Une fonction de matrices, c’est la généralisation de l’application d’une fonction (typiquement polynomiale, mais pas seulement) à un endomorphisme ou à une matrice, via ses valeurs propres et souvent en utilisant sa diagonalisation. Concrètement, si tu sais diagonaliser une matrice symétrique, appliquer une fonction à la matrice revient à appliquer la fonction à chaque valeur propre. Cela intervient dans plein de domaines : exponentielle de matrices, racines carrées de matrices, matrices inverses via le calcul fonctionnel, etc. C’est central dans les sujets de concours, en particulier pour manipuler des opérateurs de façon élégante.
L’ordre “≥” sur les matrices (ou endomorphismes) symétriques sert à comparer deux matrices S et T : on dit que S≥T si S-T est définie positive. Cette notion intervient souvent pour montrer des inégalités sur les valeurs propres, pour prouver que certaines transformations (calculs fonctionnels sur les matrices, passage à l’inverse, etc.) sont monotones, ou pour exploiter des résultats du genre : “si T₂≥T₁ et que f est une fonction croissante alors f(T₂)≥f(T₁)”. Attention, l’ordre n’est pas total (toutes les matrices n’y sont pas comparables), mais il permet de structurer beaucoup de raisonnements dans l’algèbre linéaire avancée des concours.
Parce que les valeurs propres sont la clef de voûte pour comprendre et manipuler efficacement les endomorphismes symétriques. Tout réside dans la possibilité de diagonaliser, ce qui simplifie énormément les calculs, notamment quand on veut appliquer une fonction à un opérateur. Cela permet de transposer nombre de résultats du réel (ℝ) à l’espace des matrices, de prouver des égalités, d’étendre des propriétés analytiques (croissance, inversibilité, racine, etc.) à des objets algébriques. Prends bien l’habitude de chercher une base de vecteurs propres adaptée dès qu’on te parle de matrices symétriques en concours.
Priorise toujours la diagonalisation quand elle est possible ! Elle permet de ramener les problèmes à des calculs sur les valeurs propres (souvent immédiats). Sers-toi aussi du vocabulaire précis sur les définitions, surtout pour la positivité (définie positive, semi-définie, positive stricte…). N’hésite pas à faire des paralĿles entre résultats matriciels et résultats scalaires pour rédiger vite et proprement. Enfin, des rappels clairs sur la base orthonormée, l’indépendance des résultats vis-à-vis du choix de base (exemple sur l’intégrale de matrices), ou les propriétés de l’ordre matriciel, peuvent te rapporter des points facilement. Et pour t’exercer sur ces raisonnements, pense à débloquer les corrigés Prépa Booster pour les écrits, les exercices corrigés et le dashboard !
La tendance est effectivement à des sujets d’algèbre abstraite, exigeant de savoir passer de l’aspect concret (calculs de matrices, valeurs propres, preuves) à l’aspect fonctionnel (applications de fonctions à des opérateurs, notions d’ordre, propriétés sur les spectres, etc.). Ça demande donc une compréhension fine des bases, mais aussi une vraie rigueur de rédaction et d’organisation des idées. Réviser sur des annales corrigées et bien expliquées, comme celles de Prépa Booster, permet de s’entraîner à ce double niveau d’abstraction.
Le sujet fait intervenir le concept d’intégration d’applications à valeurs matricielles, et souligne que ces notions généralisent celles des fonctions réelles. Ici, c’est le passage par la base canonique qui facilite la définition et montre que le résultat ne dépend pas de la base choisie. Maîtriser cette abstraction est attendu pour élargir ton panel de compétences, notamment sur les liens analyse-algèbre, très en vogue dans les épreuves récentes du concours.
Un grand classique : confondre définition réelle (fonction scalaire) et son extension matricielle. Fais attention à bien spécifier les domaines de définition (ex : l’inverse n’existe que pour les matrices inversibles !). Les hypothèses sur la positivité stricte sont aussi cruciales. Enfin, le passage à l’intégrale ou à la racine doit toujours s’appuyer sur des bases orthonormées adaptées ou sur la propriété spectrale. Relis bien les énoncés et insiste sur les étapes de justification (diagonalisation, nature du spectre, type d’opérateur…).